Страница 291 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1321. Сколько цифр будет стоять справа от запятой в произведении чисел:

1) $4,2$ и $8,14$;

2) $9,36$ и $19,426$;

3) $0,018$ и $0,001$?

Чтобы определить, сколько цифр будет стоять справа от запятой в произведении десятичных дробей, необходимо сложить количество цифр, стоящих справа от запятой в каждом из множителей.

В первом множителе, 4,2, одна цифра после запятой.

Во втором множителе, 8,14, две цифры после запятой.

Общее количество цифр после запятой в произведении равно их сумме: $1 + 2 = 3$.

Ответ: 3.

В первом множителе, 9,36, две цифры после запятой.

Во втором множителе, 19,426, три цифры после запятой.

Общее количество цифр после запятой в произведении равно их сумме: $2 + 3 = 5$.

Ответ: 5.

В первом множителе, 0,018, три цифры после запятой.

Во втором множителе, 0,001, три цифры после запятой.

Общее количество цифр после запятой в произведении равно их сумме: $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.

1322. Известно, что $428 \cdot 76 = 32528$. Поставьте в правой части равенства запятую так, чтобы умножение было выполнено правильно:

1) $4,28 \cdot 76 = 32528$;

2) $42,8 \cdot 7,6 = 32528$;

3) $4,28 \cdot 7,6 = 32528$;

4) $42,8 \cdot 0,76 = 32528$;

5) $0,428 \cdot 7,6 = 32528$;

6) $0,428 \cdot 0,076 = 32528$.

Для решения этой задачи воспользуемся правилом умножения десятичных дробей. Согласно этому правилу, количество знаков после запятой в произведении равно сумме количества знаков после запятой у каждого из множителей.

Исходное равенство без десятичных знаков: $428 \cdot 76 = 32528$. Мы будем использовать эту последовательность цифр для определения результата в каждом пункте, расставляя запятую в нужном месте.

1)

В выражении $4,28 \cdot 76$ первый множитель (4,28) имеет два знака после запятой, а второй (76) — ноль знаков. Следовательно, в произведении должно быть $2 + 0 = 2$ знака после запятой. Отделяем два знака в числе 32528 справа и получаем 325,28.
Ответ: $4,28 \cdot 76 = 325,28$.

2)

В выражении $42,8 \cdot 7,6$ первый множитель (42,8) имеет один знак после запятой, и второй (7,6) — также один знак. Следовательно, в произведении должно быть $1 + 1 = 2$ знака после запятой. Отделяем два знака в числе 32528 справа и получаем 325,28.
Ответ: $42,8 \cdot 7,6 = 325,28$.

3)

В выражении $4,28 \cdot 7,6$ первый множитель (4,28) имеет два знака после запятой, а второй (7,6) — один знак. Следовательно, в произведении должно быть $2 + 1 = 3$ знака после запятой. Отделяем три знака в числе 32528 справа и получаем 32,528.
Ответ: $4,28 \cdot 7,6 = 32,528$.

4)

В выражении $42,8 \cdot 0,76$ первый множитель (42,8) имеет один знак после запятой, а второй (0,76) — два знака. Следовательно, в произведении должно быть $1 + 2 = 3$ знака после запятой. Отделяем три знака в числе 32528 справа и получаем 32,528.
Ответ: $42,8 \cdot 0,76 = 32,528$.

5)

В выражении $0,428 \cdot 7,6$ первый множитель (0,428) имеет три знака после запятой, а второй (7,6) — один знак. Следовательно, в произведении должно быть $3 + 1 = 4$ знака после запятой. Отделяем четыре знака в числе 32528 справа и получаем 3,2528.
Ответ: $0,428 \cdot 7,6 = 3,2528$.

6)

В выражении $0,428 \cdot 0,076$ первый множитель (0,428) имеет три знака после запятой, и второй (0,076) — также три знака. Следовательно, в произведении должно быть $3 + 3 = 6$ знаков после запятой. В числе 32528 всего пять цифр, поэтому, чтобы отделить шесть знаков, нужно добавить слева один ноль: 0,032528.
Ответ: $0,428 \cdot 0,076 = 0,032528$.

