Страница 300 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Деление десятичной дроби на натуральное число уголком выполняется почти так же, как и деление натуральных чисел. Главное — правильно поставить десятичную запятую в частном (результате деления).

Алгоритм деления:

1. Выполнить деление целой части десятичной дроби на натуральное число.
2. Сразу после того, как деление целой части будет завершено, поставить в частном десятичную запятую.
3. Продолжить деление, как обычно, последовательно "спуская" цифры из дробной части делимого.
4. Если цифры в делимом закончились, а остаток от деления не равен нулю, то к остатку можно приписывать справа нули и продолжать деление до тех пор, пока остаток не станет равным нулю или не будет достигнута нужная точность результата.

Рассмотрим на примере: разделим $15,75$ на $3$.

1. Делим целую часть. Делим $15$ на $3$. Получаем $5$. Записываем $5$ в частное. Остаток от деления целой части равен $0$.

 15,75 | 3- 15 |--- --- | 5 0 

2. Ставим запятую. Мы закончили делить целую часть ($15$), поэтому сразу после $5$ в частном ставим запятую.

 ... | 5, 

3. Продолжаем деление дробной части. "Спускаем" следующую цифру — $7$. Делим $7$ на $3$. Ближайшее целое частное — $2$ ($2 \times 3 = 6$). Записываем $2$ в частное после запятой. Находим остаток: $7 - 6 = 1$.

 15,75 | 3- 15 |--- --- | 5,2 0 7 - 6 --- 1 

4. Завершаем деление. "Спускаем" последнюю цифру — $5$. Получаем число $15$. Делим $15$ на $3$. Получаем $5$. Записываем $5$ в частное. Остаток: $15 - 15 = 0$. Деление завершено.

 15,75 | 3- 15 |----- --- | 5,25 0 7 - 6 --- 15 - 15 -- 0 

Таким образом, $15,75 : 3 = 5,25$.

Ответ: Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число уголком, нужно делить их как натуральные числа, но в частном поставить десятичную запятую в тот момент, когда заканчивается деление целой части делимого.

2. Чему равна целая часть частного, если делимое меньше делителя?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим операцию деления. Пусть делимое — это число $a$, а делитель — это число $b$. Частное является результатом деления $a$ на $b$.

По условию задачи, делимое меньше делителя. В контексте таких задач обычно предполагается, что и делимое, и делитель являются положительными числами. Это можно записать в виде неравенства: $0 < a < b$.

Чтобы найти частное, нужно разделить $a$ на $b$. Так как мы делим меньшее положительное число на большее положительное число, результат всегда будет положительным, но меньше единицы. Математически это можно доказать, разделив все части неравенства $0 < a < b$ на положительное число $b$:
$0/b < a/b < b/b$
$0 < a/b < 1$

Это означает, что частное от деления $a$ на $b$ является дробным числом, которое находится в интервале между 0 и 1.

Целая часть числа — это часть числа, которая стоит слева от десятичной запятой (или точки). У любого числа, которое больше 0 и меньше 1 (например, 0.5, 0.12, 0.999), целая часть равна 0.

Рассмотрим несколько примеров:
• Делим 5 на 10. Делимое (5) меньше делителя (10). Частное равно $5 \div 10 = 0.5$. Целая часть равна 0.
• Делим 2 на 8. Делимое (2) меньше делителя (8). Частное равно $2 \div 8 = 0.25$. Целая часть равна 0.
• Делим 1 на 100. Делимое (1) меньше делителя (100). Частное равно $1 \div 100 = 0.01$. Целая часть равна 0.

Таким образом, если положительное делимое меньше положительного делителя, целая часть их частного всегда равна нулю.

Ответ: 0.

3. Как разделить десятичную дробь на 10? на 100? на 1000?

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы. Если цифр слева от запятой не хватает для переноса, то перед ними нужно дописать необходимое количество нулей.

на 10?
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую влево на один знак (в числе 10 один ноль).
Например:
$123,45 : 10 = 12,345$
$5,6 : 10 = 0,56$
Ответ: перенести запятую влево на один знак.

на 100?
Чтобы разделить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую влево на два знака (в числе 100 два ноля).
Например:
$246,8 : 100 = 2,468$
$7,89 : 100 = 0,0789$ (дописываем один ноль слева)
Ответ: перенести запятую влево на два знака.

на 1000?
Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую влево на три знака (в числе 1000 три ноля).
Например:
$4567,8 : 1000 = 4,5678$
$12,3 : 1000 = 0,0123$ (дописываем один ноль слева)
Ответ: перенести запятую влево на три знака.

4. Как разделить десятичную дробь на десятичную дробь?

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, необходимо преобразовать делитель в натуральное (целое) число. Для этого используется следующее правило:

1. Подсчитать количество знаков после запятой в делителе (числе, на которое мы делим).
2. Перенести запятую вправо на это количество знаков и в делимом (числе, которое мы делим), и в делителе.
3. Если в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то справа к нему нужно дописать необходимое количество нулей.
4. После этих преобразований выполнить деление полученной десятичной дроби на натуральное число. Это можно сделать обычным способом, например, делением в столбик.

Рассмотрим применение этого правила на примерах.

Пример 1

Необходимо разделить $43,52$ на $1,6$.

Решение:

1. В делителе $1,6$ один знак после запятой.

2. Переносим запятую на один знак вправо и в делимом, и в делителе.

• Делимое: $43,52 \rightarrow 435,2$.
• Делитель: $1,6 \rightarrow 16$.

3. Теперь задача сводится к делению $435,2$ на $16$.

Выполним деление в столбик. Сначала делим целую часть $435$ на $16$, получаем $27$. Затем, поставив запятую в частном, продолжаем деление. В результате получаем $27,2$.

$43,52 : 1,6 = 435,2 : 16 = 27,2$

Ответ: $27,2$.

Пример 2

Необходимо разделить $1,2$ на $0,03$.

Решение:

1. В делителе $0,03$ два знака после запятой.

2. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.

• Делимое: $1,2 \rightarrow 120$. В данном случае для переноса запятой на два знака потребовалось дописать один ноль.
• Делитель: $0,03 \rightarrow 3$.

3. Задача свелась к делению целого числа $120$ на $3$.

$1,2 : 0,03 = 120 : 3 = 40$

Ответ: $40$.