Страница 263 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1201. Три мышонка нашли головку сыра. Один мышонок съел $\frac{7}{12}$ головки, второй — $\frac{7}{15}$ остатка, а третий — остальные $1\frac{2}{3}$ кг сыра. Какова была масса головки сыра?

Для решения задачи будем действовать по шагам, находя последовательно каждую неизвестную величину.

1. Какая часть сыра осталась после первого мышонка?

Примем всю головку сыра за 1. Первый мышонок съел $\frac{7}{12}$ головки. Чтобы найти оставшуюся часть, вычтем эту долю из единицы:
$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$
Таким образом, после первого мышонка осталось $\frac{5}{12}$ головки сыра.

2. Какая часть сыра досталась третьему мышонку?

Второй мышонок съел $\frac{7}{15}$ от остатка, то есть от $\frac{5}{12}$ головки сыра. Значит, после второго мышонка осталась следующая часть от этого остатка:
$1 - \frac{7}{15} = \frac{15}{15} - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$
Эта доля ($\frac{8}{15}$) и есть та часть, что съел третий мышонок, но это доля от остатка после первого мышонка. Чтобы найти, какую часть от всей головки сыра съел третий мышонок, нужно умножить долю остатка на долю, съеденную третьим мышонком:
$\frac{5}{12} \times \frac{8}{15} = \frac{5 \times 8}{12 \times 15} = \frac{40}{180}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{40}{180} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$
Итак, третий мышонок съел $\frac{2}{9}$ от всей головки сыра.

3. Какова была масса головки сыра?

Из условия известно, что третий мышонок съел $1 \frac{2}{3}$ кг сыра. Мы выяснили, что эта масса составляет $\frac{2}{9}$ от всей головки. Обозначим начальную массу сыра за $x$ и составим уравнение:
$\frac{2}{9}x = 1 \frac{2}{3}$
Сначала переведем смешанное число $1 \frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$1 \frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Теперь решим уравнение:
$\frac{2}{9}x = \frac{5}{3}$
Чтобы найти $x$, нужно разделить известную массу на соответствующую ей долю:
$x = \frac{5}{3} \div \frac{2}{9} = \frac{5}{3} \times \frac{9}{2} = \frac{5 \times 9}{3 \times 2} = \frac{45}{6}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{15}{2} = 7,5$ кг.

Ответ: 7,5 кг.

1202. Альпинисты в первый день преодолели $1/3$ высоты горы, во второй — $1/3$ оставшейся высоты, в третий — снова $1/3$ оставшейся высоты, а в четвёртый — преодолели остальные 800 м и достигли вершины. Найдите высоту этой горы.

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца, отталкиваясь от данных последнего дня восхождения.

1. В четвертый день альпинисты преодолели оставшиеся 800 м. Это расстояние является остатком после того, как в третий день они прошли $ \frac{1}{3} $ от высоты, которая была перед началом третьего дня. Следовательно, 800 м составляют $ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ от высоты, оставшейся после второго дня.
Найдем высоту, которая оставалась перед началом третьего дня (остаток после второго дня):
$ 800 \div \frac{2}{3} = 800 \cdot \frac{3}{2} = 1200 $ м.

2. Теперь мы знаем, что после второго дня оставалось 1200 м. Во второй день альпинисты преодолели $ \frac{1}{3} $ от высоты, оставшейся после первого дня. Таким образом, 1200 м составляют $ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ от высоты, оставшейся после первого дня.
Найдем высоту, которая оставалась перед началом второго дня (остаток после первого дня):
$ 1200 \div \frac{2}{3} = 1200 \cdot \frac{3}{2} = 1800 $ м.

3. После первого дня оставалось пройти 1800 м. В первый день альпинисты преодолели $ \frac{1}{3} $ всей высоты горы. Это означает, что оставшиеся 1800 м составляют $ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ от полной высоты горы.
Найдем полную высоту горы:
$ 1800 \div \frac{2}{3} = 1800 \cdot \frac{3}{2} = 2700 $ м.

Ответ: 2700 м.

1203. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5}{9} + \frac{4}{9} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot \left(\frac{4}{19} + 1\frac{5}{38} - \frac{75}{76}\right)$;

2) $\left(1\frac{5}{54} - \frac{11}{36}\right) \cdot 3\frac{3}{5} \cdot 2\frac{2}{7} - 1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{5}{9}. $

1) $\frac{5}{9} + \frac{4}{9} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot (\frac{4}{19} + 1\frac{5}{38} - \frac{75}{76})$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Решим по шагам.

