Страница 311 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1452. Фермер засеял поле прямоугольной формы пшеницей. Длина поля составляла 37,5 м, что в 1,5 раза больше его ширины. Сколько центнеров пшеницы собрал фермер со всего поля, если с каждого ара он собрал 42,8 ц? Запишите полученный ответ в тоннах, центнерах и килограммах.

Для решения задачи выполним последовательно несколько шагов.

1. Найдём ширину поля

Из условия известно, что длина поля равна 37,5 м, и это в 1,5 раза больше ширины. Чтобы найти ширину, необходимо длину разделить на 1,5.

$37,5 : 1,5 = 25$ (м)

Ширина поля составляет 25 м.

2. Вычислим площадь поля

Площадь прямоугольного поля равна произведению его длины на ширину.

$S = 37,5 \cdot 25 = 937,5$ (м²)

3. Переведём площадь в ары

Поскольку $1\ \text{ар} = 100\ \text{м²}$, для перевода площади из квадратных метров в ары нужно разделить её на 100.

$937,5 : 100 = 9,375$ (ар)

Площадь поля составляет 9,375 ара.

4. Рассчитаем общий урожай пшеницы

С каждого ара фермер собрал 42,8 центнера (ц) пшеницы. Чтобы найти общий урожай, умножим площадь в арах на урожайность.

$9,375 \cdot 42,8 = 401,25$ (ц)

Всего фермер собрал 401,25 центнера пшеницы.

5. Запишем полученный ответ в тоннах, центнерах и килограммах

Используем следующие соотношения: $1\ \text{тонна (т)} = 10\ \text{центнеров (ц)}$ и $1\ \text{центнер (ц)} = 100\ \text{килограммов (кг)}$.

В 401,25 центнерах содержится 40 полных тонн и остаток:

$401,25\ \text{ц} = 400\ \text{ц} + 1,25\ \text{ц} = 40\ \text{т} + 1,25\ \text{ц}$

Теперь разделим 1,25 центнера на целые центнеры и килограммы:

$1,25\ \text{ц} = 1\ \text{ц} + 0,25\ \text{ц}$

Переведём 0,25 центнера в килограммы:

$0,25 \cdot 100 = 25$ (кг)

Таким образом, общий урожай составляет 40 тонн, 1 центнер и 25 килограммов.

Ответ: 40 т 1 ц 25 кг.

1453. Первый штамповочный пресс изготавливает 36 деталей за 18 мин, а второй тоже количество таких деталей — за 9 мин. За сколько минут они изготовят 36 деталей, работая одновременно.

Чтобы определить, за какое время два пресса изготовят 36 деталей, работая вместе, нужно сначала найти производительность каждого пресса по отдельности, а затем их общую производительность.

1. Вычислим производительность первого пресса. Он изготавливает 36 деталей за 18 минут. Производительность (количество деталей в минуту) равна:
$P_1 = \frac{36 \text{ деталей}}{18 \text{ мин}} = 2 \text{ детали/мин}$

2. Вычислим производительность второго пресса. Он изготавливает 36 деталей за 9 минут. Его производительность равна:
$P_2 = \frac{36 \text{ деталей}}{9 \text{ мин}} = 4 \text{ детали/мин}$

3. Теперь найдем общую производительность двух прессов при одновременной работе. Для этого сложим их индивидуальные производительности:
$P_{общая} = P_1 + P_2 = 2 \text{ детали/мин} + 4 \text{ детали/мин} = 6 \text{ деталей/мин}$

4. Зная общую производительность, можно найти время, необходимое для изготовления 36 деталей. Для этого нужно разделить общее количество деталей на общую производительность:
$T = \frac{36 \text{ деталей}}{6 \text{ деталей/мин}} = 6 \text{ мин}$

Ответ: 6 минут.

1454. Через первую трубу в бассейн, объём которого равен $300 \text{ м}^3$, можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую трубу — за 6 ч. За сколько часов будет наполнен бассейн, если открыть одновременно обе трубы?

Для решения задачи необходимо определить производительность каждой трубы, то есть объем воды, который она подает в бассейн за один час. Затем нужно сложить их производительности, чтобы найти общую, и разделить на нее общий объем бассейна.

