Страница 268 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой знак в записи десятичной дроби отделяет целую часть от дробной?

1. В записи десятичной дроби для отделения целой части от дробной используется запятая. Этот символ называется десятичным разделителем.

Например, рассмотрим десятичную дробь $25,17$.

• Число $25$, которое стоит слева от запятой, является целой частью дроби.
• Число $17$, стоящее справа от запятой, является дробной частью.
• Запятая (,) — это знак, который их разделяет.

В некоторых странах (например, в США и Великобритании) в качестве десятичного разделителя принято использовать точку (например, $25.17$), однако в России и многих других странах используется именно запятая.

Ответ: Запятая.

2. Чему равна целая часть правильной дроби?

Правильной дробью называется такая обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению это означает, что $a < b$.

Поскольку числитель меньше знаменателя, значение такой дроби всегда будет меньше 1, но больше 0. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < \frac{a}{b} < 1$.

Целой частью числа называется наибольшее целое число, которое не превышает данное число. Так как значение любой правильной дроби находится в интервале от 0 до 1, она не содержит ни одной целой единицы. Наибольшее целое число, которое не больше числа из этого интервала, — это ноль.

Например:
Для дроби $\frac{1}{2} = 0.5$ целая часть равна 0.
Для дроби $\frac{7}{8} = 0.875$ целая часть равна 0.
Для дроби $\frac{99}{100} = 0.99$ целая часть равна 0.

Таким образом, целая часть любой правильной дроби всегда равна нулю.

Ответ: 0

3. Назовите по порядку четыре разряда, идущие в записи десятичной дроби после запятой.

В записи десятичной дроби цифры, стоящие справа от запятой, обозначают дробную часть числа. Позиция (разряд) каждой цифры после запятой имеет свое название и соответствует определенной доле единицы. Каждый следующий разряд в 10 раз меньше предыдущего.

Четыре разряда, идущие по порядку после запятой, называются следующим образом:

1. Разряд десятых. Это первая цифра после запятой. Она показывает, сколько десятых долей ($1/10$ или $10^{-1}$) содержится в числе.

2. Разряд сотых. Это вторая цифра после запятой. Она показывает, сколько сотых долей ($1/100$ или $10^{-2}$) содержится в числе.

3. Разряд тысячных. Это третья цифра после запятой. Она показывает, сколько тысячных долей ($1/1000$ или $10^{-3}$) содержится в числе.

4. Разряд десятитысячных. Это четвертая цифра после запятой. Она показывает, сколько десятитысячных долей ($1/10000$ или $10^{-4}$) содержится в числе.

Например, в дроби 0,5683 цифра 5 находится в разряде десятых, 6 — в разряде сотых, 8 — в разряде тысячных, а 3 — в разряде десятитысячных.

Ответ: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные.

1. Какую часть:

1) метра составляет: 1 см; 3 дм; 4 мм;

2) тонны составляет: 1 кг; 5 ц; 346 кг;

3) квадратного метра составляет: $1 \text{ дм}^2$; $8 \text{ см}^2$?

1)

Чтобы определить, какую часть метра составляет каждая величина, необходимо знать соотношения единиц длины:

• 1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см). Следовательно, 1 см составляет $1/100$ часть метра.
• 1 метр (м) равен 10 дециметрам (дм). Следовательно, 3 дм составляют $3/10$ части метра.
• 1 метр (м) равен 1000 миллиметрам (мм). Следовательно, 4 мм составляют $4/1000$ часть метра. Эту дробь можно сократить: $4/1000 = 1/250$.

Ответ: 1 см составляет $1/100$ метра; 3 дм составляют $3/10$ метра; 4 мм составляют $1/250$ метра.

2)

Чтобы определить, какую часть тонны составляет каждая величина, необходимо знать соотношения единиц массы:

• 1 тонна (т) равна 1000 килограммам (кг). Следовательно, 1 кг составляет $1/1000$ часть тонны.
• 1 тонна (т) равна 10 центнерам (ц). Следовательно, 5 ц составляют $5/10$ часть тонны. Эту дробь можно сократить: $5/10 = 1/2$.
• Поскольку в 1 тонне 1000 кг, то 346 кг составляют $346/1000$ часть тонны. Эту дробь можно сократить: $346/1000 = 173/500$.

