Страница 305 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1419. Из своих жилищ навстречу друг другу одновременно вышли Братец Ёж и Братец Кролик и встретились через $12 \text{ мин}$ после начала движения. С какой скоростью двигался Братец Ёж, если расстояние между их жилищами равно $136.8 \text{ м}$, а Братец Кролик шёл со скоростью $9.6 \text{ м/мин}$?

Для решения задачи можно пойти двумя путями: через нахождение скорости сближения или через вычисление пройденных расстояний. Рассмотрим оба.

Способ 1. Через скорость сближения

1. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, они вместе преодолевают всё расстояние между ними. Скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их скоростей. Зная общее расстояние и время до встречи, можно найти эту скорость.

2. Найдём скорость сближения ($v_{сбл}$) Братца Ежа и Братца Кролика, разделив общее расстояние ($S$) на время до встречи ($t$):

$v_{сбл} = S / t = 136,8 \text{ м} / 12 \text{ мин} = 11,4 \text{ м/мин}$.

3. Скорость сближения является суммой скоростей Братца Ежа ($v_{Ежа}$) и Братца Кролика ($v_{Кролика}$):

$v_{сбл} = v_{Ежа} + v_{Кролика}$

4. Чтобы найти скорость Братца Ежа, вычтем из скорости сближения известную скорость Братца Кролика:

$v_{Ежа} = v_{сбл} - v_{Кролика} = 11,4 \text{ м/мин} - 9,6 \text{ м/мин} = 1,8 \text{ м/мин}$.

Способ 2. Через пройденные расстояния

1. Сначала вычислим, какое расстояние прошел Братец Кролик за 12 минут. Для этого умножим его скорость ($v_{Кролика}$) на время ($t$):

$S_{Кролика} = v_{Кролика} \cdot t = 9,6 \text{ м/мин} \cdot 12 \text{ мин} = 115,2 \text{ м}$.

2. Общее расстояние ($S$) равно сумме расстояний, которые прошел каждый из них до встречи. Значит, расстояние, которое прошел Братец Ёж ($S_{Ежа}$), можно найти, вычтя из общего расстояния путь Братца Кролика:

$S_{Ежа} = S - S_{Кролика} = 136,8 \text{ м} - 115,2 \text{ м} = 21,6 \text{ м}$.

3. Братец Ёж прошел 21,6 м за то же самое время — 12 минут. Чтобы найти его скорость ($v_{Ежа}$), разделим пройденное им расстояние на время:

$v_{Ежа} = S_{Ежа} / t = 21,6 \text{ м} / 12 \text{ мин} = 1,8 \text{ м/мин}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: скорость Братца Ежа равна 1,8 м/мин.

1420. От двух станций, расстояние между которыми равно 20,8 км, в одном направлении одновременно отправились два поезда. Впереди шёл поезд со скоростью 54,6 км/ч. Через 5 ч после начала движения его догнал второй поезд. Найдите скорость второго поезда.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Поскольку поезда движутся в одном направлении, скорость, с которой второй поезд догоняет первый, равна разности их скоростей.

1. Найдем скорость сближения.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) — это скорость, с которой сокращается расстояние между объектами. Она вычисляется как отношение первоначального расстояния ($S$) ко времени ($t$), за которое один объект догонит другой.

Дано:

• Первоначальное расстояние $S = 20,8$ км.
• Время движения до встречи $t = 5$ ч.

Вычислим скорость сближения:

$v_{сбл} = S / t = 20,8 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 4,16$ км/ч.

Это означает, что каждый час расстояние между поездами сокращалось на 4,16 км.

2. Найдем скорость второго поезда.

Скорость сближения при движении вдогонку равна разности скоростей догоняющего и уходящего объектов. Пусть $v_2$ — скорость второго (догоняющего) поезда, а $v_1$ — скорость первого поезда ($v_1 = 54,6$ км/ч).

Формула скорости сближения:

$v_{сбл} = v_2 - v_1$

Мы уже нашли, что $v_{сбл} = 4,16$ км/ч. Теперь можем найти $v_2$:

$v_2 = v_1 + v_{сбл}$

$v_2 = 54,6 \text{ км/ч} + 4,16 \text{ км/ч} = 58,76$ км/ч.

Ответ: 58,76 км/ч.