1323. Вычислите:

1) $5 \cdot 0,3$;

2) $2,1 \cdot 4$;

3) $0,5 \cdot 8$;

4) $0,04 \cdot 2$;

5) $0,9 \cdot 0,8$.

1) Чтобы умножить целое число на десятичную дробь, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби.
Умножим 5 на 3:
$5 \cdot 3 = 15$.
В множителе 0,3 одна цифра после запятой. Следовательно, в результате 15 нужно отделить запятой одну цифру справа.
$5 \cdot 0,3 = 1,5$.
Ответ: 1,5

2) Чтобы умножить десятичную дробь 2,1 на целое число 4, сначала перемножим их как целые числа (21 и 4).
$21 \cdot 4 = 84$.
В множителе 2,1 одна цифра после запятой. В полученном результате 84 нужно отделить одну цифру справа.
$2,1 \cdot 4 = 8,4$.
Ответ: 8,4

3) Для вычисления произведения 0,5 и 8, умножим 5 на 8.
$5 \cdot 8 = 40$.
В множителе 0,5 одна цифра после запятой. В результате 40 отделяем одну цифру справа.
$0,5 \cdot 8 = 4,0$, что равно 4.
Ответ: 4

4) Чтобы умножить 0,04 на 2, сначала умножим 4 на 2.
$4 \cdot 2 = 8$.
В множителе 0,04 две цифры после запятой. В результате нужно отделить две цифры справа. Так как у нас только одна цифра (8), дописываем перед ней ноль, чтобы получилось две цифры после запятой.
$0,04 \cdot 2 = 0,08$.
Ответ: 0,08

5) Чтобы перемножить две десятичные дроби (0,9 и 0,8), нужно сначала перемножить их как целые числа (9 и 8).
$9 \cdot 8 = 72$.
Затем нужно сосчитать, сколько всего цифр после запятой в обоих множителях. В числе 0,9 одна цифра, в числе 0,8 тоже одна. Всего $1 + 1 = 2$ цифры.
В полученном произведении 72 нужно отделить две цифры справа.
$0,9 \cdot 0,8 = 0,72$.
Ответ: 0,72

1324. Выполните умножение:

1) $2,4 \cdot 3,6;$

2) $4,5 \cdot 8,4;$

3) $2,8 \cdot 5,14;$

4) $9,16 \cdot 5,5;$

5) $0,37 \cdot 1,9;$

6) $42,25 \cdot 6;$

7) $6,132 \cdot 5,2;$

8) $0,018 \cdot 0,65;$

9) $2,376 \cdot 0,42.$

1) Чтобы умножить десятичные дроби, нужно сначала выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. Умножим 24 на 36:

$24 \cdot 36 = 864$

Далее нужно посчитать, сколько знаков после запятой в обоих множителях вместе. В числе 2,4 один знак, в числе 3,6 один знак. Всего $1+1=2$ знака. В полученном произведении 864 нужно отделить запятой два знака справа.

$2,4 \cdot 3,6 = 8,64$.

Ответ: 8,64

2) Умножим 45 на 84:

$45 \cdot 84 = 3780$

В обоих множителях по одному знаку после запятой, всего $1+1=2$ знака. Отделяем в результате два знака справа.

$4,5 \cdot 8,4 = 37,80 = 37,8$.

Ответ: 37,8

3) Умножим 28 на 514:

$28 \cdot 514 = 14392$

В первом множителе один знак после запятой, во втором - два. Всего $1+2=3$ знака. Отделяем в результате три знака справа.

$2,8 \cdot 5,14 = 14,392$.

Ответ: 14,392

4) Умножим 916 на 55:

$916 \cdot 55 = 50380$

В первом множителе два знака после запятой, во втором - один. Всего $2+1=3$ знака. Отделяем в результате три знака справа.

$9,16 \cdot 5,5 = 50,380 = 50,38$.

