Страница 273 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая из двух десятичных дробей с неравными целыми частями больше?

Чтобы сравнить две десятичные дроби с неравными целыми частями, необходимо сравнить их целые части. Та десятичная дробь будет больше, у которой целая часть больше. При этом сравнивать дробные части (цифры после запятой) не нужно.

Это правило следует из самого определения десятичной дроби. Целая часть показывает, сколько полных единиц содержится в числе, а дробная часть — какую долю от единицы составляет оставшаяся часть. Если количество целых единиц в одном числе больше, чем в другом, то первое число заведомо больше, вне зависимости от величины его дробной части.

Рассмотрим пример. Сравним числа $12,34$ и $9,876$.

1. Целая часть числа $12,34$ равна $12$.
2. Целая часть числа $9,876$ равна $9$.
3. Сравниваем целые части: $12 > 9$.
4. Следовательно, $12,34 > 9,876$, несмотря на то, что дробная часть у второго числа (876) больше, чем у первого (34).

Ответ: из двух десятичных дробей с неравными целыми частями больше та, у которой целая часть больше.

2. Как сравнивают десятичные дроби с равными целыми частями и одинаковым количеством цифр после запятой?

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и одинаковым количеством цифр после запятой, нужно сравнить их дробные части. Сравнение производится поразрядно, слева направо, начиная с разряда десятых. Та дробь будет больше, у которой первая же отличающаяся цифра после запятой будет больше.

Поскольку в условии сказано, что количество цифр после запятой одинаково, это правило равносильно сравнению натуральных чисел, которые получаются, если отбросить у дробей целую часть и запятую.

Рассмотрим на примере сравнение дробей $15,483$ и $15,469$.

1. Целые части равны: $15 = 15$.
2. Количество цифр после запятой одинаково (по 3 цифры).
3. Начинаем поразрядное сравнение дробных частей слева направо:
   - Сравниваем цифры в разряде десятых: $4 = 4$. Они равны, поэтому переходим к следующему разряду.
   - Сравниваем цифры в разряде сотых: $8 > 6$. Так как цифра в разряде сотых у первой дроби больше, то и сама первая дробь больше второй. Дальнейшее сравнение не требуется.

Таким образом, $15,483 > 15,469$.

Используя второй, более простой способ: отбрасываем целые части и запятые и сравниваем числа $483$ и $469$. Так как $483 > 469$, то и $15,483 > 15,469$.

Ответ: Из двух десятичных дробей с равными целыми частями и одинаковым количеством знаков после запятой больше та, у которой больше число, образованное цифрами, стоящими после запятой.

3. Какую дробь мы получим, если к данной десятичной дроби припишем справа несколько нулей?

Если к десятичной дроби приписать справа один или несколько нулей, то получится дробь, равная данной. Это одно из основных свойств десятичных дробей. Величина дроби при этом не изменяется.

Давайте разберемся, почему это так, на примере. Возьмем десятичную дробь $0,5$. Эту дробь можно представить в виде обыкновенной дроби:$0,5 = \frac{5}{10}$

Теперь припишем к $0,5$ один ноль справа, чтобы получить дробь $0,50$. Представим новую дробь в виде обыкновенной:$0,50 = \frac{50}{100}$

Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), значение дроби не изменится. Мы можем сократить дробь $\frac{50}{100}$ на 10:$\frac{50}{100} = \frac{50 \div 10}{100 \div 10} = \frac{5}{10}$

Как мы видим, $\frac{50}{100}$ равна $\frac{5}{10}$, следовательно, $0,50 = 0,5$.

То же самое произойдет, если мы добавим еще нули:$0,500 = \frac{500}{1000} = \frac{500 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{5}{10} = 0,5$

Таким образом, добавление нулей справа от дробной части десятичной дроби не меняет ее значения. Каждый добавленный ноль — это одновременное умножение числителя и знаменателя соответствующей обыкновенной дроби на 10, что оставляет дробь неизменной.

Ответ: Мы получим дробь, равную данной.

4. Какую дробь мы получим, если у данной десятичной дроби отбросим последние нули её записи?

Если у данной десятичной дроби отбросить последние нули её записи (т.е. нули, стоящие в конце дробной части), то мы получим дробь, равную данной. Это одно из основных свойств десятичных дробей.

Чтобы понять почему, рассмотрим пример. Возьмём десятичную дробь $5,4600$.

Любую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби или смешанного числа. В нашем случае дробная часть "четыре тысячи шестьсот десятитысячных" записывается так: $5,4600 = 5\frac{4600}{10000}$

Теперь отбросим два последних нуля у дроби $5,4600$. В результате получится дробь $5,46$. Запишем её также в виде смешанного числа. Дробная часть "сорок шесть сотых" записывается так: $5,46 = 5\frac{46}{100}$

Теперь сравним две дроби, которые мы получили: $5\frac{4600}{10000}$ и $5\frac{46}{100}$. Целые части у них одинаковые, сравним дробные части. Используем основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{4600}{10000}$ на $100$: $\frac{4600}{10000} = \frac{4600 \div 100}{10000 \div 100} = \frac{46}{100}$

Так как дробные части равны ($\frac{4600}{10000} = \frac{46}{100}$), то и смешанные числа равны: $5\frac{4600}{10000} = 5\frac{46}{100}$. Следовательно, равны и исходные десятичные дроби: $5,4600 = 5,46$.

Таким образом, отбрасывание нулей в конце записи десятичной дроби не изменяет её величину.

Ответ: Мы получим дробь, равную данной.

5. Сформулируйте правило сравнения двух десятичных дробей с равными целыми частями и различным количеством цифр после запятой.

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, необходимо сначала уравнять количество цифр в дробных частях, а затем сравнить их.

1. Уравнивание количества знаков после запятой.
К дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно дописать справа столько нулей, чтобы количество цифр после запятой у обеих дробей стало одинаковым. Добавление нулей в конце десятичной дроби не изменяет её значения.

Например: нужно сравнить $7,4$ и $7,38$. У дроби $7,4$ один знак после запятой, а у $7,38$ — два. Допишем к дроби $7,4$ один ноль справа, чтобы количество знаков сравнялось: получим $7,40$.

2. Сравнение дробных частей.
После того как количество цифр после запятой стало одинаковым, нужно сравнить дробные части этих дробей, отбросив запятую (то есть, сравнить их как обычные натуральные числа). Та дробь будет больше, у которой полученное число больше.

Например (продолжение): сравниваем $7,40$ и $7,38$. Целые части у них равны (7). Сравниваем дробные части: $40$ и $38$. Так как $40 > 38$, то и $7,40 > 7,38$. Следовательно, $7,4 > 7,38$.

Ответ: Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями, нужно сначала с помощью дописывания нулей справа уравнять количество цифр после запятой, а затем, отбросив запятую, сравнить дробные части как натуральные числа. Больше та дробь, у которой полученное число больше.