1. Вычислим значение выражения в скобках: $\frac{4}{19} + 1\frac{5}{38} - \frac{75}{76}$.

Сначала переведем смешанное число $1\frac{5}{38}$ в неправильную дробь: $1\frac{5}{38} = \frac{1 \cdot 38 + 5}{38} = \frac{43}{38}$.

Теперь нужно привести все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 19, 38 и 76 является 76.

$\frac{4}{19} = \frac{4 \cdot 4}{19 \cdot 4} = \frac{16}{76}$

$\frac{43}{38} = \frac{43 \cdot 2}{38 \cdot 2} = \frac{86}{76}$

Теперь выполним действия в скобках:

$\frac{16}{76} + \frac{86}{76} - \frac{75}{76} = \frac{16 + 86 - 75}{76} = \frac{102 - 75}{76} = \frac{27}{76}$.

2. Теперь выполним умножение: $\frac{4}{9} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot \frac{27}{76}$.

Переведем смешанное число $3\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{19}{6}$.

Получаем выражение: $\frac{4}{9} \cdot \frac{19}{6} \cdot \frac{27}{76}$.

Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{4 \cdot 19 \cdot 27}{9 \cdot 6 \cdot 76} = \frac{(4 \cdot 19) \cdot 27}{9 \cdot 6 \cdot 76} = \frac{76 \cdot 27}{9 \cdot 6 \cdot 76} = \frac{27}{9 \cdot 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Выполним последнее действие — сложение:

$\frac{5}{9} + \frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} + \frac{9}{18} = \frac{19}{18}$.

Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}$.

Ответ: $1\frac{1}{18}$.

2) $(1\frac{5}{54} - \frac{11}{36}) \cdot 3\frac{3}{5} \cdot 2\frac{2}{7} - 1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{5}{9}$

Решим по действиям: сначала действие в скобках, затем умножение, и в конце — вычитание.

1. Вычислим значение в скобках: $1\frac{5}{54} - \frac{11}{36}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{54} = \frac{1 \cdot 54 + 5}{54} = \frac{59}{54}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 54 и 36 равно 108.

$\frac{59}{54} = \frac{59 \cdot 2}{54 \cdot 2} = \frac{118}{108}$

$\frac{11}{36} = \frac{11 \cdot 3}{36 \cdot 3} = \frac{33}{108}$

Выполним вычитание: $\frac{118}{108} - \frac{33}{108} = \frac{85}{108}$.

2. Выполним первое произведение: $\frac{85}{108} \cdot 3\frac{3}{5} \cdot 2\frac{2}{7}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$ и $2\frac{2}{7} = \frac{16}{7}$.

$\frac{85}{108} \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{16}{7} = \frac{85 \cdot 18 \cdot 16}{108 \cdot 5 \cdot 7}$.

Сократим дроби: $\frac{85}{5}=17$; $\frac{18}{108}=\frac{1}{6}$.

Получаем: $\frac{17 \cdot 1 \cdot 16}{6 \cdot 1 \cdot 7} = \frac{17 \cdot 16}{42}$. Сократим 16 и 6 на 2: $\frac{17 \cdot 8}{3 \cdot 7} = \frac{136}{21}$.

3. Выполним второе произведение: $1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{5}{9}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ и $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$.

$\frac{9}{7} \cdot \frac{14}{9} = \frac{9 \cdot 14}{7 \cdot 9}$. Сократим 9 в числителе и знаменателе, получим $\frac{14}{7} = 2$.

4. Выполним вычитание:

$\frac{136}{21} - 2 = \frac{136}{21} - \frac{2 \cdot 21}{21} = \frac{136}{21} - \frac{42}{21} = \frac{136 - 42}{21} = \frac{94}{21}$.

Переведем неправильную дробь в смешанное число: $94 \div 21 = 4$ с остатком 10. Таким образом, $\frac{94}{21} = 4\frac{10}{21}$.

Ответ: $4\frac{10}{21}$.

1204. Решите уравнение:

1) $\frac{2}{3}x = 1$;

2) $5x = \frac{1}{6}$;

3) $4x = \frac{1}{4}$;

4) $7x = 20$.

1) Чтобы решить уравнение $ \frac{2}{3}x = 1 $, необходимо найти значение $x$. В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение (1) разделить на известный множитель ($\frac{2}{3}$).
$x = 1 : \frac{2}{3}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$x = 1 \cdot \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель:
$3 \div 2 = 1$ с остатком $1$.
$x = 1\frac{1}{2}$
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

2) Дано уравнение $ 5x = \frac{1}{6} $. Здесь $x$ также является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($\frac{1}{6}$) разделить на известный множитель (5).
$x = \frac{1}{6} : 5$
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель этой дроби умножить на это число:
$x = \frac{1}{6 \cdot 5}$
$x = \frac{1}{30}$
Ответ: $\frac{1}{30}$.