Ответ: 50,38

5) Умножим 37 на 19:

$37 \cdot 19 = 703$

В первом множителе два знака после запятой, во втором - один. Всего $2+1=3$ знака. Отделяем в результате три знака справа.

$0,37 \cdot 1,9 = 0,703$.

Ответ: 0,703

6) Умножим 4225 на 6:

$4225 \cdot 6 = 25350$

В первом множителе два знака после запятой, во втором - ноль. Всего $2+0=2$ знака. Отделяем в результате два знака справа.

$42,25 \cdot 6 = 253,50 = 253,5$.

Ответ: 253,5

7) Умножим 6132 на 52:

$6132 \cdot 52 = 318864$

В первом множителе три знака после запятой, во втором - один. Всего $3+1=4$ знака. Отделяем в результате четыре знака справа.

$6,132 \cdot 5,2 = 31,8864$.

Ответ: 31,8864

8) Умножим 18 на 65:

$18 \cdot 65 = 1170$

В первом множителе три знака после запятой, во втором - два. Всего $3+2=5$ знаков. В числе 1170 всего 4 цифры, поэтому добавляем слева ноль, чтобы отделить 5 знаков.

$0,018 \cdot 0,65 = 0,01170 = 0,0117$.

Ответ: 0,0117

9) Умножим 2376 на 42:

$2376 \cdot 42 = 99792$

В первом множителе три знака после запятой, во втором - два. Всего $3+2=5$ знаков. Отделяем в результате пять знаков справа.

$2,376 \cdot 0,42 = 0,99792$.

Ответ: 0,99792

1325. Выполните умножение:

1) $8,1 \cdot 6,5;$

2) $5,8 \cdot 2,5;$

3) $3,02 \cdot 7,3;$

4) $8,35 \cdot 1,8;$

5) $4,8 \cdot 0,64;$

6) $8 \cdot 90,45;$

7) $1,16 \cdot 0,29;$

8) $0,85 \cdot 0,032;$

9) $0,275 \cdot 1,64.$

1)

Чтобы найти произведение $8,1 \cdot 6,5$, сначала перемножим целые числа $81$ и $65$, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделим запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Выполним умножение столбиком:

 81× 65----- 405 486----- 5265

В первом множителе ($8,1$) одна цифра после запятой, во втором ($6,5$) — также одна. Суммарно $1 + 1 = 2$ цифры. В полученном произведении $5265$ отделяем запятой две цифры справа.

Ответ: 52,65

2)

Чтобы найти произведение $5,8 \cdot 2,5$, перемножим числа $58$ и $25$.

Выполним умножение столбиком:

 58× 25----- 290 116----- 1450

В каждом из множителей по одной цифре после запятой. Суммарно $1 + 1 = 2$ цифры. В полученном произведении $1450$ отделяем две цифры справа. Получаем $14,50$, что равно $14,5$.

Ответ: 14,5

3)

Чтобы найти произведение $3,02 \cdot 7,3$, перемножим числа $302$ и $73$.

Выполним умножение столбиком:

 302× 73----- 906 2114----- 22046

В первом множителе ($3,02$) две цифры после запятой, во втором ($7,3$) — одна. Суммарно $2 + 1 = 3$ цифры. В полученном произведении $22046$ отделяем три цифры справа.

Ответ: 22,046

4)

Чтобы найти произведение $8,35 \cdot 1,8$, перемножим числа $835$ и $18$.

Выполним умножение столбиком:

 835× 18----- 6680 835----- 15030

В первом множителе ($8,35$) две цифры после запятой, во втором ($1,8$) — одна. Суммарно $2 + 1 = 3$ цифры. В полученном произведении $15030$ отделяем три цифры справа. Получаем $15,030$, что равно $15,03$.

Ответ: 15,03

5)

Чтобы найти произведение $4,8 \cdot 0,64$, перемножим числа $48$ и $64$.

Выполним умножение столбиком:

 48× 64----- 192 288----- 3072

В первом множителе ($4,8$) одна цифра после запятой, во втором ($0,64$) — две. Суммарно $1 + 2 = 3$ цифры. В полученном произведении $3072$ отделяем три цифры справа.

