Страница 264 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Вычислите значение выражения $(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) : \frac{1}{8}$

А) 2

Б) $\frac{1}{4}$

В) $\frac{1}{2}$

Г) 4

Для вычисления значения выражения $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) \div \frac{1}{8}$ необходимо выполнить действия в правильном порядке. Согласно правилам, сначала выполняется действие в скобках (вычитание), а затем деление.

1. Выполним вычитание в скобках:

Чтобы найти разность дробей $\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 2 и 4 является 4. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Теперь выполним вычитание:

$\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$

2. Выполним деление:

Теперь результат, полученный в скобках, разделим на $\frac{1}{8}$:

$\frac{1}{4} \div \frac{1}{8}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Дробь, обратная $\frac{1}{8}$, это $\frac{8}{1}$.

$\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{1} = \frac{1 \cdot 8}{4 \cdot 1} = \frac{8}{4}$

3. Упростим результат:

Сократим полученную дробь:

$\frac{8}{4} = 2$

Таким образом, значение всего выражения равно 2.

Ответ: 2

2. Найдите произведение $2\frac{2}{3} \cdot 4\frac{1}{2}$.

А) $8\frac{1}{3}$

Б) $6\frac{3}{5}$

В) $12$

Г) $7$

Для того чтобы найти произведение смешанных чисел, необходимо сначала представить их в виде неправильных дробей.

1. Преобразуем первое смешанное число $2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть (2) на знаменатель (3) и к результату прибавим числитель (2). Полученное число станет новым числителем, а знаменатель останется прежним:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{6 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

2. Аналогично преобразуем второе смешанное число $4\frac{1}{2}$ в неправильную дробь. Умножим целую часть (4) на знаменатель (2) и прибавим числитель (1):

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{8 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

3. Теперь перемножим полученные неправильные дроби. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Для удобства вычислений можно сократить дроби перед умножением. Сократим числитель 8 и знаменатель 2 на их общий делитель 2. Также сократим числитель 9 и знаменатель 3 на их общий делитель 3:

$\frac{\cancel{8}^4}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{2}_1} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 1} = \frac{12}{1} = 12$

Произведение равно 12. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ В).

Ответ: 12

3. Решите уравнение $\frac{5}{6}x = 30.$

А) 25 Б) 36 В) $\frac{1}{25}$ Г) $\frac{1}{36}$

Чтобы решить уравнение $ \frac{5}{6}x = 30 $, необходимо найти значение неизвестной переменной $x$.

Для этого нужно изолировать $x$. В данном уравнении $x$ является одним из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (30) разделить на известный множитель ($ \frac{5}{6} $).

$ x = 30 \div \frac{5}{6} $

Деление на обыкновенную дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Дробь, обратная $ \frac{5}{6} $, это $ \frac{6}{5} $.

$ x = 30 \cdot \frac{6}{5} $

Теперь выполним умножение. Можно представить число 30 в виде дроби $ \frac{30}{1} $ и сократить числитель первой дроби и знаменатель второй:

$ x = \frac{30}{1} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30 \cdot 6}{1 \cdot 5} $

Сокращаем 30 и 5 на 5:

$ x = \frac{6 \cdot 6}{1} = 36 $

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$ \frac{5}{6} \cdot 36 = 5 \cdot \frac{36}{6} = 5 \cdot 6 = 30 $

$ 30 = 30 $

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: 36

4. Найдите частное $3\frac{1}{7} : 2$.

А) $3\frac{1}{14}$ Б) $1\frac{4}{7}$ В) $6\frac{2}{7}$ Г) $11$

Для того чтобы найти частное от деления смешанного числа на целое число, необходимо сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби.

1. Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{7}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть (3) на знаменатель (7) и к результату прибавим числитель (1). Знаменатель (7) оставим без изменений:

$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{21 + 1}{7} = \frac{22}{7}$

2. Теперь задача сводится к делению полученной неправильной дроби на целое число 2:

$\frac{22}{7} : 2$

3. Чтобы разделить дробь на число, нужно умножить знаменатель дроби на это число, а числитель оставить прежним. Или, что то же самое, умножить дробь на число, обратное делителю (т.е. на $\frac{1}{2}$):

$\frac{22}{7} : 2 = \frac{22}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{22 \cdot 1}{7 \cdot 2} = \frac{22}{14}$

4. Сократим полученную дробь $\frac{22}{14}$, разделив её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{22 \div 2}{14 \div 2} = \frac{11}{7}$

5. Преобразуем неправильную дробь $\frac{11}{7}$ обратно в смешанное число. Для этого разделим числитель (11) на знаменатель (7) с остатком:

$11 \div 7 = 1$ (остаток $4$)

Неполное частное (1) становится целой частью, остаток (4) — числителем, а делитель (7) — знаменателем дробной части.

$\frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$

Таким образом, частное от деления $3\frac{1}{7}$ на $2$ равно $1\frac{4}{7}$, что соответствует варианту Б.

Ответ: Б) $1\frac{4}{7}$

5. Найдите значение выражения $(7 - 1\frac{5}{9} : \frac{7}{24}) \cdot 1\frac{7}{20}$

А) $\frac{65}{108}$

Б) $\frac{9}{4}$

В) $\frac{3}{8}$

Г) $\frac{3}{56}$

Чтобы найти значение выражения $(7 - 1\frac{5}{9} : \frac{7}{24}) \cdot 1\frac{7}{20}$, необходимо выполнить действия в правильном порядке. Сначала выполняются действия в скобках (деление, а затем вычитание), после чего — умножение.

1. Выполним деление в скобках: $1\frac{5}{9} : \frac{7}{24}$

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{5}{9}$ в неправильную дробь:

$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$\frac{14}{9} : \frac{7}{24} = \frac{14}{9} \cdot \frac{24}{7}$

Сократим множители в числителе и знаменателе: $14$ и $7$ делятся на $7$; $24$ и $9$ делятся на $3$.

$\frac{14}{9} \cdot \frac{24}{7} = \frac{2 \cdot \cancel{7}}{3 \cdot \cancel{3}} \cdot \frac{8 \cdot \cancel{3}}{1 \cdot \cancel{7}} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 1} = \frac{16}{3}$

2. Выполним вычитание в скобках: $7 - \frac{16}{3}$

Представим целое число $7$ в виде дроби со знаменателем $3$:

$7 = \frac{7 \cdot 3}{3} = \frac{21}{3}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{21}{3} - \frac{16}{3} = \frac{21 - 16}{3} = \frac{5}{3}$

3. Выполним умножение: $\frac{5}{3} \cdot 1\frac{7}{20}$

Преобразуем смешанное число $1\frac{7}{20}$ в неправильную дробь:

$1\frac{7}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 7}{20} = \frac{27}{20}$

Теперь умножим результат из скобок на полученную дробь:

$\frac{5}{3} \cdot \frac{27}{20}$

Сократим множители: $5$ и $20$ делятся на $5$; $27$ и $3$ делятся на $3$.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{27}{20} = \frac{1 \cdot \cancel{5}}{1 \cdot \cancel{3}} \cdot \frac{9 \cdot \cancel{3}}{4 \cdot \cancel{5}} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 4} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$

6. Числа $4\frac{1}{6}$ и $\frac{6}{a}$ являются взаимно обратными. Чему равно значение $a$?

А) 1

Б) 11

В) 25

Г) 10

По определению, два числа являются взаимно обратными, если их произведение равно 1. В данном случае нам даны числа $4\frac{1}{6}$ и $\frac{6}{a}$. Их произведение должно равняться единице:

$$ 4\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{a} = 1 $$

Для решения этого уравнения, сначала преобразуем смешанное число $4\frac{1}{6}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$$ 4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{24 + 1}{6} = \frac{25}{6} $$

Теперь подставим полученную неправильную дробь в наше исходное уравнение:

$$ \frac{25}{6} \cdot \frac{6}{a} = 1 $$

При умножении дробей мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. В данном случае число 6 есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются:

$$ \frac{25 \cdot \sout{6}}{\sout{6} \cdot a} = 1 $$

После сокращения получаем простое уравнение:

$$ \frac{25}{a} = 1 $$

Чтобы дробь была равна единице, ее числитель должен быть равен знаменателю. Отсюда следует, что:

$$ a = 25 $$

Таким образом, значение $a$ равно 25. Этот вариант соответствует ответу В).