Ответ: 1 кг составляет $1/1000$ тонны; 5 ц составляют $1/2$ тонны; 346 кг составляют $173/500$ тонны.

3)

Чтобы определить, какую часть квадратного метра составляет каждая величина, необходимо знать соотношения единиц площади:

• Поскольку $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^2 = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$. Следовательно, 1 дм² составляет $1/100$ часть квадратного метра.
• Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$. Следовательно, 8 см² составляют $8/10000$ часть квадратного метра. Эту дробь можно сократить: $8/10000 = 1/1250$.

Ответ: 1 дм² составляет $1/100$ квадратного метра; 8 см² составляют $1/1250$ квадратного метра.

2. Во сколько раз:

1) 1 см меньше 1 м;

2) 10 г меньше 1 кг;

3) 9 м больше 9 дм;

4) 4 ц больше 20 кг?

1) Чтобы определить, во сколько раз 1 см меньше 1 м, нужно привести обе величины к одной единице измерения. Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). Теперь разделим большую величину на меньшую: $100 \text{ см} \div 1 \text{ см} = 100$. Таким образом, 1 см в 100 раз меньше, чем 1 м.
Ответ: в 100 раз.

2) Чтобы определить, во сколько раз 10 г меньше 1 кг, нужно привести обе величины к одной единице измерения. Мы знаем, что в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$). Теперь разделим большую величину на меньшую: $1000 \text{ г} \div 10 \text{ г} = 100$. Таким образом, 10 г в 100 раз меньше, чем 1 кг.
Ответ: в 100 раз.

3) Чтобы определить, во сколько раз 9 м больше 9 дм, нужно привести обе величины к одной единице измерения. Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$). Переведем 9 метров в дециметры: $9 \text{ м} = 9 \times 10 \text{ дм} = 90 \text{ дм}$. Теперь разделим большую величину на меньшую: $90 \text{ дм} \div 9 \text{ дм} = 10$. Таким образом, 9 м в 10 раз больше, чем 9 дм.
Ответ: в 10 раз.

4) Чтобы определить, во сколько раз 4 ц больше 20 кг, нужно привести обе величины к одной единице измерения. Мы знаем, что в одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$). Переведем 4 центнера в килограммы: $4 \text{ ц} = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$. Теперь разделим большую величину на меньшую: $400 \text{ кг} \div 20 \text{ кг} = 20$. Таким образом, 4 ц в 20 раз больше, чем 20 кг.
Ответ: в 20 раз.

3. К сумме чисел 28 и 6 прибавьте сумму чисел 12 и 14.

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько математических операций.

1. Найти сумму чисел 28 и 6.

Сумма — это результат сложения. Складываем первое-пару чисел:

$28 + 6 = 34$

2. Найти сумму чисел 12 и 14.

Теперь находим сумму второй пары чисел:

$12 + 14 = 26$

3. Прибавить вторую сумму к первой.

Согласно условию, нужно к первой сумме (34) прибавить вторую сумму (26):

$34 + 26 = 60$

Задачу можно также записать и решить одним выражением:

$(28 + 6) + (12 + 14) = 34 + 26 = 60$

Ответ: 60

4. Из разности чисел $30 - 16$ вычтите разность чисел $42 - 29$.

Для решения задачи нужно выполнить три действия: найти первую разность, найти вторую разность и затем вычесть вторую разность из первой.

1. Находим разность чисел 30 и 16

Разность — это результат вычитания одного числа из другого. Вычислим разность 30 и 16.

$30 - 16 = 14$

2. Находим разность чисел 42 и 29

Теперь вычислим разность для второй пары чисел.

$42 - 29 = 13$

3. Вычитаем вторую разность из первой

Согласно условию, из результата первого действия (14) нужно вычесть результат второго действия (13).

$14 - 13 = 1$

Задачу также можно записать и решить одним выражением:

$(30 - 16) - (42 - 29) = 14 - 13 = 1$

Ответ: 1

5. Произведение чисел 12 и 5 умножьте на произведение чисел 15 и 4.