Ответ: 3,072

6)

Чтобы найти произведение $8 \cdot 90,45$, перемножим числа $8$ и $9045$.

Выполним умножение столбиком:

 9045× 8----- 72360

В первом множителе ($8$) нет цифр после запятой, во втором ($90,45$) — две. Суммарно $0 + 2 = 2$ цифры. В полученном произведении $72360$ отделяем две цифры справа. Получаем $723,60$, что равно $723,6$.

Ответ: 723,6

7)

Чтобы найти произведение $1,16 \cdot 0,29$, перемножим числа $116$ и $29$.

Выполним умножение столбиком:

 116× 29----- 1044 232----- 3364

В каждом из множителей по две цифры после запятой. Суммарно $2 + 2 = 4$ цифры. В полученном произведении $3364$ отделяем четыре цифры справа. Так как в результате всего 4 цифры, ставим запятую перед ними и дописываем слева ноль.

Ответ: 0,3364

8)

Чтобы найти произведение $0,85 \cdot 0,032$, перемножим числа $85$ и $32$.

Выполним умножение столбиком:

 85× 32----- 170 255----- 2720

В первом множителе ($0,85$) две цифры после запятой, во втором ($0,032$) — три. Суммарно $2 + 3 = 5$ цифр. В полученном произведении $2720$ отделяем пять цифр справа. Так как в результате всего 4 цифры, дописываем слева один ноль, чтобы получилось 5 цифр после запятой. Получаем $0,02720$, что равно $0,0272$.

Ответ: 0,0272

9)

Чтобы найти произведение $0,275 \cdot 1,64$, перемножим числа $275$ и $164$.

Выполним умножение столбиком:

 275× 164----- 1100 1650 275----- 45100

В первом множителе ($0,275$) три цифры после запятой, во втором ($1,64$) — две. Суммарно $3 + 2 = 5$ цифр. В полученном произведении $45100$ отделяем пять цифр справа. Получаем $0,45100$, что равно $0,451$.

Ответ: 0,451

1326. Найдите произведение:

1) $6,58 \cdot 10;$

2) $6,58 \cdot 100;$

3) $6,58 \cdot 1000;$

4) $6,58 \cdot 10\,000.$

1) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби на одну цифру вправо. В числе 6,58 переносим запятую на один знак вправо.
$6,58 \cdot 10 = 65,8$
Ответ: 65,8

2) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби на две цифры вправо. В числе 6,58 переносим запятую на два знака вправо.
$6,58 \cdot 100 = 658$
Ответ: 658

3) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби на три цифры вправо. Так как в дробной части числа 6,58 всего две цифры, мысленно дописываем справа один ноль: 6,580. Теперь переносим запятую на три знака вправо.
$6,58 \cdot 1000 = 6580$
Ответ: 6580

4) Чтобы умножить десятичную дробь на 10 000, необходимо перенести запятую в этой дроби на четыре цифры вправо. В дробной части числа 6,58 всего две цифры, поэтому мысленно дописываем справа два ноля: 6,5800. Теперь переносим запятую на четыре знака вправо.
$6,58 \cdot 10000 = 65800$
Ответ: 65800

1327. Выполните умножение:

1) $9,6 \cdot 10;$

2) $0,065 \cdot 100;$

3) $7,03 \cdot 100;$

4) $32,97 \cdot 1000;$

5) $8,1 \cdot 10\,000;$

6) $0,028 \cdot 10\,000.$

1) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится в множителе (10, 100, 1000 и т.д.).
В данном примере мы умножаем 9,6 на 10. В числе 10 один ноль, поэтому переносим запятую в числе 9,6 на один знак вправо.
$9,6 \cdot 10 = 96$
Ответ: 96

2) Умножаем 0,065 на 100. В числе 100 два ноля, следовательно, переносим запятую в числе 0,065 на два знака вправо.
$0,065 \cdot 100 = 6,5$
Ответ: 6,5