Проверка:

Найдем число, обратное к $4\frac{1}{6}$. Сначала представим его в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$.

Числом, обратным к $\frac{25}{6}$, является дробь $\frac{6}{25}$.

По условию, второе число равно $\frac{6}{a}$. Сравнивая $\frac{6}{25}$ и $\frac{6}{a}$, видим, что $a=25$.

Ответ: В) 25

7. В бочку, объём которой равен 45 л, налили воду, заполнив $\frac{5}{9}$ её объёма. Сколько литров воды налили в бочку?

А) 25 л

Б) 20 л

В) 81 л

Г) 40 л

Чтобы определить, сколько литров воды налили в бочку, необходимо найти $\frac{5}{9}$ от её общего объёма, который составляет 45 литров. Для этого нужно умножить общий объём на данную дробь.

Вычисление:

$45 \cdot \frac{5}{9} = \frac{45 \cdot 5}{9}$

Можно сократить 45 и 9, так как 45 делится на 9 без остатка:

$\frac{45}{9} = 5$

Теперь умножим результат на числитель дроби:

$5 \cdot 5 = 25$ (л)

Таким образом, в бочку налили 25 литров воды.

Ответ: 25 л

8. У мальчика было 32 тетради в клеточку, что составляло $\frac{4}{7}$ всех тетрадей. Сколько всего тетрадей было у мальчика?

А) 42 тетради

В) 56 тетрадей

Б) 48 тетрадей

Г) 64 тетради

По условию задачи, 32 тетради в клеточку составляют $\frac{4}{7}$ от общего количества тетрадей. Это задача на нахождение целого по его части.

Сначала определим, сколько тетрадей приходится на одну часть ($\frac{1}{7}$). Если 4 части — это 32 тетради, то для нахождения одной части нужно разделить 32 на 4:

$32 \div 4 = 8$ (тетрадей)

Итак, $\frac{1}{7}$ всех тетрадей — это 8 тетрадей.

Общее количество тетрадей представляет собой целое, то есть 7 таких частей. Чтобы найти общее количество, нужно умножить количество тетрадей в одной части на 7:

$8 \cdot 7 = 56$ (тетрадей)

Таким образом, всего у мальчика было 56 тетрадей, что соответствует варианту В).

Ответ: В) 56 тетрадей

9. Петя поймал 6 рыб и ещё две трети улова. Сколько рыб поймал Петя?

А) 6 рыб

Б) 12 рыб

В) 18 рыб

Г) 24 рыбы

Для решения задачи обозначим общее количество пойманной рыбы за x.

Из условия мы знаем, что улов Пети состоит из двух частей: 6 рыб и ещё две трети от всего улова ($\frac{2}{3}x$).

Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$x = 6 + \frac{2}{3}x$

Теперь решим это уравнение. Перенесём слагаемое с x из правой части в левую, изменив его знак:

$x - \frac{2}{3}x = 6$

Чтобы вычесть дроби, представим x как $\frac{3}{3}x$:

$\frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = 6$

Выполнив вычитание, получим:

$\frac{1}{3}x = 6$

Это означает, что одна треть всего улова равна 6 рыбам. Чтобы найти весь улов (x), нужно умножить это количество на 3:

$x = 6 \times 3$

$x = 18$

Итак, всего Петя поймал 18 рыб.

Проверка: две трети от 18 рыб — это $\frac{2}{3} \times 18 = 12$ рыб. Если сложить 6 рыб и 12 рыб, получится $6 + 12 = 18$ рыб, что соответствует нашему результату.

Ответ: 18 рыб.