Страница 288 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1312. Выразите данные величины в центнерах и выполните действия:

1) $9 \text{ ц} – 524 \text{ кг};$

2) $8 \text{ ц } 44 \text{ кг} – 836 \text{ кг};$

3) $42 \text{ ц } 5 \text{ кг} + 85 \text{ кг};$

4) $2,92 \text{ т} + 684 \text{ кг};$

5) $7 \text{ т } 6 \text{ ц } 4 \text{ кг} – 8 \text{ ц } 18 \text{ кг};$

6) $1 \text{ т } 2 \text{ ц } 3 \text{ кг} – 1 \text{ т } 15 \text{ кг}.$

Для решения задачи необходимо выразить все величины в центнерах (ц), используя следующие соотношения:
$1$ центнер (ц) $= 100$ килограммов (кг)
$1$ тонна (т) $= 10$ центнеров (ц)
Из этого следует, что $1$ кг $= 0,01$ ц.

1) $9$ ц $- 524$ кг
Первая величина уже выражена в центнерах. Выразим вторую величину в центнерах:
$524$ кг $= 524 / 100$ ц $= 5,24$ ц.
Выполним вычитание:
$9$ ц $- 5,24$ ц $= 3,76$ ц.
Ответ: $3,76$ ц.

2) $8$ ц $44$ кг $- 836$ кг
Сначала выразим каждую величину в центнерах:
$8$ ц $44$ кг $= 8$ ц $+ 44$ кг $= 8$ ц $+ 0,44$ ц $= 8,44$ ц.
$836$ кг $= 836 / 100$ ц $= 8,36$ ц.
Выполним вычитание:
$8,44$ ц $- 8,36$ ц $= 0,08$ ц.
Ответ: $0,08$ ц.

3) $42$ ц $5$ кг $+ 85$ кг
Выразим все компоненты в центнерах:
$42$ ц $5$ кг $= 42$ ц $+ 5$ кг $= 42$ ц $+ 0,05$ ц $= 42,05$ ц.
$85$ кг $= 85 / 100$ ц $= 0,85$ ц.
Выполним сложение:
$42,05$ ц $+ 0,85$ ц $= 42,9$ ц.
Ответ: $42,9$ ц.

4) $2,92$ т $+ 684$ кг
Выразим обе величины в центнерах:
$2,92$ т $= 2,92 \cdot 10$ ц $= 29,2$ ц.
$684$ кг $= 684 / 100$ ц $= 6,84$ ц.
Выполним сложение:
$29,2$ ц $+ 6,84$ ц $= 36,04$ ц.
Ответ: $36,04$ ц.

5) $7$ т $6$ ц $4$ кг $- 8$ ц $18$ кг
Выразим уменьшаемое и вычитаемое в центнерах:
$7$ т $6$ ц $4$ кг $= 7 \cdot 10$ ц $+ 6$ ц $+ 4/100$ ц $= 70$ ц $+ 6$ ц $+ 0,04$ ц $= 76,04$ ц.
$8$ ц $18$ кг $= 8$ ц $+ 18/100$ ц $= 8$ ц $+ 0,18$ ц $= 8,18$ ц.
Выполним вычитание:
$76,04$ ц $- 8,18$ ц $= 67,86$ ц.
Ответ: $67,86$ ц.

6) $1$ т $2$ ц $3$ кг $- 1$ т $15$ кг
Выразим обе величины в центнерах:
$1$ т $2$ ц $3$ кг $= 1 \cdot 10$ ц $+ 2$ ц $+ 3/100$ ц $= 10$ ц $+ 2$ ц $+ 0,03$ ц $= 12,03$ ц.
$1$ т $15$ кг $= 1 \cdot 10$ ц $+ 15/100$ ц $= 10$ ц $+ 0,15$ ц $= 10,15$ ц.
Выполним вычитание:
$12,03$ ц $- 10,15$ ц $= 1,88$ ц.
Ответ: $1,88$ ц.

1313. Установите закономерность в данной записи и запишите три следующих числа:

1) 0,4; 1,2; 2; ...;

2) 16,1; 15,8; 15,5; ...;

1) 0,4; 1,2; 2; ...;

Чтобы установить закономерность в данной последовательности чисел, найдем разность между последующим и предыдущим членами.