3) Умножаем 7,03 на 100. В числе 100 два ноля, поэтому переносим запятую в числе 7,03 на два знака вправо.
$7,03 \cdot 100 = 703$
Ответ: 703

4) Умножаем 32,97 на 1000. В числе 1000 три ноля. Переносим запятую в числе 32,97 на три знака вправо. Так как в дробной части всего две цифры, нам необходимо добавить один ноль в конце числа.
$32,97 \cdot 1000 = 32970$
Ответ: 32970

5) Умножаем 8,1 на 10 000. В числе 10 000 четыре ноля. Переносим запятую в числе 8,1 на четыре знака вправо. Так как в дробной части всего одна цифра, нам необходимо добавить три ноля в конце числа.
$8,1 \cdot 10000 = 81000$
Ответ: 81000

6) Умножаем 0,028 на 10 000. В числе 10 000 четыре ноля. Переносим запятую в числе 0,028 на четыре знака вправо. Так как в дробной части три цифры, нам необходимо добавить один ноль в конце числа.
$0,028 \cdot 10000 = 280$
Ответ: 280

1328. Выполните умножение:

1) $3,284 \cdot 10;$

2) $6,3 \cdot 100;$

3) $4,125 \cdot 1000;$

4) $924,587 \cdot 100000.$

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

1) В числе 10 один ноль, поэтому для выполнения умножения $3,284 \cdot 10$ перенесем запятую в числе 3,284 на один знак вправо.

$3,284 \cdot 10 = 32,84$

Ответ: 32,84

2) В числе 100 два ноля, поэтому для выполнения умножения $6,3 \cdot 100$ перенесем запятую в числе 6,3 на два знака вправо. Так как в дробной части числа 6,3 всего одна цифра, нам нужно дописать один ноль справа.

$6,3 \cdot 100 = 6,30 \cdot 100 = 630$

Ответ: 630

3) В числе 1000 три ноля, поэтому для выполнения умножения $4,125 \cdot 1000$ перенесем запятую в числе 4,125 на три знака вправо.

$4,125 \cdot 1000 = 4125$

Ответ: 4125

4) В числе 100 000 пять нолей, поэтому для выполнения умножения $924,587 \cdot 100000$ перенесем запятую в числе 924,587 на пять знаков вправо. В дробной части числа 924,587 три цифры, следовательно, нам нужно дописать справа два ноля ($5 - 3 = 2$).

$924,587 \cdot 100000 = 924,58700 \cdot 100000 = 92458700$

Ответ: 92458700

1329. Выразите в сантиметрах: $3\text{,}6 \text{ дм}$; $0\text{,}75 \text{ дм}$; $1\text{,}23 \text{ м}$; $0\text{,}486 \text{ м}$.

Для решения этой задачи необходимо знать соотношения между единицами длины: в одном дециметре содержится 10 сантиметров, а в одном метре — 100 сантиметров.

3,6 дм

Чтобы перевести дециметры в сантиметры, нужно умножить данное значение на 10, так как $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

$3,6 \text{ дм} = 3,6 \times 10 \text{ см} = 36 \text{ см}$

Ответ: 36 см.

0,75 дм

Аналогично, умножаем значение в дециметрах на 10.

$0,75 \text{ дм} = 0,75 \times 10 \text{ см} = 7,5 \text{ см}$

Ответ: 7,5 см.

1,23 м

Чтобы перевести метры в сантиметры, нужно умножить данное значение на 100, так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

$1,23 \text{ м} = 1,23 \times 100 \text{ см} = 123 \text{ см}$

Ответ: 123 см.

0,486 м

Аналогично, умножаем значение в метрах на 100.

$0,486 \text{ м} = 0,486 \times 100 \text{ см} = 48,6 \text{ см}$

Ответ: 48,6 см.

1330. Выразите в граммах: 4,743 кг; 0,516 кг; 0,089 кг.

Для того чтобы выразить массу в граммах, зная ее значение в килограммах, необходимо использовать соотношение: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Следовательно, для перевода килограммов в граммы нужно умножить числовое значение на 1000.

