Страница 281 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1267. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно:

1) $4,9* \approx 4,9;$

2) $63,*5 \approx 64;$

3) $13,2*99 \approx 13,2?$

1) 4,9* ≈ 4,9;
Округление в данном примере выполняется до разряда десятых. Согласно правилу округления, если цифра, стоящая справа от округляемого разряда (в данном случае, в разряде сотых, на месте звёздочки), равна 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в округляемом разряде не изменяется, а последующие цифры отбрасываются. Поскольку цифра в разряде десятых (9) осталась без изменений, на месте звёздочки могут стоять цифры 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) 63,*5 ≈ 64;
Округление в этом примере выполняется до разряда единиц (до целых). Согласно правилу округления, если цифра, стоящая справа от округляемого разряда (в данном случае, в разряде десятых, на месте звёздочки), равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Поскольку 63 было округлено до 64 (увеличено на 1), на месте звёздочки могут стоять цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

3) 13,2*99 ≈ 13,2?
Округление в примере $13,2*99 \approx 13,2$ выполняется до разряда десятых. Чтобы при округлении цифра в разряде десятых (2) не изменилась, цифра в следующем разряде (сотых), которая стоит на месте звёздочки, должна быть меньше 5. Таким образом, на месте звёздочки могут стоять цифры 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

1268. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы округление было выполнено верно:

1) $5,47*4 \approx 5,47;$

2) $23*1 \approx 2400?$

1) $5,47*4 \approx 5,47$

В данном примере округление выполнено до сотых (до второго знака после запятой). По правилам округления, если первая из отбрасываемых цифр (в данном случае, цифра на месте звёздочки) равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставляемых цифр (в нашем случае, 7) не меняется.

Если же на месте звёздочки будет стоять цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя оставляемая цифра увеличится на единицу, и результат округления был бы $5,48$, что не соответствует условию.

Следовательно, вместо звёздочки можно поставить цифры 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) $23*1 \approx 2400$

В этом примере округление выполнено до разряда сотен. Мы видим, что цифра в разряде сотен увеличилась с 3 до 4, то есть округление произошло в большую сторону.

Согласно правилу округления, это происходит в том случае, если следующая за разрядом сотен цифра (то есть цифра в разряде десятков, на месте звёздочки) равна 5, 6, 7, 8 или 9.

Если бы на месте звёздочки стояла цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то округление произошло бы в меньшую сторону, и результат был бы $2300$, что не соответствует условию.

Следовательно, вместо звёздочки можно поставить цифры 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

1269. У Вити есть 2500 р. На свой день рождения он хочет угостить каждого из 30 своих одноклассников шоколадкой. Одна шоколадка стоит 78 р. Узнав это, Витя сразу сообразил, что денег ему хватит. Как, по вашему мнению, он смог быстро это определить?

Чтобы быстро определить, хватит ли денег, не нужно вычислять точную сумму. Витя, скорее всего, использовал метод оценки (прикидки), округлив одно из чисел для упрощения устных расчётов.

Самый быстрый способ — это округлить цену шоколадки в большую сторону до удобного числа. Цена 78 рублей очень близка к 80 рублям. Затем можно легко умножить количество одноклассников на эту округлённую цену:

$30 \text{ одноклассников} \times 80 \text{ рублей} = 2400 \text{ рублей}$

Поскольку реальная цена шоколадки (78 р.) меньше, чем та, которую Витя использовал для расчёта (80 р.), то и итоговая сумма покупки будет меньше 2400 рублей. У Вити есть 2500 рублей, что заведомо больше, чем 2400 рублей. Сравнив свою сумму с оценочной стоимостью ($2500 > 2400$), он сразу понял, что денег ему точно хватит.

Другой возможный, но чуть более сложный способ — это быстрый точный расчёт в уме. Например, можно представить число 78 как разность $80 - 2$:

$30 \times 78 = 30 \times (80 - 2) = 30 \times 80 - 30 \times 2 = 2400 - 60 = 2340 \text{ рублей}$

Получив точную сумму 2340 рублей, он также видит, что она меньше 2500 рублей. Однако первый метод с оценкой является самым быстрым именно для ответа на вопрос «хватит или нет», так как не требует нахождения точного значения.

