Номер 1169, страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Упражнения - номер 1169, страница 257.

Условие.

1169. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $ \frac{6}{11} $, на $ \frac{8}{17} $ и на $ \frac{12}{19} $ в результате получим натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

Согласно условию задачи, результаты деления $N$ на дроби $\frac{6}{11}$, $\frac{8}{17}$ и $\frac{12}{19}$ должны быть натуральными числами.

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Запишем эти условия в виде уравнений, где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые натуральные числа:

$N \div \frac{6}{11} = N \cdot \frac{11}{6} = k_1$
$N \div \frac{8}{17} = N \cdot \frac{17}{8} = k_2$
$N \div \frac{12}{19} = N \cdot \frac{19}{12} = k_3$

Рассмотрим первое выражение: $N \cdot \frac{11}{6} = k_1$. Чтобы результат был натуральным числом, необходимо, чтобы $N$ делилось нацело на знаменатель 6, так как числитель 11 и знаменатель 6 являются взаимно простыми числами.

Аналогично, из второго выражения $N \cdot \frac{17}{8} = k_2$ следует, что $N$ должно делиться нацело на 8.

Из третьего выражения $N \cdot \frac{19}{12} = k_3$ следует, что $N$ должно делиться нацело на 12.

Таким образом, искомое число $N$ должно быть кратным одновременно числам 6, 8 и 12. Поскольку нам нужно найти наименьшее такое натуральное число, нам необходимо найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(6, 8, 12). Для этого разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \cdot 3$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:
$НОК(6, 8, 12) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$

Итак, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, это 24.

Проверим:
$24 \div \frac{6}{11} = 24 \cdot \frac{11}{6} = 4 \cdot 11 = 44$ (натуральное)
$24 \div \frac{8}{17} = 24 \cdot \frac{17}{8} = 3 \cdot 17 = 51$ (натуральное)
$24 \div \frac{12}{19} = 24 \cdot \frac{19}{12} = 2 \cdot 19 = 38$ (натуральное)

Ответ: 24