4,743 кг

Чтобы перевести 4,743 кг в граммы, умножим это число на 1000:
$4,743 \times 1000 = 4743 \text{ г}$
Ответ: 4743 г

0,516 кг

Чтобы перевести 0,516 кг в граммы, умножим это число на 1000:
$0,516 \times 1000 = 516 \text{ г}$
Ответ: 516 г

0,089 кг

Чтобы перевести 0,089 кг в граммы, умножим это число на 1000:
$0,089 \times 1000 = 89 \text{ г}$
Ответ: 89 г

1331. Выполните умножение:

1) $4.6 \cdot 0.1;$

2) $35.1 \cdot 0.01;$

3) $436 \cdot 0.001;$

4) $729 \cdot 0.0001;$

5) $6.58 \cdot 0.1;$

6) $6.58 \cdot 0.001.$

Чтобы умножить число на десятичную дробь $0,1$, $0,01$, $0,001$ и т.д., нужно в этом числе перенести запятую влево на столько знаков, сколько цифр стоит после запятой во втором множителе.

1)
Для вычисления произведения $4,6 \cdot 0,1$ необходимо в числе $4,6$ перенести запятую на один знак влево, так как в множителе $0,1$ один знак после запятой.
$4,6 \cdot 0,1 = 0,46$
Ответ: 0,46

2)
Для вычисления произведения $35,1 \cdot 0,01$ необходимо в числе $35,1$ перенести запятую на два знака влево, так как в множителе $0,01$ два знака после запятой.
$35,1 \cdot 0,01 = 0,351$
Ответ: 0,351

3)
Для вычисления произведения $436 \cdot 0,001$ необходимо в числе $436$ (которое можно представить как $436,0$) перенести запятую на три знака влево.
$436 \cdot 0,001 = 0,436$
Ответ: 0,436

4)
Для вычисления произведения $729 \cdot 0,0001$ необходимо в числе $729$ (представим как $729,0$) перенести запятую на четыре знака влево. Так как цифр не хватает, дописываем слева нули.
$729 \cdot 0,0001 = 0,0729$
Ответ: 0,0729

5)
Для вычисления произведения $6,58 \cdot 0,1$ необходимо в числе $6,58$ перенести запятую на один знак влево.
$6,58 \cdot 0,1 = 0,658$
Ответ: 0,658

6)
Для вычисления произведения $6,58 \cdot 0,001$ необходимо в числе $6,58$ перенести запятую на три знака влево. Так как цифр не хватает, дописываем слева нули.
$6,58 \cdot 0,001 = 0,00658$
Ответ: 0,00658

1332. Выполните умножение:

1) $57 \cdot 0,1$;

2) $2,7 \cdot 0,01$;

3) $38,1 \cdot 0,001$;

4) $0,8 \cdot 0,00001$.

1) Чтобы умножить число на 0,1, необходимо перенести запятую в этом числе на один знак влево. Целое число 57 можно представить в виде десятичной дроби как 57,0. Перенеся запятую на один знак влево, получаем 5,7.
$57 \cdot 0,1 = 5,7$
Ответ: 5,7.

2) Чтобы умножить число на 0,01, необходимо перенести запятую в этом числе на два знака влево. В числе 2,7 переносим запятую на два знака влево. Для этого нужно добавить один ноль перед цифрой 2.
$2,7 \cdot 0,01 = 0,027$
Ответ: 0,027.

3) Чтобы умножить число на 0,001, необходимо перенести запятую в этом числе на три знака влево. В числе 38,1 переносим запятую на три знака влево. Для этого нужно добавить один ноль перед цифрой 3.
$38,1 \cdot 0,001 = 0,0381$
Ответ: 0,0381.

4) Чтобы умножить число на 0,00001, необходимо перенести запятую в этом числе на пять знаков влево. В числе 0,8 переносим запятую на пять знаков влево. Для этого нужно добавить четыре ноля после запятой перед цифрой 8.
$0,8 \cdot 0,00001 = 0,000008$
Ответ: 0,000008.