3) Дано уравнение $ 4x = \frac{1}{4} $. Найдем неизвестный множитель $x$, разделив произведение ($\frac{1}{4}$) на известный множитель (4).
$x = \frac{1}{4} : 4$
Умножим знаменатель дроби на целое число:
$x = \frac{1}{4 \cdot 4}$
$x = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$.

4) Дано уравнение $ 7x = 20 $. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (20) разделить на известный множитель (7).
$x = 20 : 7$
Запишем это деление в виде дроби:
$x = \frac{20}{7}$
Так как это неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделим целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$20 \div 7 = 2$ (остаток $6$)
Целая часть равна 2, а остаток 6 становится новым числителем.
$x = 2\frac{6}{7}$
Ответ: $2\frac{6}{7}$.

1205. Найдите координату точки A (рис. 231).

Рис. 231

$A(\frac{1}{2})$

$A(\frac{3}{5})$

$A(1)$

а) Единичный отрезок на координатной прямой от 0 до 1 разделен на 4 равные части. Это означает, что цена одного деления равна $\frac{1}{4}$. Точка А находится на первом делении справа от нуля. Следовательно, координата точки А равна $1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $A(\frac{1}{4})$

б) Единичный отрезок от 0 до 1 разделен на 5 равных частей. Цена одного деления составляет $\frac{1}{5}$. Точка А находится на третьем делении от начала отсчета (точки 0). Чтобы найти ее координату, нужно цену деления умножить на количество делений: $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $A(\frac{3}{5})$

в) На координатной прямой отмечен отрезок между точками с координатами $\frac{5}{6}$ и 1. Найдем длину этого отрезка: $1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$. Этот отрезок разделен на 2 равные части, значит, цена одного деления равна $\frac{1}{6} : 2 = \frac{1}{12}$. Точка А расположена на одно деление правее точки $\frac{5}{6}$. Чтобы найти ее координату, нужно к $\frac{5}{6}$ прибавить цену одного деления: $\frac{5}{6} + \frac{1}{12}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12} + \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
Ответ: $A(\frac{11}{12})$

1206. В магазин привезли 206 л молока в бидонах ёмкостью по 10 л и по 17 л. Сколько было бидонов каждой ёмкости?

Пусть $x$ — количество бидонов ёмкостью 10 л, а $y$ — количество бидонов ёмкостью 17 л. Поскольку общее количество молока равно 206 л, мы можем составить следующее уравнение:

$10x + 17y = 206$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они представляют количество бидонов.

Выразим из уравнения $10x$:

$10x = 206 - 17y$

Левая часть уравнения, $10x$, всегда будет заканчиваться на 0, так как это произведение числа на 10. Следовательно, и правая часть, $206 - 17y$, должна заканчиваться на 0. Это возможно только в том случае, если произведение $17y$ будет заканчиваться на цифру 6 (поскольку 206 заканчивается на 6).

Проверим, при каких значениях $y$ произведение $17y$ оканчивается на 6:

• $17 \cdot 1 = 17$
• $17 \cdot 2 = 34$
• $17 \cdot 3 = 51$
• $17 \cdot 4 = 68$
• $17 \cdot 5 = 85$
• $17 \cdot 6 = 102$
• $17 \cdot 7 = 119$
• $17 \cdot 8 = 136$ (оканчивается на 6)

Итак, мы видим, что подходящее значение $y$ должно оканчиваться на 8. Возможные значения для $y$: 8, 18, 28 и так далее.

Теперь проверим эти значения. Важно учесть, что $17y$ не может быть больше 206, так как $10x$ не может быть отрицательным. Значит, $17y \le 206$, откуда $y \le \frac{206}{17} \approx 12.1$.

Единственное целое число, которое оканчивается на 8 и не превышает 12.1, это $y=8$.

Подставим $y=8$ в исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$10x + 17 \cdot 8 = 206$

$10x + 136 = 206$

$10x = 206 - 136$

$10x = 70$

$x = \frac{70}{10}$

$x = 7$

Таким образом, было 7 бидонов по 10 л и 8 бидонов по 17 л.

Проверка: $7 \cdot 10 + 8 \cdot 17 = 70 + 136 = 206$ л. Результат верный.

Ответ: было 7 бидонов ёмкостью 10 л и 8 бидонов ёмкостью 17 л.