1421. Расстояние между двумя сёлами равно 12,2 км. Из этих сёл в одном направлении одновременно выехали два всадника. Один всадник скакал со скоростью 10,2 км/ч и догнал второго через 2 ч после начала движения. Найдите скорость второго всадника.

Для решения этой задачи на движение вдогонку можно использовать несколько подходов. Рассмотрим один из них, по действиям.

Обозначим известные данные:

• Начальное расстояние между селами (и всадниками): $S_0 = 12,2$ км.
• Скорость первого (догоняющего) всадника: $v_1 = 10,2$ км/ч.
• Время, через которое первый всадник догнал второго: $t = 2$ ч.
• Скорость второго всадника: $v_2$ — искомая величина.

1. Найдем расстояние, которое проскакал первый всадник до момента встречи со вторым. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$S_1 = v_1 \cdot t = 10,2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 20,4 \text{ км}.$

2. Поскольку первый всадник догонял второго, то за 2 часа он преодолел исходное расстояние между ними ($12,2$ км) и то расстояние, которое успел проскакать за это же время второй всадник. Следовательно, чтобы найти путь второго всадника ($S_2$), нужно из пути первого всадника вычесть начальное расстояние между ними:

$S_2 = S_1 - S_0 = 20,4 \text{ км} - 12,2 \text{ км} = 8,2 \text{ км}.$

3. Теперь мы знаем, что второй всадник за 2 часа проехал 8,2 км. Чтобы найти его скорость ($v_2$), разделим пройденное им расстояние на время:

$v_2 = \frac{S_2}{t} = \frac{8,2 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4,1 \text{ км/ч}.$

Ответ: 4,1 км/ч.

1422. Из села Уютное со скоростью $9,4 \text{ км/ч}$ выехал велосипедист. Когда он отъехал от Уютного на $1,26 \text{ км}$, следом выехал второй велосипедист со скоростью $11,2 \text{ км/ч}$. За какое время второй велосипедист догонит первого?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, за которое второй велосипедист догонит первого, нужно сначала найти скорость их сближения, а затем разделить на нее начальное расстояние между ними.

1. Определим скорость сближения. Так как велосипедисты движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей.
Скорость первого велосипедиста: $v_1 = 9,4$ км/ч.
Скорость второго велосипедиста: $v_2 = 11,2$ км/ч.
Скорость сближения ($v_{сбл}$) рассчитывается по формуле:
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 11,2 \text{ км/ч} - 9,4 \text{ км/ч} = 1,8$ км/ч.

2. Найдем время, необходимое для того, чтобы догнать первого велосипедиста.
На момент старта второго велосипедиста, первый уже проехал 1,26 км. Это и есть начальное расстояние ($S$) между ними.
Время ($t$) находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $v$ — это скорость сближения.
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{1,26 \text{ км}}{1,8 \text{ км/ч}}$
$t = 0,7$ ч.

Для справки, можно перевести это время в минуты: $0,7 \times 60 = 42$ минуты.

Ответ: 0,7 ч.

1423. Кот увидел мышь на расстоянии $30,4 \text{ м}$ и бросился в погоню. Через сколько минут кот догонит мышь, если она убегает со скоростью $298,8 \text{ м/мин}$, а кот догоняет её со скоростью $302 \text{ м/мин}$?

Для решения этой задачи на движение вдогонку необходимо найти скорость сближения кота и мыши, а затем, зная начальное расстояние, вычислить время, за которое кот его преодолеет.

Вычисление скорости сближения:
Скорость сближения равна разности скоростей кота и мыши, так как кот движется быстрее.
Скорость кота: $v_{кота} = 302$ м/мин.
Скорость мыши: $v_{мыши} = 298,8$ м/мин.
Скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется по формуле: $v_{сбл} = v_{кота} - v_{мыши}$.
$v_{сбл} = 302 - 298,8 = 3,2$ м/мин.
Это означает, что каждую минуту расстояние между котом и мышью сокращается на 3,2 метра.

Вычисление времени до встречи:
Чтобы найти время ($t$), через которое кот догонит мышь, нужно начальное расстояние ($S$) разделить на скорость сближения ($v_{сбл}$):
$t = \frac{S}{v_{сбл}}$
Начальное расстояние: $S = 30,4$ м.
$t = \frac{30,4}{3,2} = \frac{304}{32} = 9,5$ минут.

