Страница 257 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1164. Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 36 ч. Если одновременно из этих городов выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 20 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние между городами?

Для решения задачи примем все расстояние между городами за 1. В таком случае скорость каждого поезда будет измеряться в долях расстояния, пройденных за час.

1. Найдем скорость пассажирского поезда.
Пассажирский поезд проходит все расстояние (1) за 36 часов. Следовательно, его скорость ($v_п$) составляет:
$v_п = 1 / 36$ (часть расстояния в час).

2. Найдем общую скорость (скорость сближения) поездов.
Когда поезда движутся навстречу друг другу, они вместе проходят все расстояние (1) за 20 часов. Их общая скорость сближения ($v_{общ}$) равна:
$v_{общ} = 1 / 20$ (часть расстояния в час).

3. Найдем скорость товарного поезда.
Скорость сближения — это сумма скоростей двух поездов: $v_{общ} = v_п + v_т$.
Чтобы найти скорость товарного поезда ($v_т$), вычтем из общей скорости скорость пассажирского поезда:
$v_т = v_{общ} - v_п$
$v_т = 1/20 - 1/36$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20 и 36 равно 180.
$v_т = 9/180 - 5/180 = 4/180$
Сократим полученную дробь:
$v_т = 1/45$ (часть расстояния в час).

4. Найдем время, за которое товарный поезд преодолеет расстояние между городами.
Зная, что скорость товарного поезда составляет $1/45$ расстояния в час, мы можем найти общее время ($t_т$), разделив все расстояние (1) на его скорость:
$t_т = 1 / v_т = 1 / (1/45) = 45$ часов.

Ответ: 45 часов.

1165. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую — за 6 ч. Сначала 2 ч была открыта первая труба, затем её закрыли и открыли вторую трубу. За сколько часов был наполнен бассейн?

Для решения этой задачи примем весь объем бассейна за 1 (единицу).

1. Определим производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна каждая труба наполняет за один час.
- Производительность первой трубы: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ бассейна в час.
- Производительность второй трубы: $1 \div 6 = \frac{1}{6}$ бассейна в час.

2. Первая труба работала 2 часа. Найдем, какую часть бассейна она наполнила за это время.
Для этого умножим производительность первой трубы на время её работы:
$\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$ бассейна.

3. Теперь узнаем, какая часть бассейна осталась незаполненной.
Для этого из всего объема бассейна (1) вычтем уже заполненную часть:
$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ бассейна.

4. Оставшуюся $\frac{1}{3}$ часть бассейна наполняла вторая труба. Рассчитаем, сколько времени ей на это потребовалось.
Для этого разделим оставшийся объем на производительность второй трубы:
$t = \frac{1}{3} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{3} = 2$ часа.

5. Чтобы найти общее время наполнения бассейна, сложим время работы первой трубы и время работы второй трубы.
$2 \text{ часа} + 2 \text{ часа} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

1166. Первая бригада может выполнить заказ за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Сначала три дня работала первая бригада, а затем её заменила вторая. За сколько дней был выполнен заказ?

Для решения задачи примем весь объем заказа за 1 (единицу).

1. Определим производительность каждой бригады.

Производительность — это часть работы, которую бригада выполняет за один день.

Первая бригада может выполнить весь заказ за 9 дней, следовательно, её производительность ($P_1$) составляет $P_1 = \frac{1}{9}$ заказа в день.

Вторая бригада может выполнить весь заказ за 12 дней, следовательно, её производительность ($P_2$) составляет $P_2 = \frac{1}{12}$ заказа в день.

2. Рассчитаем, какую часть заказа выполнила первая бригада.

Первая бригада работала 3 дня. Чтобы найти выполненный объем работы ($W_1$), умножим её производительность на время работы:

$W_1 = P_1 \times 3 \text{ дня} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Таким образом, первая бригада выполнила $\frac{1}{3}$ всего заказа.

3. Найдем оставшуюся часть заказа.