Ответ: Витя, скорее всего, быстро определил, что денег хватит, используя метод оценки. Он округлил цену шоколадки с 78 р. до 80 р. и умножил на количество одноклассников: $30 \times 80 = 2400$ р. Поскольку полученная оценочная сумма (2400 р.) меньше той, что у него была (2500 р.), а реальная стоимость покупки ещё ниже, он сразу понял, что денег достаточно.

1270. Требуется привезти 102 ящика массой $30,7 \text{ кг}$ каждый. Водитель автомобиля, грузоподъёмность которого составляет $3 \text{ т}$, быстро определил, что выполнить это задание, сделав один рейс, невозможно.

Как, по вашему мнению, он смог это быстро определить?

Водитель быстро определил, что перевезти груз за один рейс невозможно, применив метод быстрой оценки (прикидки) в уме, а не точные вычисления. Он мог рассуждать одним из следующих способов.

Способ 1: Округление массы ящика

Это наиболее вероятный и простой способ. Водитель округлил массу одного ящика с $30,7$ кг до $30$ кг для удобства счета. Затем он умножил это значение на общее количество ящиков:

$102 \times 30 \text{ кг} = 3060 \text{ кг}$

Грузоподъемность автомобиля составляет $3$ тонны, что равно $3000$ кг. Результат приблизительного расчета ($3060$ кг) уже превышает допустимую массу. Поскольку для расчета использовалась заниженная масса ящика ($30$ кг вместо $30,7$ кг), реальный общий вес будет еще больше. Этого достаточно, чтобы сделать однозначный вывод о перегрузке.

Способ 2: Округление количества ящиков

Другой вариант — округлить количество ящиков до $100$. Умножение на $100$ легко выполняется в уме:

$100 \times 30,7 \text{ кг} = 3070 \text{ кг}$

Этот результат также сразу показывает превышение грузоподъемности в $3000$ кг, и это без учета оставшихся двух ящиков. Этот способ также позволяет быстро и безошибочно определить, что рейс невозможен.

Для полной уверенности можно провести точный расчет: $102 \text{ ящика} \times 30,7 \text{ кг/ящик} = 3131,4 \text{ кг}$. Сравнивая с грузоподъемностью в $3000$ кг, видим, что перегруз составляет $131,4$ кг.

Ответ: Водитель использовал метод быстрой оценки, округлив числа. Он мог умножить количество ящиков ($102$) на округленную массу одного ящика ($30$ кг) и получить $3060$ кг. Эта величина уже превышает грузоподъемность автомобиля в $3$ тонны ($3000$ кг), что позволило ему мгновенно понять невозможность выполнения задания за один рейс.

1271. Кролик живёт до 12 лет, что составляет:

1) $\frac{6}{7}$ продолжительности жизни овцы;

2) $\frac{2}{3}$ продолжительности жизни козы;

3) $\frac{3}{5}$ продолжительности жизни фазана.

Найдите продолжительность жизни овцы, козы и фазана.

Чтобы найти продолжительность жизни каждого животного, нам нужно найти целое число по его части. Известно, что кролик живет 12 лет, и это значение является частью от продолжительности жизни других животных. Для нахождения целого (полной продолжительности жизни) нужно известную часть (12 лет) разделить на соответствующую ей дробь.

1) Найдем продолжительность жизни овцы. 12 лет составляют $ \frac{6}{7} $ от продолжительности жизни овцы. Выполним деление:

$ 12 \div \frac{6}{7} = 12 \times \frac{7}{6} = \frac{12 \times 7}{6} = 2 \times 7 = 14 $ лет.

Ответ: продолжительность жизни овцы составляет 14 лет.

2) Найдем продолжительность жизни козы. 12 лет составляют $ \frac{2}{3} $ от продолжительности жизни козы. Выполним деление:

$ 12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = \frac{12 \times 3}{2} = 6 \times 3 = 18 $ лет.