Для решения задачи необходимо выполнить действия в три этапа. Сначала мы вычислим два произведения, указанных в условии, а затем перемножим полученные результаты.

Первое действие — это нахождение произведения чисел 12 и 5. Произведение является результатом умножения:

$12 \times 5 = 60$

Второе действие — это нахождение произведения чисел 15 и 4:

$15 \times 4 = 60$

Третьим и заключительным действием будет умножение результатов первых двух действий друг на друга:

$60 \times 60 = 3600$

Таким образом, итоговый результат составляет 3600.

Ответ: 3600

6. Частное чисел 90 и 15 разделите на частное чисел 84 и 14.

Для того чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить действия в определенном порядке.

Решение

1. Первым шагом найдем частное чисел 90 и 15. Частное является результатом операции деления.

$90 \div 15 = 6$

2. Вторым шагом найдем частное чисел 84 и 14.

$84 \div 14 = 6$

3. Третьим шагом, согласно условию, разделим результат первого действия на результат второго действия.

$6 \div 6 = 1$

Таким образом, полное решение можно записать одним выражением:

$(90 \div 15) \div (84 \div 14) = 6 \div 6 = 1$

Ответ: 1

1207. Прочитайте десятичную дробь:

1) $1,6$;

2) $12,8$;

3) $5,24$;

4) $6,325$;

5) $17,4192$;

6) $0,5$;

7) $0,05$;

8) $0,005$;

9) $3,04$;

10) $0,0304$;

11) $12,098$;

12) $0,01012$.

Чтобы прочитать десятичную дробь, необходимо:

1. Назвать целую часть дроби (число слева от запятой) и добавить слово «целая» (для 1), «целых» (для 0, 5, 6, ...) или «целые» (для 2, 3, 4).
2. Назвать дробную часть дроби (число справа от запятой).
3. Назвать разряд последней цифры дробной части: десятых (1 знак после запятой), сотых (2 знака), тысячных (3 знака), десятитысячных (4 знака), стотысячных (5 знаков) и так далее.

1) Десятичная дробь $1,6$ читается как «одна целая шесть десятых».

Ответ: одна целая шесть десятых.

2) Десятичная дробь $12,8$ читается как «двенадцать целых восемь десятых».

Ответ: двенадцать целых восемь десятых.

3) Десятичная дробь $5,24$ читается как «пять целых двадцать четыре сотых».

Ответ: пять целых двадцать четыре сотых.

4) Десятичная дробь $6,325$ читается как «шесть целых триста двадцать пять тысячных».

Ответ: шесть целых триста двадцать пять тысячных.

5) Десятичная дробь $17,4192$ читается как «семнадцать целых четыре тысячи сто девяносто две десятитысячных».

Ответ: семнадцать целых четыре тысячи сто девяносто две десятитысячных.

6) Десятичная дробь $0,5$ читается как «ноль целых пять десятых».

Ответ: ноль целых пять десятых.

7) Десятичная дробь $0,05$ читается как «ноль целых пять сотых».

Ответ: ноль целых пять сотых.

8) Десятичная дробь $0,005$ читается как «ноль целых пять тысячных».

Ответ: ноль целых пять тысячных.

9) Десятичная дробь $3,04$ читается как «три целых четыре сотых».

Ответ: три целых четыре сотых.

10) Десятичная дробь $0,0304$ читается как «ноль целых триста четыре десятитысячных».

Ответ: ноль целых триста четыре десятитысячных.

11) Десятичная дробь $12,098$ читается как «двенадцать целых девяносто восемь тысячных».

Ответ: двенадцать целых девяносто восемь тысячных.

12) Десятичная дробь $0,01012$ читается как «ноль целых одна тысяча двенадцать стотысячных».

Ответ: ноль целых одна тысяча двенадцать стотысячных.

