Страница 295 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1358. Выразите величины в одинаковых единицах измерения и сравните их:

1) 6,4 дм и 64,2 см;

2) 265,8 см и 2,663 м;

3) 4,2 ц и 416,5 кг;

4) 0,8 т и 7,36 ц.

1) Чтобы сравнить $6,4$ дм и $64,2$ см, приведем их к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
$6,4 \text{ дм} = 6,4 \cdot 10 \text{ см} = 64 \text{ см}$.
Сравниваем $64$ см и $64,2$ см. Поскольку $64 < 64,2$, то $6,4 \text{ дм} < 64,2 \text{ см}$.
Ответ: $6,4$ дм $< 64,2$ см.

2) Чтобы сравнить $265,8$ см и $2,663$ м, приведем их к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
$2,663 \text{ м} = 2,663 \cdot 100 \text{ см} = 266,3 \text{ см}$.
Сравниваем $265,8$ см и $266,3$ см. Поскольку $265,8 < 266,3$, то $265,8 \text{ см} < 2,663 \text{ м}$.
Ответ: $265,8$ см $< 2,663$ м.

3) Чтобы сравнить $4,2$ ц и $416,5$ кг, приведем их к одной единице измерения. Переведем центнеры в килограммы, зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$4,2 \text{ ц} = 4,2 \cdot 100 \text{ кг} = 420 \text{ кг}$.
Сравниваем $420$ кг и $416,5$ кг. Поскольку $420 > 416,5$, то $4,2 \text{ ц} > 416,5 \text{ кг}$.
Ответ: $4,2$ ц $> 416,5$ кг.

4) Чтобы сравнить $0,8$ т и $7,36$ ц, приведем их к одной единице измерения. Переведем тонны в центнеры, зная, что $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.
$0,8 \text{ т} = 0,8 \cdot 10 \text{ ц} = 8 \text{ ц}$.
Сравниваем $8$ ц и $7,36$ ц. Поскольку $8 > 7,36$, то $0,8 \text{ т} > 7,36 \text{ ц}$.
Ответ: $0,8$ т $> 7,36$ ц.

1359. При Петре I в России с развитием торговли и промышленности назрела необходимость приведения в определённую систему различных мер. Так, были утверждены такие единицы длины: верста, сажень, аршин, вершок.

Верста была равна $500$ саженям, сажень — $3$ аршинам, аршин — $16$ вершкам. Скольким километрам равна верста, если вершок равен $4.445$ см?

Для решения задачи необходимо последовательно перевести одну единицу измерения в другую, начиная с самой меньшей (вершок), для которой дано значение в современной системе мер.

1. Вычислим длину аршина в сантиметрах.
Из условия известно, что 1 аршин равен 16 вершкам, а 1 вершок равен 4,445 см.
$1 \text{ аршин} = 16 \times 4.445 \text{ см} = 71.12 \text{ см}$.

2. Вычислим длину сажени в сантиметрах.
Из условия известно, что 1 сажень равна 3 аршинам.
$1 \text{ сажень} = 3 \times 71.12 \text{ см} = 213.36 \text{ см}$.

3. Вычислим длину версты в сантиметрах.
Из условия известно, что 1 верста равна 500 саженям.
$1 \text{ верста} = 500 \times 213.36 \text{ см} = 106680 \text{ см}$.

4. Переведем длину версты в километры.
В одном километре содержится 1000 метров, а в одном метре — 100 сантиметров. Следовательно, в одном километре 100 000 сантиметров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 100000 \text{ см}$.
Чтобы перевести сантиметры в километры, нужно разделить их количество на 100 000.
$106680 \text{ см} = \frac{106680}{100000} \text{ км} = 1.0668 \text{ км}$.

Ответ: 1.0668 км.

1360. В старину в России пользовались такими мерами массы: пуд, фунт, золотник. Пуд был равен 40 фунтам, фунт – 96 золотникам. Скольким килограммам равен пуд, если золотник равен 4,266 г? Ответ округлите до сотых.

Для решения этой задачи необходимо последовательно перевести массу из одних единиц в другие, используя данные из условия.

1. Сначала найдем, сколько граммов содержится в одном фунте. Известно, что $1 \text{ фунт} = 96 \text{ золотникам}$, а $1 \text{ золотник} = 4,266 \text{ г}$. Чтобы найти массу фунта в граммах, нужно умножить массу золотника на их количество в фунте:
$96 \cdot 4,266 = 409,536 \text{ г}$.
Таким образом, $1 \text{ фунт}$ равен $409,536 \text{ г}$.

2. Теперь найдем, сколько граммов содержится в одном пуде. Известно, что $1 \text{ пуд} = 40 \text{ фунтам}$. Чтобы найти массу пуда в граммах, нужно умножить массу одного фунта в граммах на их количество в пуде:
$40 \cdot 409,536 = 16381,44 \text{ г}$.
Следовательно, $1 \text{ пуд}$ равен $16381,44 \text{ г}$.