Ответ: продолжительность жизни козы составляет 18 лет.

3) Найдем продолжительность жизни фазана. 12 лет составляют $ \frac{3}{5} $ от продолжительности жизни фазана. Выполним деление:

$ 12 \div \frac{3}{5} = 12 \times \frac{5}{3} = \frac{12 \times 5}{3} = 4 \times 5 = 20 $ лет.

Ответ: продолжительность жизни фазана составляет 20 лет.

1272. При преобразовании неправильной дроби $\frac{a}{7}$ в смешанную дробь получили неполное частное 19 и остаток 5. Найдите значение $a$.

При преобразовании неправильной дроби в смешанное число числитель делят на знаменатель. Результатом этого деления являются неполное частное (которое становится целой частью смешанного числа) и остаток (который становится числителем дробной части).

В нашем случае, при делении числа $a$ на 7, мы получили:
- неполное частное: 19
- остаток: 5
- делитель: 7

Чтобы найти делимое $a$, нужно делитель умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток. Это можно выразить формулой:
$a = (\text{делитель} \cdot \text{неполное частное}) + \text{остаток}$

Подставим известные значения в формулу:
$a = (7 \cdot 19) + 5$

Выполним вычисления по порядку:
1. Умножение: $7 \cdot 19 = 133$
2. Сложение: $133 + 5 = 138$

Следовательно, значение $a$ равно 138.

Ответ: 138

1273. Масса торта составляет $ \frac{4}{5} $ кг и ещё $ \frac{4}{5} $ его массы. Какова масса торта?

Обозначим массу всего торта переменной $x$ (в кг).

Согласно условию задачи, масса торта ($x$) составляет $\frac{4}{5}$ кг и ещё $\frac{4}{5}$ от его полной массы ($\frac{4}{5}x$).

Можем составить следующее уравнение:

$x = \frac{4}{5} + \frac{4}{5}x$

Теперь решим это уравнение. Перенесём слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив его знак:

$x - \frac{4}{5}x = \frac{4}{5}$

Выполним вычитание в левой части. Так как $x$ это то же самое, что $1x$ или $\frac{5}{5}x$, получаем:

$\frac{5}{5}x - \frac{4}{5}x = \frac{4}{5}$

$\frac{1}{5}x = \frac{4}{5}$

Чтобы найти $x$, нужно разделить $\frac{4}{5}$ на $\frac{1}{5}$, что эквивалентно умножению обеих частей уравнения на 5:

$x = \frac{4}{5} \cdot 5$

$x = 4$

Таким образом, масса торта равна 4 кг.

Ответ: 4 кг.

1274. Вася рассказал друзьям, что позавчера ему ещё было 10 лет, а в следующем году ему исполнится 13. Как такое может быть?

Это классическая логическая задача, связанная с датами. Ситуация возможна, если совпали два условия: разговор происходит в самом начале года, а день рождения у Васи — в самом конце предыдущего года.

Давайте разберем ситуацию по датам:

• День рождения Васи — 31 декабря.
• Разговор с друзьями происходит — 1 января.

Теперь проверим все утверждения Васи с учетом этих дат:

1. «Позавчера ему ещё было 10 лет».

   Если сегодня 1 января, то "вчера" было 31 декабря, а "позавчера" — 30 декабря. 30 декабря Васе действительно было еще 10 лет, так как его одиннадцатый день рождения был только на следующий день, 31 декабря.

2. «В следующем году ему исполнится 13».

   Сегодня 1 января, это "текущий" год. В этом году, 31 декабря, Васе исполнится 12 лет. Соответственно, в "следующем" году, 31 декабря, ему исполнится 13 лет. Утверждение верно.

Таким образом, хронология возраста Васи выглядит так:

• 30 декабря (позавчера): 10 лет
• 31 декабря (вчера): исполнилось 11 лет
• 1 января (сегодня): 11 лет
• 31 декабря (в этом году): исполнится 12 лет
• 31 декабря (в следующем году): исполнится 13 лет

Ответ: Такое может быть, если Вася родился 31 декабря, а разговор происходит 1 января.