Номер 1170, страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1170, страница 257.

1170. Лодка проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки то же расстояние — за 5 ч. За сколько часов такое же расстояние проплывёт плот по реке?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – некоторое расстояние, $v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде, как в озере), $v_т$ – скорость течения реки.

1. Движение по озеру.В озере течения нет, поэтому лодка движется со своей собственной скоростью $v_л$. По условию, расстояние $S$ она проходит за 6 часов. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем:

$S = v_л \cdot 6$

Из этого уравнения мы можем выразить собственную скорость лодки через расстояние:

$v_л = \frac{S}{6}$

Это означает, что за один час лодка в стоячей воде проплывает $1/6$ всего расстояния.

2. Движение по течению реки.При движении по течению реки скорость лодки складывается из её собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки по течению равна $v_л + v_т$. По условию, то же самое расстояние $S$ она проходит за 5 часов:

$S = (v_л + v_т) \cdot 5$

Отсюда выразим скорость лодки по течению:

$v_л + v_т = \frac{S}{5}$

Это означает, что за один час лодка по течению проплывает $1/5$ всего расстояния.

3. Нахождение скорости течения.Скорость течения $v_т$ можно найти, вычтя собственную скорость лодки из её скорости по течению:

$v_т = (v_л + v_т) - v_л$

Подставим выражения для скоростей, которые мы нашли ранее:

$v_т = \frac{S}{5} - \frac{S}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_т = \frac{6S}{30} - \frac{5S}{30} = \frac{6S - 5S}{30} = \frac{S}{30}$

Таким образом, скорость течения реки составляет $1/30$ расстояния $S$ в час.

4. Движение плота.Плот не имеет собственного двигателя, поэтому он движется по реке со скоростью течения, то есть его скорость равна $v_т$. Нам нужно найти, за какое время $t_{плот}$ плот проплывет расстояние $S$.

$t_{плот} = \frac{S}{v_т}$

Подставим найденное значение $v_т$:

$t_{плот} = \frac{S}{\frac{S}{30}} = S \cdot \frac{30}{S} = 30$ (часов)

Ответ: 30 часов.