Чтобы найти, какую часть заказа осталось выполнить, вычтем из всего объема заказа часть, выполненную первой бригадой:

$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Осталось выполнить $\frac{2}{3}$ заказа.

4. Рассчитаем, за сколько дней вторая бригада выполнила оставшуюся работу.

Чтобы найти время ($t_2$), которое потребовалось второй бригаде, разделим оставшуюся часть работы на производительность второй бригады:

$t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{12}} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{1} = \frac{2 \times 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$ дней.

Второй бригаде потребовалось 8 дней, чтобы завершить заказ.

5. Найдем общее время выполнения заказа.

Общее время выполнения заказа — это сумма времени, которое работала первая бригада, и времени, которое работала вторая бригада:

$T_{общ} = 3 \text{ дня} + 8 \text{ дней} = 11$ дней.

Ответ: 11 дней.

1167. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $\frac{4}{5}$ и на $\frac{6}{7}$ в результате получим натуральные числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число — это $N$. По условию задачи, результаты деления $N$ на $\frac{4}{5}$ и на $\frac{6}{7}$ должны быть натуральными числами.

Запишем эти условия в виде математических выражений:

1) $N \div \frac{4}{5} = N \times \frac{5}{4} = \frac{5N}{4}$ должно быть натуральным числом.

2) $N \div \frac{6}{7} = N \times \frac{7}{6} = \frac{7N}{6}$ должно быть натуральным числом.

Рассмотрим первое условие: чтобы дробь $\frac{5N}{4}$ была целым числом, произведение $5N$ должно делиться на 4 без остатка. Поскольку числа 5 и 4 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), то число $N$ должно быть кратно 4.

Рассмотрим второе условие: чтобы дробь $\frac{7N}{6}$ была целым числом, произведение $7N$ должно делиться на 6 без остатка. Поскольку числа 7 и 6 являются взаимно простыми, то число $N$ должно быть кратно 6.

Итак, искомое число $N$ должно быть одновременно кратно и 4, и 6. Чтобы найти наименьшее такое натуральное число, нам необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4 и 6.

Найдем НОК(4, 6):

Разложим числа на простые множители:
$4 = 2 \times 2 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:
НОК(4, 6) = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям, — это 12.

Выполним проверку:
$12 \div \frac{4}{5} = 12 \times \frac{5}{4} = 3 \times 5 = 15$ (натуральное число).
$12 \div \frac{6}{7} = 12 \times \frac{7}{6} = 2 \times 7 = 14$ (натуральное число).

Оба результата являются натуральными числами, следовательно, число 12 является верным решением.

Ответ: 12

1168. Который сейчас час, если до конца суток осталось $ \frac{4}{5} $ того времени, что уже прошло от начала суток?

Пусть $x$ часов — это время, которое уже прошло от начала суток. Тогда текущее время — $x$ часов.
В сутках 24 часа. Время, которое осталось до конца суток, можно выразить как $24 - x$ часов.
По условию задачи, время, оставшееся до конца суток, составляет $\frac{4}{5}$ от времени, которое уже прошло. На основании этого составим уравнение:
$24 - x = \frac{4}{5}x$
Для решения уравнения перенесем все члены с $x$ в одну сторону:
$24 = \frac{4}{5}x + x$
Представим $x$ как $\frac{5}{5}x$ и сложим дроби:
$24 = \frac{4}{5}x + \frac{5}{5}x$
$24 = \frac{9}{5}x$
Теперь найдем $x$:
$x = 24 \div \frac{9}{5}$
$x = 24 \cdot \frac{5}{9}$
$x = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$
Таким образом, с начала суток прошло $\frac{40}{3}$ часа. Чтобы узнать точное время, переведем это значение в часы и минуты.
$\frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$ часа.
Это означает 13 полных часов и $\frac{1}{3}$ часа. Найдем, сколько минут составляет $\frac{1}{3}$ часа, зная, что в одном часе 60 минут:
$\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.
Следовательно, прошло 13 часов и 20 минут.
Ответ: Сейчас 13 часов 20 минут.