3. На последнем шаге переведем массу пуда из граммов в килограммы и округлим результат. В одном килограмме содержится 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$). Для перевода разделим полученное значение на 1000:
$16381,44 : 1000 = 16,38144 \text{ кг}$.

Согласно условию, ответ необходимо округлить до сотых. В числе 16,38144 цифра в разряде сотых — это 8. Следующая за ней цифра (в разряде тысячных) — 1. Поскольку $1 < 5$, то при округлении цифра в разряде сотых остается без изменений, а последующие цифры отбрасываются.
$16,38144 \approx 16,38$.

Ответ: 16,38 кг.

1361. Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью $11,4 \text{ км/ч}$, а второй — со скоростью $9,8 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $6,5 \text{ ч}$ после начала движения?

Для решения этой задачи можно использовать понятие скорости удаления. Так как велосипедисты движутся в одном направлении из одной точки, расстояние между ними будет увеличиваться со скоростью, равной разности их скоростей.

1. Найдем скорость удаления велосипедистов. Для этого вычтем из большей скорости меньшую:

$v_{уд} = v_1 - v_2 = 11,4 \text{ км/ч} - 9,8 \text{ км/ч} = 1,6 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между велосипедистами увеличивается на 1,6 км.

2. Теперь найдем, какое расстояние будет между ними через 6,5 часов. Для этого умножим скорость удаления на время в пути:

$S = v_{уд} \times t$

$S = 1,6 \text{ км/ч} \times 6,5 \text{ ч} = 10,4 \text{ км}$

Таким образом, через 6,5 часа после начала движения расстояние между велосипедистами составит 10,4 км.

Ответ: 10,4 км.

1362. С одной станции в противоположных направлениях одновременно отправились два поезда. Один из них двигался со скоростью 63,4 км/ч, а второй — со скоростью 58,6 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 9,3 ч после начала движения?

Чтобы найти расстояние между поездами, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сначала найти их общую скорость удаления. Скорость удаления равна сумме скоростей каждого поезда.

1. Найдём скорость удаления поездов.

Скорость первого поезда $v_1 = 63,4$ км/ч.
Скорость второго поезда $v_2 = 58,6$ км/ч.
Скорость удаления $v_{уд}$ вычисляется по формуле:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 63,4 + 58,6 = 122$ км/ч.

2. Найдём расстояние между поездами через 9,3 часа.

Чтобы найти расстояние $S$, нужно скорость удаления $v_{уд}$ умножить на время в пути $t = 9,3$ ч.
Расстояние вычисляется по формуле: $S = v \times t$.
$S = 122 \times 9,3 = 1134,6$ км.

Ответ: через 9,3 ч после начала движения расстояние между поездами будет 1134,6 км.

1363. Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали велосипедист и легковой автомобиль. Велосипедист ехал со скоростью 13,8 км/ч, а автомобиль — в 6,3 раза быстрее. Найдите расстояние между городами, если велосипедист и автомобиль встретились через 4,5 ч после начала движения.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий: найти скорость автомобиля, затем общую скорость сближения и, наконец, вычислить расстояние между городами.

1. Найдём скорость легкового автомобиля.

Скорость велосипедиста составляет $13,8$ км/ч. По условию, автомобиль ехал в $6,3$ раза быстрее. Чтобы найти скорость автомобиля, умножим скорость велосипедиста на $6,3$.
$13,8 \text{ км/ч} \times 6,3 = 86,94 \text{ км/ч}$

2. Найдём скорость сближения.

Поскольку велосипедист и автомобиль двигались навстречу друг другу, их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей.
$v_{сближения} = 13,8 \text{ км/ч} + 86,94 \text{ км/ч} = 100,74 \text{ км/ч}$

3. Найдём расстояние между городами.

Расстояние равно произведению скорости сближения на время, через которое они встретились. Время встречи по условию равно $4,5$ ч.
$S = 100,74 \text{ км/ч} \times 4,5 \text{ ч} = 453,33 \text{ км}$

Ответ: 453,33 км.

1364.Из двух сёл навстречу друг другу одновременно начали движение велосипедист и пешеход. Пешеход шёл со скоростью 3,2 км/ч, что в 4,2 раза меньше скорости велосипедиста. Найдите расстояние между сёлами, если велосипедист и пешеход встретились через 1,6 ч после начала движения.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость велосипедиста.

Скорость пешехода равна $3,2$ км/ч, что в $4,2$ раза меньше скорости велосипедиста. Следовательно, скорость велосипедиста в $4,2$ раза больше скорости пешехода.

$3,2 \times 4,2 = 13,44$ (км/ч) – скорость велосипедиста.

2. Найдём скорость сближения.

Поскольку велосипедист и пешеход движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их скоростей.

$v_{сближения} = v_{пешехода} + v_{велосипедиста}$

$3,2 + 13,44 = 16,64$ (км/ч) – скорость сближения.

3. Найдём расстояние между сёлами.

