Номер 1172, страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1172, страница 257.

1172. Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние, которое проходит теплоход (в км);
• $v_с$ – собственная скорость теплохода (в км/ч);
• $v_т$ – скорость течения реки (в км/ч).

Скорость движения теплохода по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_с + v_т$.

Скорость движения теплохода против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_с - v_т$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время, составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Расстояние, пройденное по течению за 2 часа: $S = (v_с + v_т) \cdot 2$

2. Расстояние, пройденное против течения за 3 часа: $S = (v_с - v_т) \cdot 3$

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$(v_с + v_т) \cdot 2 = (v_с - v_т) \cdot 3$

Раскроем скобки:

$2v_с + 2v_т = 3v_с - 3v_т$

Теперь выразим собственную скорость теплохода $v_с$ через скорость течения $v_т$. Для этого сгруппируем слагаемые с $v_с$ в одной части уравнения, а с $v_т$ – в другой:

$2v_т + 3v_т = 3v_с - 2v_с$

$5v_т = v_с$

Таким образом, собственная скорость теплохода в 5 раз больше скорости течения реки.

Теперь подставим это выражение для $v_с$ в первое уравнение, чтобы выразить расстояние $S$ через скорость течения $v_т$:

$S = (5v_т + v_т) \cdot 2 = 6v_т \cdot 2 = 12v_т$

Плот не имеет собственной скорости, поэтому он движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_т$.

Чтобы найти время $t_{плота}$, за которое плот проплывет расстояние $S$, нужно разделить это расстояние на скорость плота:

$t_{плота} = \frac{S}{v_т}$

Подставим найденное выражение для $S$:

$t_{плота} = \frac{12v_т}{v_т} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.