1169. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на $ \frac{6}{11} $, на $ \frac{8}{17} $ и на $ \frac{12}{19} $ в результате получим натуральные числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$.

Согласно условию задачи, результаты деления $N$ на дроби $\frac{6}{11}$, $\frac{8}{17}$ и $\frac{12}{19}$ должны быть натуральными числами.

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Запишем эти условия в виде уравнений, где $k_1, k_2, k_3$ — некоторые натуральные числа:

$N \div \frac{6}{11} = N \cdot \frac{11}{6} = k_1$
$N \div \frac{8}{17} = N \cdot \frac{17}{8} = k_2$
$N \div \frac{12}{19} = N \cdot \frac{19}{12} = k_3$

Рассмотрим первое выражение: $N \cdot \frac{11}{6} = k_1$. Чтобы результат был натуральным числом, необходимо, чтобы $N$ делилось нацело на знаменатель 6, так как числитель 11 и знаменатель 6 являются взаимно простыми числами.

Аналогично, из второго выражения $N \cdot \frac{17}{8} = k_2$ следует, что $N$ должно делиться нацело на 8.

Из третьего выражения $N \cdot \frac{19}{12} = k_3$ следует, что $N$ должно делиться нацело на 12.

Таким образом, искомое число $N$ должно быть кратным одновременно числам 6, 8 и 12. Поскольку нам нужно найти наименьшее такое натуральное число, нам необходимо найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(6, 8, 12). Для этого разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \cdot 3$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их:
$НОК(6, 8, 12) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$

Итак, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, это 24.

Проверим:
$24 \div \frac{6}{11} = 24 \cdot \frac{11}{6} = 4 \cdot 11 = 44$ (натуральное)
$24 \div \frac{8}{17} = 24 \cdot \frac{17}{8} = 3 \cdot 17 = 51$ (натуральное)
$24 \div \frac{12}{19} = 24 \cdot \frac{19}{12} = 2 \cdot 19 = 38$ (натуральное)

Ответ: 24

1170. Лодка проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки то же расстояние — за 5 ч. За сколько часов такое же расстояние проплывёт плот по реке?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – некоторое расстояние, $v_л$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде, как в озере), $v_т$ – скорость течения реки.

1. Движение по озеру.В озере течения нет, поэтому лодка движется со своей собственной скоростью $v_л$. По условию, расстояние $S$ она проходит за 6 часов. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем:

$S = v_л \cdot 6$

Из этого уравнения мы можем выразить собственную скорость лодки через расстояние:

$v_л = \frac{S}{6}$

Это означает, что за один час лодка в стоячей воде проплывает $1/6$ всего расстояния.

2. Движение по течению реки.При движении по течению реки скорость лодки складывается из её собственной скорости и скорости течения. Таким образом, скорость лодки по течению равна $v_л + v_т$. По условию, то же самое расстояние $S$ она проходит за 5 часов:

$S = (v_л + v_т) \cdot 5$

Отсюда выразим скорость лодки по течению:

$v_л + v_т = \frac{S}{5}$

Это означает, что за один час лодка по течению проплывает $1/5$ всего расстояния.

3. Нахождение скорости течения.Скорость течения $v_т$ можно найти, вычтя собственную скорость лодки из её скорости по течению:

$v_т = (v_л + v_т) - v_л$

Подставим выражения для скоростей, которые мы нашли ранее:

$v_т = \frac{S}{5} - \frac{S}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$v_т = \frac{6S}{30} - \frac{5S}{30} = \frac{6S - 5S}{30} = \frac{S}{30}$

Таким образом, скорость течения реки составляет $1/30$ расстояния $S$ в час.

4. Движение плота.Плот не имеет собственного двигателя, поэтому он движется по реке со скоростью течения, то есть его скорость равна $v_т$. Нам нужно найти, за какое время $t_{плот}$ плот проплывет расстояние $S$.

$t_{плот} = \frac{S}{v_т}$

Подставим найденное значение $v_т$:

$t_{плот} = \frac{S}{\frac{S}{30}} = S \cdot \frac{30}{S} = 30$ (часов)

Ответ: 30 часов.