Расстояние равно произведению скорости сближения на время, через которое они встретились.

$S = v_{сближения} \times t$

$16,64 \times 1,6 = 26,624$ (км).

Ответ: 26,624 км.

1365. Лодка плыла 1,8 ч по течению реки и 2,6 ч против течения. Какой путь проплыла лодка за всё время движения, если скорость течения равна 2,4 км/ч, а собственная скорость лодки — 18,9 км/ч?

Чтобы найти общий путь, который проплыла лодка, нужно сначала рассчитать расстояние, пройденное по течению, а затем расстояние, пройденное против течения, и после этого сложить полученные значения.

1. Находим скорость лодки по течению и пройденный путь.

Скорость по течению реки складывается из собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{по\ течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 18,9 \text{ км/ч} + 2,4 \text{ км/ч} = 21,3 \text{ км/ч}$.

Теперь вычислим расстояние, которое лодка проплыла по течению за 1,8 часа:

$S_{по\ течению} = v_{по\ течению} \times t_{по\ течению} = 21,3 \text{ км/ч} \times 1,8 \text{ ч} = 38,34 \text{ км}$.

2. Находим скорость лодки против течения и пройденный путь.

Скорость против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{против\ течения} = v_{собственная} - v_{течения} = 18,9 \text{ км/ч} - 2,4 \text{ км/ч} = 16,5 \text{ км/ч}$.

Вычислим расстояние, которое лодка проплыла против течения за 2,6 часа:

$S_{против\ течения} = v_{против\ течения} \times t_{против\ течения} = 16,5 \text{ км/ч} \times 2,6 \text{ ч} = 42,9 \text{ км}$.

3. Находим общий путь, пройденный лодкой.

Общий путь равен сумме расстояний, пройденных по течению и против течения:

$S_{общий} = S_{по\ течению} + S_{против\ течения} = 38,34 \text{ км} + 42,9 \text{ км} = 81,24 \text{ км}$.

Ответ: 81,24 км.

1366. Катер шёл 4,5 ч против течения и 0,8 ч по течению реки. Какой путь прошёл катер, если его скорость против течения равна 24,6 км/ч, а скорость течения — 1,8 км/ч?

Чтобы найти общий путь, пройденный катером, необходимо вычислить расстояние, которое он прошел против течения, и расстояние, которое он прошел по течению, а затем сложить эти два значения.

1. Вычисление расстояния, пройденного против течения

Расстояние равно произведению скорости на время. Нам известны скорость катера против течения ($v_{против} = 24,6$ км/ч) и время движения против течения ($t_{против} = 4,5$ ч). Найдем расстояние $S_{против}$:

$S_{против} = v_{против} \cdot t_{против} = 24,6 \cdot 4,5 = 110,7$ км.

2. Вычисление скорости катера по течению

Сначала найдем собственную скорость катера ($v_{собств}$). Скорость против течения — это разность собственной скорости катера и скорости течения ($v_{теч} = 1,8$ км/ч).

$v_{против} = v_{собств} - v_{теч}$

Отсюда выразим собственную скорость:

$v_{собств} = v_{против} + v_{теч} = 24,6 + 1,8 = 26,4$ км/ч.

Теперь можем найти скорость катера по течению ($v_{по}$), которая является суммой собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{собств} + v_{теч} = 26,4 + 1,8 = 28,2$ км/ч.

3. Вычисление расстояния, пройденного по течению

Используя найденную скорость по течению и заданное время движения по течению ($t_{по} = 0,8$ ч), найдем расстояние $S_{по}$:

$S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = 28,2 \cdot 0,8 = 22,56$ км.

4. Вычисление общего пути

Общий путь ($S_{общ}$) — это сумма расстояний, пройденных против течения и по течению.

$S_{общ} = S_{против} + S_{по} = 110,7 + 22,56 = 133,26$ км.

Ответ: 133,26 км.

1367.За несколько месяцев для школьной библиотеки приобрели новые книги общей стоимостью 49 360 р. За первый месяц было израсходовано 0,4 этой суммы, а за второй — 0,35 остатка. Сколько рублей было израсходовано за второй месяц?

Для того чтобы найти, сколько рублей было израсходовано за второй месяц, нужно сначала определить сумму, потраченную в первый месяц, затем найти остаток и уже от него вычислить расходы второго месяца.

1. Вычислим сумму, израсходованную в первый месяц.

Эта сумма составляет 0,4 от общей стоимости 49 360 рублей.

$49360 \cdot 0,4 = 19744$ (рублей).

2. Найдем остаток суммы после расходов за первый месяц.

Для этого вычтем из общей суммы расходы первого месяца.

$49360 - 19744 = 29616$ (рублей).

3. Вычислим сумму, израсходованную во второй месяц.

По условию, во второй месяц было израсходовано 0,35 от остатка.

$29616 \cdot 0,35 = 10365,6$ (рублей).

Ответ: 10365,6 рублей.