1208. Запишите в виде десятичной дроби:

1) $\frac{8}{10}$;

2) $\frac{34}{100}$;

3) $\frac{683}{1000}$;

4) $14\frac{5}{10}$;

5) $42\frac{174}{1000}$;

6) $9\frac{3}{100}$;

7) $63\frac{19}{100000}$;

8) $\frac{32}{10000}$;

9) $\frac{4}{1000}$;

10) $3\frac{15}{100}$;

11) $3\frac{15}{1000}$;

12) $3\frac{15}{10000}$.

1) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно ее числитель разделить на знаменатель. В дроби $\frac{8}{10}$ знаменатель равен 10 (один ноль), поэтому в числителе 8 нужно отделить запятой один знак справа.
$\frac{8}{10} = 0,8$
Ответ: 0,8

2) В дроби $\frac{34}{100}$ знаменатель 100 содержит два нуля. Это означает, что в числителе 34 нужно отделить запятой два знака, считая справа налево.
$\frac{34}{100} = 0,34$
Ответ: 0,34

3) В дроби $\frac{683}{1000}$ знаменатель 1000 содержит три нуля. Следовательно, в числителе 683 нужно отделить запятой три знака справа налево.
$\frac{683}{1000} = 0,683$
Ответ: 0,683

4) Это смешанное число. Целая часть (14) остается целой частью десятичной дроби и пишется перед запятой. Дробную часть $\frac{5}{10}$ переводим в десятичную: делим 5 на 10, что равно 0,5. Складываем целую и дробную части: $14 + 0,5 = 14,5$.
$14 \frac{5}{10} = 14,5$
Ответ: 14,5

5) Целая часть смешанного числа $42 \frac{174}{1000}$ равна 42. Дробную часть $\frac{174}{1000}$ записываем в виде десятичной дроби, отделив в числителе 174 три знака запятой, так как в знаменателе три нуля.
$42 \frac{174}{1000} = 42,174$
Ответ: 42,174

6) Целая часть смешанного числа $9 \frac{3}{100}$ равна 9. В дробной части $\frac{3}{100}$ в знаменателе два нуля, а в числителе только одна цифра. Чтобы отделить два знака запятой, нужно дописать перед цифрой 3 один ноль: 03. Получаем 0,03.
$9 \frac{3}{100} = 9,03$
Ответ: 9,03

7) Целая часть смешанного числа $63 \frac{19}{100000}$ равна 63. В знаменателе дробной части $\frac{19}{100000}$ пять нулей, а в числителе всего две цифры. Поэтому перед числом 19 нужно дописать три нуля, чтобы общее количество знаков после запятой стало равным пяти: 00019.
$63 \frac{19}{100000} = 63,00019$
Ответ: 63,00019

8) В дроби $\frac{32}{10000}$ знаменатель содержит четыре нуля, а числитель 32 — две цифры. Чтобы записать десятичную дробь, нужно, чтобы количество цифр после запятой было равно четырем. Дописываем перед 32 два нуля: 0032.
$\frac{32}{10000} = 0,0032$
Ответ: 0,0032

9) В дроби $\frac{4}{1000}$ в знаменателе три нуля, а в числителе одна цифра. Дописываем перед 4 два нуля, чтобы получить три знака после запятой: 004.
$\frac{4}{1000} = 0,004$
Ответ: 0,004

10) Целая часть смешанного числа $3 \frac{15}{100}$ равна 3. Дробную часть $\frac{15}{100}$ переводим в десятичную, отделив в числителе 15 два знака запятой (так как в знаменателе два нуля).
$3 \frac{15}{100} = 3,15$
Ответ: 3,15

11) Целая часть смешанного числа $3 \frac{15}{1000}$ равна 3. В знаменателе дробной части $\frac{15}{1000}$ три нуля, а в числителе две цифры. Дописываем перед 15 один ноль, чтобы получить три знака после запятой: 015.
$3 \frac{15}{1000} = 3,015$
Ответ: 3,015

12) Целая часть смешанного числа $3 \frac{15}{10000}$ равна 3. В знаменателе дробной части $\frac{15}{10000}$ четыре нуля, а в числителе две цифры. Дописываем перед 15 два нуля, чтобы получить четыре знака после запятой: 0015.
$3 \frac{15}{10000} = 3,0015$
Ответ: 3,0015