Страница 276 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1249. Вычислите:

1) $(714 : 7 - 100)^2;$

2) $(963 : 9 - 618 : 6)^3$

Для вычисления значения выражения $(714 : 7 - 100)^2$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции в скобках, а затем возведение в степень. Внутри скобок сначала выполняется деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление в скобках: $714 : 7$.
$714 : 7 = (700 + 14) : 7 = 700 : 7 + 14 : 7 = 100 + 2 = 102$.

2. Теперь выполним вычитание в скобках, используя результат первого действия:
$102 - 100 = 2$.

3. Последним действием возведем полученный результат в квадрат:
$2^2 = 2 \times 2 = 4$.

Таким образом, полное решение выглядит так: $(714 : 7 - 100)^2 = (102 - 100)^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

Для вычисления значения выражения $(963 : 9 - 618 : 6)^3$ также следуем порядку действий. Сначала выполняем все действия в скобках (деления, затем вычитание), а после этого возводим результат в куб.

1. Выполним первое деление в скобках: $963 : 9$.
$963 : 9 = (900 + 63) : 9 = 900 : 9 + 63 : 9 = 100 + 7 = 107$.

2. Выполним второе деление в скобках: $618 : 6$.
$618 : 6 = (600 + 18) : 6 = 600 : 6 + 18 : 6 = 100 + 3 = 103$.

3. Теперь выполним вычитание в скобках, используя результаты первых двух действий:
$107 - 103 = 4$.

4. Последним действием возведем полученный результат в куб:
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$.

Таким образом, полное решение выглядит так: $(963 : 9 - 618 : 6)^3 = (107 - 103)^3 = 4^3 = 64$.

Ответ: 64

1250. Максим спешит в школу и идёт со скоростью $6 \text{ км/ч}$. Успеет ли Максим дойти до школы за $20 \text{ мин}$, если его дом находится на расстоянии $1 \text{ км}$ от неё?

Чтобы определить, успеет ли Максим дойти до школы, необходимо рассчитать время, которое он затратит на путь, и сравнить его с имеющимися 20 минутами.

1. Найдем время, которое потребуется Максиму на дорогу.

Известные данные:

• Скорость Максима ($v$) = 6 км/ч
• Расстояние до школы ($S$) = 1 км

Время в пути ($t$) можно рассчитать по формуле: $t = \frac{S}{v}$.

Подставим значения в формулу:

$t = \frac{1 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{1}{6}$ часа.

2. Переведем полученное время в минуты.

В одном часе 60 минут. Чтобы перевести $\frac{1}{6}$ часа в минуты, нужно умножить это значение на 60:

$t = \frac{1}{6} \times 60 = 10$ минут.

3. Сравним расчетное время с имеющимся.

Максиму требуется 10 минут, чтобы добраться до школы. По условию у него есть 20 минут.

$10 \text{ минут} < 20 \text{ минут}$

Так как время, необходимое Максиму на дорогу, меньше времени, которое у него есть, он успеет в школу.

Ответ: Да, Максим успеет дойти до школы.

1251. Площадь картонного прямоугольника равна 3 $дм^2$, а длины его сторон, выраженные в $см$, являются натуральными числами. Этот прямоугольник разрезали на полоски шириной 1 $см$ и сложили из них одну длинную полоску. Какой длины получилась полоска?

Для решения задачи сначала необходимо привести все единицы измерения к одной. Поскольку ширина полосок и длины сторон выражены в сантиметрах, переведем площадь прямоугольника в квадратные сантиметры.

Мы знаем, что в одном дециметре $10$ сантиметров:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Следовательно, в одном квадратном дециметре $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров:

$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$

Теперь найдем площадь картонного прямоугольника в квадратных сантиметрах:

$S = 3 \text{ дм}^2 = 3 \times 100 \text{ см}^2 = 300 \text{ см}^2$

Когда прямоугольник разрезают на полоски и складывают их в одну длинную полоску, общая площадь материала не меняется. Таким образом, площадь новой длинной полоски также равна $300 \text{ см}^2$.

Новая полоска — это тоже прямоугольник, ширина которого по условию равна $1 \text{ см}$. Площадь этого нового прямоугольника равна произведению его длины $L$ на ширину $w$.

$S_{новая} = L \times w$

Мы знаем площадь ($300 \text{ см}^2$) и ширину ($1 \text{ см}$), поэтому можем найти длину $L$:

$L = \frac{S_{новая}}{w} = \frac{300 \text{ см}^2}{1 \text{ см}} = 300 \text{ см}$

Условие о том, что стороны исходного прямоугольника являются натуральными числами, означает, что такой прямоугольник мог существовать (например, со сторонами $15 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$, так как $15 \times 20 = 300$). Однако это не влияет на конечный результат.

Длину можно также выразить в метрах: $300 \text{ см} = 3 \text{ м}$.

Ответ: Длина получившейся полоски равна $300 \text{ см}$ или $3 \text{ м}$.

1252.Необходимо перевезти 350 рулонов линолеума, в каждом из которых длина линолеума составляет 150 дм, а ширина — 12 дм. Какое наименьшее количество автомобилей грузоподъёмностью 5 т нужно для этого, если масса 1 дм² линолеума составляет 30 г, а каждый автомобиль будет выполнять один рейс?