Разность между вторым и первым числом:

$1,2 - 0,4 = 0,8$

Разность между третьим и вторым числом:

$2 - 1,2 = 0,8$

Закономерность заключается в том, что каждое следующее число на 0,8 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0,8$.

Чтобы найти следующие три числа, нужно последовательно прибавить 0,8 к последнему известному числу:

Четвертое число: $2 + 0,8 = 2,8$

Пятое число: $2,8 + 0,8 = 3,6$

Шестое число: $3,6 + 0,8 = 4,4$

Ответ: 2,8; 3,6; 4,4.

2) 16,1; 15,8; 15,5; ...;

Чтобы установить закономерность в этой последовательности, также найдем разность между соседними числами.

Разность между вторым и первым числом:

$15,8 - 16,1 = -0,3$

Разность между третьим и вторым числом:

$15,5 - 15,8 = -0,3$

Закономерность заключается в том, что каждое следующее число на 0,3 меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -0,3$.

Чтобы найти следующие три числа, нужно последовательно вычитать 0,3 из последнего известного числа:

Четвертое число: $15,5 - 0,3 = 15,2$

Пятое число: $15,2 - 0,3 = 14,9$

Шестое число: $14,9 - 0,3 = 14,6$

Ответ: 15,2; 14,9; 14,6.

1314. Установите закономерность в данной записи и запишите три следующих числа:

1) $3,1; 4,4; 5,7; \dots;$

2) $20; 17,5; 15; \dots .$

1) Рассмотрим данную последовательность чисел: 3, 1, 4, 4, 5, 7, ...
В этой последовательности можно выделить две закономерности, которые чередуются между собой. Одна закономерность для чисел на нечетных позициях, а другая — для чисел на четных позициях.
Последовательность чисел на нечетных позициях: 3, 4, 5, ...
Это арифметическая прогрессия, каждый член которой на 1 больше предыдущего ($4-3=1$, $5-4=1$).
Следующие члены этой прогрессии: $5+1=6$, $6+1=7$.
Последовательность чисел на четных позициях: 1, 4, 7, ...
Это также арифметическая прогрессия, каждый член которой на 3 больше предыдущего ($4-1=3$, $7-4=3$).
Следующий член этой прогрессии: $7+3=10$.
Чтобы найти следующие три числа исходной последовательности, мы должны взять поочередно следующие члены из каждой подпоследовательности. Последнее известное число (7) стоит на шестой (четной) позиции.
- Седьмое число (нечетная позиция): следующий член первой прогрессии, то есть $5 + 1 = 6$.
- Восьмое число (четная позиция): следующий член второй прогрессии, то есть $7 + 3 = 10$.
- Девятое число (нечетная позиция): следующий член первой прогрессии, то есть $6 + 1 = 7$.
Таким образом, три следующих числа: 6, 10, 7.
Ответ: 6, 10, 7.

2) Рассмотрим данную последовательность чисел: 20; 17,5; 15; ...
Эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдем ее разность $d$, вычитая из последующего члена предыдущий.
$d = 17,5 - 20 = -2,5$
Проверим для следующей пары чисел: $15 - 17,5 = -2,5$.
Разность прогрессии постоянна и равна -2,5. Это означает, что каждое следующее число в последовательности на 2,5 меньше предыдущего.
Найдем три следующих числа, продолжая вычитать 2,5.
- Четвертое число: $15 - 2,5 = 12,5$.
- Пятое число: $12,5 - 2,5 = 10$.
- Шестое число: $10 - 2,5 = 7,5$.
Таким образом, три следующих числа: 12,5, 10, 7,5.
Ответ: 12,5, 10, 7,5.

1315. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(4.12 + 0.116) - 1.12;$

2) $0.844 - (0.244 + 0.018).$

1) $(4,12 + 0,116) - 1,12$

Для удобства вычислений изменим порядок действий, используя свойства сложения и вычитания. Можно сначала выполнить вычитание, а затем сложение, так как это упростит расчеты.

$(4,12 + 0,116) - 1,12 = (4,12 - 1,12) + 0,116$

Выполним вычисления по шагам:

$4,12 - 1,12 = 3$

$3 + 0,116 = 3,116$

Таким образом, $(4,12 - 1,12) + 0,116 = 3 + 0,116 = 3,116$.

Ответ: 3,116

2) $0,844 - (0,244 + 0,018)$

Для удобства вычислений воспользуемся правилом вычитания суммы из числа: чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть одно слагаемое, а затем из результата вычесть другое слагаемое. Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные.

