Страница 297 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1375. Сумма двух чисел равна 264. Последней цифрой первого числа является нуль. Если его зачеркнуть, то получим второе число. Найдите большее из этих чисел.

Пусть первое (большее) число будет $x$, а второе (меньшее) число — $y$.

По условию задачи, сумма этих двух чисел равна 264. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 264$

Также нам известно, что последняя цифра первого числа ($x$) — это 0. Если эту цифру убрать, то получится второе число ($y$). Это означает, что первое число в 10 раз больше второго. Например, если $y=15$, то $x=150$. Таким образом, мы можем составить второе уравнение:

$x = 10y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 264 \\ x = 10y \end{cases} $

Подставим значение $x$ из второго уравнения в первое:

$10y + y = 264$

Сложим $y$:

$11y = 264$

Теперь найдем $y$, разделив обе части уравнения на 11:

$y = \frac{264}{11}$

$y = 24$

Итак, второе (меньшее) число равно 24. Теперь найдем первое (большее) число, подставив значение $y$ во второе уравнение:

$x = 10y = 10 \times 24 = 240$

Проверим наше решение. Сумма чисел $240 + 24 = 264$. Первое число 240 оканчивается на 0. Если убрать 0, получится 24, что равно второму числу. Все условия выполнены.

Задача требует найти большее из этих чисел, то есть $x$.

Ответ: 240

1376. Найдите величину угла $ABM$ (рис. 245), если $\angle MBK$ — прямой и $\angle ABM = \angle CBK$.

Рис. 245

M

K

A

B

C

Угол $∠ABC$ является развернутым, так как точки A, B, и C лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет $180°$.

Развернутый угол $∠ABC$ состоит из трех углов: $∠ABM$, $∠MBK$ и $∠CBK$. Следовательно, их сумма равна $180°$:

$∠ABM + ∠MBK + ∠CBK = 180°$

По условию задачи известно, что угол $∠MBK$ — прямой, то есть его величина равна $90°$. Также дано, что $∠ABM = ∠CBK$.

Обозначим величину искомого угла $∠ABM$ через $x$. Тогда и $∠CBK = x$. Подставим известные значения в наше уравнение:

$x + 90° + x = 180°$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + 90° = 180°$

$2x = 180° - 90°$

$2x = 90°$

$x = 90° / 2$

$x = 45°$

Следовательно, величина угла $∠ABM$ равна $45°$.

Ответ: $45°$

1377.Угол $ABC$ равен $72^\circ$, луч $BD$ — биссектриса угла $ABC$, луч $BE$ — биссектриса угла $ABD$. Вычислите величину угла $CBE$.

Поскольку луч BD является биссектрисой угла ABC, он делит этот угол на два равных угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Величина каждого из этих углов будет равна половине величины угла ABC.
$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Далее, по условию, луч BE является биссектрисой угла ABD. Это означает, что он делит угол ABD на два равных угла: $\angle ABE$ и $\angle EBD$. Найдем величину угла EBD:
$\angle EBD = \frac{\angle ABD}{2} = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$.

Искомый угол CBE состоит из суммы углов CBD и EBD. Чтобы найти его величину, сложим значения этих углов:
$\angle CBE = \angle CBD + \angle EBD$
$\angle CBE = 36^\circ + 18^\circ = 54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.

1378. Футбольный мяч плотно обтянут сеткой. Из каждого узла сетки вы-ходит три верёвки. Может ли в этой сетке быть 999 узлов?

Для решения этой задачи воспользуемся методами теории графов. Представим сетку, обтягивающую футбольный мяч, как математический граф. В этом графе узлы сетки будут вершинами, а верёвки, соединяющие узлы, — рёбрами.

Пусть $V$ — это количество вершин (узлов) в графе, а $E$ — количество рёбер (верёвок).

По условию задачи, из каждого узла сетки выходит три верёвки. В терминах теории графов это означает, что степень каждой вершины графа равна 3. То есть, для любой вершины $v$ её степень $\deg(v) = 3$.

В теории графов существует фундаментальный результат, известный как лемма о рукопожатиях. Она гласит, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер. Математически это записывается так:

$\sum_{i=1}^{V} \deg(v_i) = 2E$

Поскольку в нашем случае степень каждой из $V$ вершин равна 3, сумма степеней всех вершин будет равна произведению количества вершин на степень одной вершины:

$\sum_{i=1}^{V} \deg(v_i) = 3 \times V = 3V$

Приравнивая два выражения для суммы степеней, получаем следующее соотношение:

$3V = 2E$

Из этого уравнения следует, что произведение $3V$ должно быть чётным числом, так как оно равно $2E$ (любое целое число, умноженное на 2, является чётным).

Произведение двух целых чисел является чётным тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей является чётным. В нашем случае один из сомножителей — это число 3, которое является нечётным. Следовательно, для того чтобы произведение $3V$ было чётным, второй сомножитель, то есть количество вершин $V$, обязательно должен быть чётным числом.

В вопросе задачи спрашивается, может ли в сетке быть 999 узлов. Это означает, что $V = 999$. Однако число 999 является нечётным.

Это приводит к противоречию, так как мы доказали, что количество узлов $V$ в такой сетке должно быть чётным. Следовательно, в сетке не может быть 999 узлов.

Ответ: Нет, не может.