Для решения данной задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов, чтобы найти общую массу груза и определить, сколько автомобилей потребуется для его перевозки.

1. Вычисление площади одного рулона линолеума

Сначала найдем площадь одного рулона. Рулон представляет собой прямоугольник с длиной 150 дм и шириной 12 дм. Площадь ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \text{длина} \times \text{ширина}$

$S = 150 \text{ дм} \times 12 \text{ дм} = 1800 \text{ дм}^2$

Таким образом, площадь одного рулона линолеума составляет 1800 дм².

2. Вычисление массы одного рулона линолеума

По условию, масса 1 дм² линолеума составляет 30 г. Чтобы найти массу одного рулона, умножим его площадь на массу 1 дм²:

$m_{\text{рулона}} = 1800 \text{ дм}^2 \times 30 \text{ г/дм}^2 = 54000 \text{ г}$

Для удобства дальнейших расчетов переведем массу из граммов в килограммы (1 кг = 1000 г):

$54000 \text{ г} = \frac{54000}{1000} \text{ кг} = 54 \text{ кг}$

Масса одного рулона линолеума равна 54 кг.

3. Вычисление общей массы всего линолеума

Необходимо перевезти 350 рулонов. Умножим количество рулонов на массу одного рулона, чтобы найти общую массу груза:

$m_{\text{общая}} = 350 \text{ рулонов} \times 54 \text{ кг/рулон} = 18900 \text{ кг}$

Общая масса всего линолеума составляет 18900 кг.

4. Расчет наименьшего количества автомобилей

Грузоподъемность одного автомобиля — 5 тонн. Переведем эту величину в килограммы (1 т = 1000 кг):

$5 \text{ т} = 5 \times 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

Теперь разделим общую массу груза на грузоподъемность одного автомобиля, чтобы определить, сколько автомобилей потребуется. Так как каждый автомобиль выполняет только один рейс, количество рейсов будет равно количеству автомобилей.

$\text{Количество автомобилей} = \frac{\text{Общая масса груза}}{\text{Грузоподъемность одного автомобиля}}$

$\text{Количество автомобилей} = \frac{18900 \text{ кг}}{5000 \text{ кг}} = 3.78$

Поскольку количество автомобилей не может быть дробным числом, и трех автомобилей будет недостаточно для перевозки всего груза ($3 \times 5000 = 15000 \text{ кг}$, что меньше $18900 \text{ кг}$), необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого числа.

Следовательно, для перевозки всего линолеума понадобится 4 автомобиля.

Ответ: 4.

1253. Вася Ленивцев решил задачу 1247 и дал такой ответ: можно записать только одно число, а именно 10,54. Найдите ошибку в этом решении.

Ошибка в решении Васи Ленивцева заключается в его выводе о том, что можно записать "только одно число".

Задачи, в результате решения которых получается некоторое число, часто связаны с решением уравнений. Вероятно, задача 1247 приводилась к уравнению, имеющему более одного решения. Самый распространённый случай — это квадратное уравнение или уравнение, содержащее модуль.

Например, если бы задача требовала найти число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = 10,54^2$, то есть $x^2 = 111,0916$, то у этого уравнения было бы два корня.

Первый корень: $x_1 = 10,54$.
Второй корень: $x_2 = -10,54$, так как $(-10,54)^2 = 111,0916$.

Вася нашёл только положительное решение и, вероятно из-за невнимательности (что соответствует его фамилии "Ленивцев"), не учёл существование второго, отрицательного, решения. Таким образом, его утверждение об единственности ответа является ошибочным.

Ответ: Ошибка заключается в том, что было найдено только одно из двух возможных решений. Кроме числа 10,54, условию задачи, скорее всего, удовлетворяет и число -10,54.

1254. Конверты завозят в почтовое отделение в пачках по 1000 штук. Почтальону надо как можно скорее взять 850 конвертов. За какое время он может это сделать, если за 1 мин он отсчитывает 100 конвертов?

Чтобы взять 850 конвертов как можно быстрее, почтальону следует не отсчитывать 850 конвертов, а взять целую пачку в 1000 конвертов и отсчитать из неё лишние. Этот способ будет быстрее, так как отсчитывать придется меньшее количество конвертов.

1. Найдем количество лишних конвертов, которые нужно отсчитать и убрать из пачки:
$1000 \text{ конвертов} - 850 \text{ конвертов} = 150 \text{ конвертов}$

2. Рассчитаем время, которое потребуется на отсчет 150 конвертов. Известно, что почтальон отсчитывает 100 конвертов за 1 минуту.
Время, необходимое для отсчета, можно найти по формуле:
Время = $\frac{\text{Количество конвертов}}{\text{Скорость отсчета}}$
Время = $\frac{150}{100} = 1.5$ минуты.

Таким образом, почтальон сможет взять 850 конвертов за 1.5 минуты. Для сравнения, прямой отсчет 850 конвертов занял бы $850 \div 100 = 8.5$ минут.

Ответ: 1.5 минуты.