$0,844 - (0,244 + 0,018) = 0,844 - 0,244 - 0,018$

Выполним вычисления по порядку слева направо:

$0,844 - 0,244 = 0,6$

$0,6 - 0,018 = 0,582$

Таким образом, $0,844 - 0,244 - 0,018 = 0,6 - 0,018 = 0,582$.

Ответ: 0,582

1316. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $ (5,93 + 67,5) - 27,5; $

2) $ 7,29 - (3,961 + 2,29). $

1) $(5,93 + 67,5) - 27,5$

Для удобства вычислений применим сочетательное свойство сложения. Это позволит нам изменить порядок действий: сначала вычесть $27,5$ из $67,5$, а затем прибавить результат к $5,93$.

$(5,93 + 67,5) - 27,5 = 5,93 + (67,5 - 27,5)$

Сначала выполним действие в скобках:

$67,5 - 27,5 = 40$

Теперь выполним сложение:

$5,93 + 40 = 45,93$

Ответ: $45,93$

2) $7,29 - (3,961 + 2,29)$

Для удобства вычислений раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные.

$7,29 - (3,961 + 2,29) = 7,29 - 3,961 - 2,29$

Теперь, используя переместительное свойство, сгруппируем числа так, чтобы вычисления стали проще:

$(7,29 - 2,29) - 3,961$

Сначала выполним вычитание в новых скобках:

$7,29 - 2,29 = 5$

Теперь выполним оставшееся вычитание:

$5 - 3,961 = 1,039$

Ответ: $1,039$

1317.От двух пристаней, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно в одном направлении отчалили лодка и катер (лодка двигалась впереди катера). Скорость лодки равна 8 км/ч и составляет $4/5$ скорости катера. Через сколько часов после начала движения катер догонит лодку?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Нахождение скорости катера.

По условию, скорость лодки равна 8 км/ч, что составляет $\frac{4}{5}$ скорости катера. Обозначим скорость лодки как $v_{л}$, а скорость катера как $v_{к}$.

Тогда $v_{л} = \frac{4}{5} v_{к}$.

Чтобы найти скорость катера, выразим $v_{к}$ из этой формулы:

$v_{к} = v_{л} \div \frac{4}{5} = 8 \div \frac{4}{5} = 8 \times \frac{5}{4} = \frac{40}{4} = 10$ км/ч.

Итак, скорость катера составляет 10 км/ч.

2. Нахождение скорости сближения.

Поскольку катер догоняет лодку, двигаясь в одном направлении, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна разности их скоростей. Скорость катера больше скорости лодки, поэтому:

$v_{сбл} = v_{к} - v_{л} = 10 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 2$ км/ч.

Это означает, что каждый час катер приближается к лодке на 2 км.

3. Нахождение времени, через которое катер догонит лодку.

Чтобы найти время ($t$), за которое катер догонит лодку, нужно начальное расстояние между ними ($S$) разделить на скорость сближения ($v_{сбл}$). Начальное расстояние по условию равно 24 км.

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{24 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 12$ часов.

Ответ: через 12 часов после начала движения катер догонит лодку.

1318. Длина бассейна равна 12 м, ширина его составляет $\frac{3}{4}$ длины, а глубина $-$ $\frac{2}{3}$ ширины. Водой было наполнено $\frac{11}{18}$ объёма бассейна.

Сколько кубических метров воды налили в бассейн?

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить размеры бассейна, его общий объём, а затем объём налитой воды.

1. Найдём ширину бассейна

Длина бассейна составляет 12 м. Ширина составляет $ \frac{3}{4} $ от длины.
Ширина = $ 12 \times \frac{3}{4} = \frac{12 \times 3}{4} = 9 $ м.

2. Найдём глубину бассейна

Ширина бассейна, как мы вычислили, равна 9 м. Глубина составляет $ \frac{2}{3} $ от ширины.
Глубина = $ 9 \times \frac{2}{3} = \frac{9 \times 2}{3} = 6 $ м.

3. Вычислим полный объём бассейна

Объём бассейна равен произведению его длины, ширины и глубины.
$ V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{глубина} $
$ V = 12 \text{ м} \times 9 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 648 \text{ м}^3 $.