Ответ: 9,5 минут.

1424. Моторная лодка проплыла 28,64 км по течению реки и 52,16 км против течения. Сколько времени плыла лодка, если её собственная скорость равна 34,2 км/ч, а скорость течения — 1,6 км/ч?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий: найти скорости лодки по течению и против течения, рассчитать время для каждого участка пути и затем сложить полученное время.

1. Найдём скорость лодки по течению и против течения.
Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме её собственной скорости и скорости течения:
$V_{по\;течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 34,2 \; км/ч + 1,6 \; км/ч = 35,8 \; км/ч$
Скорость лодки при движении против течения реки равна разности её собственной скорости и скорости течения:
$V_{против\;течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 34,2 \; км/ч - 1,6 \; км/ч = 32,6 \; км/ч$

2. Рассчитаем время, затраченное на путь по течению и против течения.
Время движения находится по формуле $t = S / V$, где $S$ — расстояние, а $V$ — скорость.
Время движения по течению:
$t_{по\;течению} = 28,64 \; км / 35,8 \; км/ч = 0,8 \; ч$
Время движения против течения:
$t_{против\;течения} = 52,16 \; км / 32,6 \; км/ч = 1,6 \; ч$

3. Найдём общее время, которое плыла лодка.
Для этого сложим время, затраченное на путь по течению и против течения:
$t_{общее} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} = 0,8 \; ч + 1,6 \; ч = 2,4 \; ч$

Ответ: 2,4 ч.

1425. Катер прошёл $54,9 \text{ км}$ по течению реки и $60,49 \text{ км}$ против течения. На сколько минут дольше шёл катер против течения, чем по течению, если скорость катера в стоячей воде равна $28,4 \text{ км/ч}$, а скорость течения — $2,1 \text{ км/ч}$?

Для того чтобы узнать, на сколько минут дольше катер шёл против течения, чем по течению, необходимо последовательно выполнить несколько вычислений.

1. Найдём скорость катера по течению и против течения.
Собственная скорость катера равна 28,4 км/ч, а скорость течения — 2,1 км/ч. Скорость по течению вычисляется как сумма собственной скорости и скорости течения:
$v_{по\;теч.} = 28,4 + 2,1 = 30,5$ км/ч.
Скорость против течения вычисляется как разность собственной скорости и скорости течения:
$v_{против\;теч.} = 28,4 - 2,1 = 26,3$ км/ч.

2. Найдём время, затраченное на каждый участок пути.
Время вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Время, затраченное на путь по течению (расстояние 54,9 км):
$t_{по\;теч.} = \frac{54,9}{30,5} = 1,8$ часа.
Время, затраченное на путь против течения (расстояние 60,49 км):
$t_{против\;теч.} = \frac{60,49}{26,3} = 2,3$ часа.

3. Найдём разницу во времени и выразим её в минутах.
Чтобы узнать, на сколько дольше катер шёл против течения, вычтем из времени движения против течения время движения по течению:
$\Delta t = t_{против\;теч.} - t_{по\;теч.} = 2,3 - 1,8 = 0,5$ часа.
Поскольку вопрос требует дать ответ в минутах, переведём 0,5 часа в минуты. Зная, что в одном часе 60 минут, получаем:
$0,5 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 30$ минут.

Ответ: на 30 минут.

1426.Площадь прямоугольника равна площади квадрата со стороной 2,1 см. Одна из сторон прямоугольника равна 0,9 см. Вычислите периметр прямоугольника.

Для того чтобы вычислить периметр прямоугольника, необходимо знать длины двух его смежных сторон. По условию, одна сторона известна. Вторую сторону мы найдем через площадь.

1. Находим площадь квадрата.
Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется как квадрат его стороны ($a$).
Сторона квадрата $a = 2,1$ см.
$S_{кв} = a^2 = 2,1^2 = 4,41$ см$^2$.

2. Находим вторую сторону прямоугольника.
По условию, площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна площади квадрата:
$S_{пр} = S_{кв} = 4,41$ см$^2$.
Площадь прямоугольника также равна произведению его сторон ($l$ и $w$). Одна из сторон, пусть это будет $l$, равна $0,9$ см. Найдем вторую сторону $w$:
$S_{пр} = l \cdot w$
$w = S_{пр} / l = 4,41 / 0,9 = 4,9$ см.