1171. Некоторое расстояние по течению реки катер проходит за 3 ч, а плот — за 15 ч. За сколько часов катер проходит такое же расстояние против течения реки?

Пусть $S$ — расстояние, $v_к$ — собственная скорость катера, $v_т$ — скорость течения реки.

Плот движется со скоростью течения реки. По условию, плот проходит расстояние $S$ за 15 часов. Отсюда можно найти скорость течения реки:
$v_т = S / 15$

Катер по течению реки движется со скоростью $v_к + v_т$. По условию, это расстояние он проходит за 3 часа. Составим уравнение:
$S = (v_к + v_т) \cdot 3$

Из этого уравнения выразим скорость катера по течению:
$v_к + v_т = S / 3$

Теперь подставим в это уравнение найденное значение скорости течения $v_т = S / 15$ и найдем собственную скорость катера $v_к$:
$v_к + S / 15 = S / 3$
$v_к = S / 3 - S / 15$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 15:
$v_к = (5 \cdot S) / 15 - S / 15 = (4S) / 15$

Теперь необходимо найти время, за которое катер пройдет то же расстояние против течения. Скорость катера против течения равна $v_к - v_т$. Найдем эту скорость:
$v_{против} = v_к - v_т = (4S) / 15 - S / 15 = (3S) / 15 = S / 5$

Время движения против течения $t_{против}$ найдем, разделив расстояние $S$ на скорость против течения:
$t_{против} = S / v_{против} = S / (S/5) = S \cdot (5/S) = 5$ часов.

Ответ: 5 часов.

1172. Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние, которое проходит теплоход (в км);
• $v_с$ – собственная скорость теплохода (в км/ч);
• $v_т$ – скорость течения реки (в км/ч).

Скорость движения теплохода по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_с + v_т$.

Скорость движения теплохода против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_с - v_т$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время, составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Расстояние, пройденное по течению за 2 часа: $S = (v_с + v_т) \cdot 2$

2. Расстояние, пройденное против течения за 3 часа: $S = (v_с - v_т) \cdot 3$

Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$(v_с + v_т) \cdot 2 = (v_с - v_т) \cdot 3$

Раскроем скобки:

$2v_с + 2v_т = 3v_с - 3v_т$

Теперь выразим собственную скорость теплохода $v_с$ через скорость течения $v_т$. Для этого сгруппируем слагаемые с $v_с$ в одной части уравнения, а с $v_т$ – в другой:

$2v_т + 3v_т = 3v_с - 2v_с$

$5v_т = v_с$

Таким образом, собственная скорость теплохода в 5 раз больше скорости течения реки.

Теперь подставим это выражение для $v_с$ в первое уравнение, чтобы выразить расстояние $S$ через скорость течения $v_т$:

$S = (5v_т + v_т) \cdot 2 = 6v_т \cdot 2 = 12v_т$

Плот не имеет собственной скорости, поэтому он движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_т$.

Чтобы найти время $t_{плота}$, за которое плот проплывет расстояние $S$, нужно разделить это расстояние на скорость плота:

$t_{плота} = \frac{S}{v_т}$

Подставим найденное выражение для $S$:

$t_{плота} = \frac{12v_т}{v_т} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

1173. Из вершины прямого угла $ABC$ (рис. 229) провели лучи $BD$ и $BE$ так, что угол $ABE$ оказался больше угла $DBE$ на $34^\circ$, а угол $CBD$ больше угла $DBE$ на $23^\circ$. Какова градусная мера угла $DBE$?