4. Найдём объём воды, налитой в бассейн

По условию, бассейн был наполнен водой на $ \frac{11}{18} $ от его полного объёма.
Объём воды = $ 648 \times \frac{11}{18} = \frac{648}{18} \times 11 = 36 \times 11 = 396 \text{ м}^3 $.

Ответ: 396 $м^3$.

1319. За шоколадку и четыре пирожных заплатили 414 р., а за такую же шоколадку и восемь таких пирожных – 750 р. Сколько рублей стоит шоколадка?

Для решения этой задачи можно составить систему уравнений или решить ее по действиям. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Решение по действиям

1. Сначала найдем разницу в стоимости между второй и первой покупкой.
$750 - 414 = 336$ рублей.

2. Эта разница в стоимости обусловлена разницей в количестве купленных пирожных, так как количество шоколадок в обеих покупках одинаковое. Найдем разницу в количестве пирожных.
$8 - 4 = 4$ пирожных.

3. Таким образом, 4 пирожных стоят 336 рублей. Теперь можем найти стоимость одного пирожного.
$336 \div 4 = 84$ рубля.

4. Зная стоимость одного пирожного, найдем стоимость четырех пирожных из первой покупки.
$84 \cdot 4 = 336$ рублей.

5. Теперь, чтобы найти стоимость шоколадки, вычтем стоимость четырех пирожных из общей суммы первой покупки (414 рублей).
$414 - 336 = 78$ рублей.

Способ 2: Решение с помощью системы уравнений

Пусть $x$ — стоимость шоколадки в рублях, а $y$ — стоимость одного пирожного в рублях.
На основе условия задачи составим два уравнения:
1) За шоколадку и четыре пирожных заплатили 414 р.: $x + 4y = 414$.
2) За такую же шоколадку и восемь пирожных заплатили 750 р.: $x + 8y = 750$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + 4y = 414 \\ x + 8y = 750 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:
$(x + 8y) - (x + 4y) = 750 - 414$
$4y = 336$
$y = 336 \div 4$
$y = 84$
Стоимость одного пирожного — 84 рубля.

Подставим значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$x + 4 \cdot 84 = 414$
$x + 336 = 414$
$x = 414 - 336$
$x = 78$
Стоимость шоколадки — 78 рублей.

Ответ: 78

1320. Чертёнок предложил Петру Скупердяйкину: «Каждый раз, когда ты перейдёшь мост, который я заколдую, твои деньги удвоятся. За это будешь мне каждый раз отдавать 24 монеты». Сделал Скупердяйкин так 3 раза и остался совсем без денег. Сколько денег было у Петра до встречи с чертёнком?

Эту задачу можно решить двумя способами: логическим (с конца) или алгебраическим (с помощью уравнения). Оба способа дадут одинаковый результат.

Первый способ: решение с конца

Мы знаем конечный результат (0 монет) и можем выполнить все действия в обратном порядке, чтобы найти начальную сумму.

1. После третьего перехода у Петра осталось 0 монет. Это произошло после того, как он отдал 24 монеты. Значит, до этого у него было $0 + 24 = 24$ монеты. Эта сумма появилась после удвоения, следовательно, до третьего перехода у него было $24 \div 2 = 12$ монет.

2. Итак, после второго перехода у него было 12 монет. Рассуждая аналогично, до того, как он отдал 24 монеты во второй раз, у него было $12 + 24 = 36$ монет. А до удвоения во время второго перехода у него было $36 \div 2 = 18$ монет.

3. После первого перехода у него было 18 монет. Значит, до того, как он отдал 24 монеты в первый раз, у него было $18 + 24 = 42$ монеты. Эта сумма получилась после самого первого удвоения. Следовательно, изначально у Петра была сумма: $42 \div 2 = 21$ монета.

Ответ: 21 монета.

Второй способ: решение с помощью уравнения

Пусть $x$ — это первоначальное количество монет у Петра. После каждого перехода его деньги сначала удваиваются, а затем он отдает 24 монеты.

После первого перехода у него останется: $2x - 24$.

После второго перехода: $2(2x - 24) - 24 = 4x - 48 - 24 = 4x - 72$.

После третьего перехода: $2(4x - 72) - 24 = 8x - 144 - 24 = 8x - 168$.

По условию задачи, после трех переходов у него осталось 0 монет. Составим уравнение:

$8x - 168 = 0$

Теперь решим его:

$8x = 168$

$x = 168 \div 8$

$x = 21$

Ответ: 21 монета.