Номер 1176, страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 41. Взаимно обратные числа. Деление обыкновенных дробей. Упражнения - номер 1176, страница 258.

Условие.

1176. В один ряд расположены 1000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Решение.

Решение 2.

Пронумеруем позиции, на которых стоят фишки, от 1 до 1000. В начальном состоянии на позиции $k$ стоит фишка $k$. Чтобы переставить фишки в обратном порядке, на позиции $i$ должна оказаться фишка $1001-i$. Это означает, что фишка $k$ должна переместиться с начальной позиции $k$ на конечную позицию $1001-k$.

Разрешенная операция — это обмен местами фишек, расположенных через одну. Это значит, что мы можем поменять местами фишки на позициях $i$ и $i+2$, где $1 \le i \le 998$.

Проанализируем, как эта операция влияет на четность позиции, занимаемой фишкой. Числа $i$ и $i+2$ всегда имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные). Таким образом, при обмене фишек местами, одна фишка перемещается с одной нечетной позиции на другую нечетную, а вторая — наоборот. Если же позиции четные, то обе фишки перемещаются между четными позициями. Это означает, что любая фишка, изначально находящаяся на позиции с нечетным номером, после любого количества разрешенных операций всегда будет оставаться на нечетной позиции. Аналогично, фишка, начавшая на четной позиции, всегда будет находиться на четной позиции.

Таким образом, множество всех фишек разделено на две группы, которые не могут перемешиваться между собой:

1. Фишки, изначально стоявшие на нечетных позициях (с номерами 1, 3, 5, ..., 999).
2. Фишки, изначально стоявшие на четных позициях (с номерами 2, 4, 6, ..., 1000).

Теперь рассмотрим требуемое конечное расположение. Фишка с номером $k$ должна переместиться с позиции $k$ на позицию $1001-k$. Сравним четность начальной и конечной позиций. Два целых числа имеют разную четность тогда и только тогда, когда их сумма (или разность) нечетна. Сумма номеров начальной и конечной позиций для фишки $k$ равна $k + (1001-k) = 1001$. Поскольку 1001 — нечетное число, то числа $k$ и $1001-k$ всегда имеют разную четность.

Это означает, что для достижения обратного порядка каждая фишка, которая изначально стояла на нечетной позиции, должна переместиться на четную позицию, а каждая фишка с четной позиции — на нечетную. Например, фишка 1 должна перейти с позиции 1 (нечетная) на позицию 1000 (четная), а фишка 2 — с позиции 2 (четная) на позицию 999 (нечетная).

Как мы выяснили ранее, разрешенные операции не позволяют фишке изменить четность своей позиции. Следовательно, невозможно переместить фишки с нечетных позиций на четные и наоборот. Таким образом, переставить фишки в обратном порядке невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.