3. Вычисляем периметр прямоугольника.
Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) вычисляется по формуле $P = 2(l+w)$. Мы знаем обе стороны: $l = 0,9$ см и $w = 4,9$ см.
$P_{пр} = 2 \cdot (0,9 + 4,9) = 2 \cdot 5,8 = 11,6$ см.

Ответ: 11,6 см.

1427. Площадь прямоугольника равна $5,76 \text{ м}^2$, а одна из его сторон — $3,6 \text{ м}$. Вычислите периметр прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, а периметр ($P$) — по формуле $P = 2(a+b)$.
Из условия задачи известно, что площадь $S = 5,76$ м², а одна из сторон, пусть это будет $a$, равна $3,6$ м.
Для того чтобы найти периметр, сначала необходимо найти длину второй стороны $b$. Мы можем сделать это, разделив площадь на длину известной стороны:
$b = S \div a = 5,76 \div 3,6 = 1,6$ м.
Теперь, когда известны обе стороны прямоугольника ($a = 3,6$ м и $b = 1,6$ м), можно вычислить его периметр:
$P = 2(a+b) = 2(3,6 + 1,6) = 2 \cdot 5,2 = 10,4$ м.

Ответ: 10,4 м.

1428. Пользуясь формулой объёма прямоугольного параллелепипеда $V = Sh$, вычислите:

1) площадь $S$ основания, если $V = 9,12 \text{ см}^3$, $h = 0,6 \text{ см}$;

2) высоту $h$, если $V = 76,65 \text{ см}^3$, $S = 10,5 \text{ см}^2$.

1) площадь S основания, если V = 9,12 см³, h = 0,6 см;
Для вычисления площади основания $S$ воспользуемся формулой объема прямоугольного параллелепипеда $V = Sh$. Выразим из нее площадь основания: $S = \frac{V}{h}$.
Подставим заданные значения $V = 9,12$ см³ и $h = 0,6$ см в формулу:
$S = \frac{9,12}{0,6} = \frac{91,2}{6} = 15,2$ см².
Ответ: 15,2 см².

2) высоту h, если V = 76,65 см³, S = 10,5 см²
Для вычисления высоты $h$ воспользуемся той же формулой $V = Sh$. Выразим из нее высоту: $h = \frac{V}{S}$.
Подставим заданные значения $V = 76,65$ см³ и $S = 10,5$ см² в формулу:
$h = \frac{76,65}{10,5} = \frac{766,5}{105} = 7,3$ см.
Ответ: 7,3 см.

1429. Первый насос перекачивает $18,56 \text{ м}^3$ воды за $3,2 \text{ ч}$, а второй — $22,32 \text{ м}^3$ воды за $3,6 \text{ ч}$. У какого из насосов скорость перекачивания воды больше и на сколько кубических метров?

Для решения задачи необходимо найти скорость перекачивания воды для каждого насоса, а затем сравнить их. Скорость перекачивания (производительность) — это объем воды, перекачиваемый за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

1. Найдем скорость перекачивания первого насоса. Для этого разделим объем перекачанной им воды на время работы:

$18,56 \text{ м}^3 \div 3,2 \text{ ч} = 5,8 \text{ м}^3/\text{ч}$

Таким образом, скорость первого насоса составляет $5,8$ кубических метров в час.

2. Найдем скорость перекачивания второго насоса. Аналогично разделим объем на время:

$22,32 \text{ м}^3 \div 3,6 \text{ ч} = 6,2 \text{ м}^3/\text{ч}$

Скорость второго насоса составляет $6,2$ кубических метров в час.

3. Теперь сравним скорости двух насосов. Скорость первого насоса — $5,8 \text{ м}^3/\text{ч}$, а второго — $6,2 \text{ м}^3/\text{ч}$.

Поскольку $6,2 > 5,8$, скорость второго насоса больше.

4. Чтобы узнать, на сколько скорость второго насоса больше, вычтем из большей скорости меньшую:

$6,2 \text{ м}^3/\text{ч} - 5,8 \text{ м}^3/\text{ч} = 0,4 \text{ м}^3/\text{ч}$

Ответ: скорость второго насоса больше, чем у первого, на 0,4 кубических метра в час.