Рис. 229

По условию задачи, угол $ABC$ является прямым, следовательно, его градусная мера составляет $90°$.
$∠ABC = 90°$

Этот угол разделен лучами $BD$ и $BE$ на три угла: $∠ABD$, $∠DBE$ и $∠EBC$. Сумма этих трех углов равна исходному прямому углу:
$∠ABC = ∠ABD + ∠DBE + ∠EBC$

Обозначим градусную меру искомого угла $∠DBE$ за $x$.
$∠DBE = x$

Из условия известно, что угол $ABE$ на $34°$ больше угла $DBE$. При этом угол $ABE$ является суммой углов $∠ABD$ и $∠DBE$. Запишем это в виде уравнения:
$∠ABE = ∠ABD + ∠DBE$
$∠DBE + 34° = ∠ABD + ∠DBE$
Подставив $x$ вместо $∠DBE$, получим:
$x + 34° = ∠ABD + x$
Из этого уравнения следует, что $∠ABD = 34°$.

Аналогично, по условию угол $CBD$ на $23°$ больше угла $DBE$. Угол $CBD$ является суммой углов $∠CBE$ и $∠DBE$. Запишем это в виде уравнения:
$∠CBD = ∠CBE + ∠DBE$
$∠DBE + 23° = ∠CBE + ∠DBE$
Подставив $x$ вместо $∠DBE$, получим:
$x + 23° = ∠CBE + x$
Из этого уравнения следует, что $∠CBE = 23°$.

Теперь мы можем найти $x$, используя равенство для прямого угла $ABC$:
$∠ABC = ∠ABD + ∠DBE + ∠CBE$
Подставим известные значения:
$90° = 34° + x + 23°$
Сложим известные градусные меры:
$90° = 57° + x$
Теперь найдем $x$:
$x = 90° - 57°$
$x = 33°$
Следовательно, градусная мера угла $DBE$ равна $33°$.

Ответ: 33°.

1174. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 63 км. Из города $A$ в город $B$ выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 ч после отъезда велосипедиста из города $A$ в город $B$ выехал мотоциклист, который догнал велосипедиста на расстоянии 42 км от города $A$. На каком расстоянии от города $B$ будет велосипедист, когда туда приедет мотоциклист?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти скорость мотоциклиста, а затем определить положение велосипедиста в момент прибытия мотоциклиста в город В.

1. Найдем время, которое велосипедист был в пути до того, как его догнал мотоциклист. Встреча произошла на расстоянии 42 км от города А.

Время движения велосипедиста до места встречи ($t_{вел}$):
$t_{вел} = \frac{S_{встречи}}{v_{вел}} = \frac{42 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 3,5 \text{ ч}$

2. Мотоциклист выехал на 3 часа позже, следовательно, до места встречи он был в пути на 3 часа меньше, чем велосипедист.

Время движения мотоциклиста до места встречи ($t_{мот}$):
$t_{мот} = t_{вел} - 3 \text{ ч} = 3,5 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 0,5 \text{ ч}$

3. Теперь мы можем вычислить скорость мотоциклиста ($v_{мот}$), так как он проехал 42 км за 0,5 часа.

$v_{мот} = \frac{S_{встречи}}{t_{мот}} = \frac{42 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 84 \text{ км/ч}$

4. Определим общее время, которое понадобилось мотоциклисту, чтобы доехать из города А в город В (расстояние 63 км).

Общее время движения мотоциклиста ($T_{мот}$):
$T_{мот} = \frac{S_{АВ}}{v_{мот}} = \frac{63 \text{ км}}{84 \text{ км/ч}} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$

5. Когда мотоциклист прибудет в город B, велосипедист будет находиться в пути общее время, равное времени движения мотоциклиста плюс 3 часа его форы.

Общее время движения велосипедиста ($T_{вел}$):
$T_{вел} = T_{мот} + 3 \text{ ч} = 0,75 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 3,75 \text{ ч}$

6. За это время велосипедист проедет от города А расстояние ($S_{вел}$):

$S_{вел} = v_{вел} \times T_{вел} = 12 \text{ км/ч} \times 3,75 \text{ ч} = 45 \text{ км}$

7. Наконец, найдем, на каком расстоянии от города B будет находиться велосипедист. Для этого из общего расстояния между городами вычтем расстояние, которое проехал велосипедист.

$S_{до\;В} = S_{АВ} - S_{вел} = 63 \text{ км} - 45 \text{ км} = 18 \text{ км}$

Ответ: 18 км.