1. Определим производительность первой трубы. Она наполняет бассейн объемом $300 \, \text{м}^3$ за $3$ часа. Ее производительность ($v_1$) составляет:

$v_1 = \frac{300 \, \text{м}^3}{3 \, \text{ч}} = 100 \, \text{м}^3/\text{ч}$

2. Определим производительность второй трубы. Она наполняет тот же бассейн за $6$ часов. Ее производительность ($v_2$) составляет:

$v_2 = \frac{300 \, \text{м}^3}{6 \, \text{ч}} = 50 \, \text{м}^3/\text{ч}$

3. При одновременной работе двух труб их производительности складываются. Найдем общую производительность ($v_{общ}$):

$v_{общ} = v_1 + v_2 = 100 \, \text{м}^3/\text{ч} + 50 \, \text{м}^3/\text{ч} = 150 \, \text{м}^3/\text{ч}$

4. Теперь, зная общую производительность, найдем время ($T$), за которое бассейн будет наполнен при одновременной работе обеих труб. Для этого необходимо общий объем бассейна разделить на общую производительность:

$T = \frac{300 \, \text{м}^3}{150 \, \text{м}^3/\text{ч}} = 2 \, \text{ч}$

Ответ: за 2 часа.

1455. Два насоса одновременно выкачивали воду из бассейна. Один насос за минуту выкачивал 200 л воды, а второй — 140 л. Сколько времени работали насосы и сколько воды выкачал каждый из них, если первый насос выкачал на 210 л больше, чем второй?

Для решения задачи последовательно ответим на два вопроса, поставленных в условии.

Сколько времени работали насосы?
1. Сначала найдем, на сколько больше воды выкачивал первый насос по сравнению со вторым за одну минуту. Это разница их производительностей:
$200 \text{ л/мин} - 140 \text{ л/мин} = 60 \text{ л/мин}$
2. По условию, первый насос выкачал на 210 литров воды больше, чем второй. Поскольку каждую минуту он выкачивал на 60 литров больше, мы можем найти общее время работы, разделив общую разницу в объеме на разницу в производительности:
$t = \frac{210 \text{ л}}{60 \text{ л/мин}} = 3.5 \text{ минуты}$
Ответ: насосы работали 3,5 минуты.

Сколько воды выкачал каждый из них?
Теперь, зная время работы насосов (3,5 минуты), мы можем рассчитать объем воды, который выкачал каждый из них, умножив производительность насоса на время его работы.
1. Объем воды, выкачанный первым насосом:
$V_1 = 200 \text{ л/мин} \times 3.5 \text{ мин} = 700 \text{ л}$
2. Объем воды, выкачанный вторым насосом:
$V_2 = 140 \text{ л/мин} \times 3.5 \text{ мин} = 490 \text{ л}$
Для проверки можно убедиться, что разница объемов соответствует условию задачи: $700 \text{ л} - 490 \text{ л} = 210 \text{ л}$.
Ответ: первый насос выкачал 700 л воды, а второй — 490 л.

1456.1) Автомобиль преодолевает расстояние между двумя городами за 3,6 ч, если двигается со скоростью 62,5 км/ч. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за 3 ч?

2) Поезд проходит расстояние между двумя станциями за 4,2 ч, двигаясь со скоростью 54 км/ч. За какое время он пройдёт это расстояние, если будет двигаться со скоростью 63 км/ч?

1) Для начала найдем расстояние между двумя городами. Для этого воспользуемся формулой расстояния: $S = v \cdot t$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, а $t$ - время.
Дано: $v_1 = 62,5$ км/ч, $t_1 = 3,6$ ч.
$S = 62,5 \text{ км/ч} \cdot 3,6 \text{ ч} = 225$ км.
Теперь, зная расстояние, мы можем найти новую скорость $v_2$, с которой автомобиль должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за $t_2 = 3$ ч. Воспользуемся формулой скорости: $v = S / t$.
$v_2 = 225 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 75$ км/ч.
Ответ: 75 км/ч.

2) Сначала найдем расстояние между двумя станциями, используя ту же формулу: $S = v \cdot t$.
Дано: $v_1 = 54$ км/ч, $t_1 = 4,2$ ч.
$S = 54 \text{ км/ч} \cdot 4,2 \text{ ч} = 226,8$ км.
Теперь найдем время $t_2$, за которое поезд пройдет это расстояние со скоростью $v_2 = 63$ км/ч. Для этого используем формулу времени: $t = S / v$.
$t_2 = 226,8 \text{ км} / 63 \text{ км/ч} = 3,6$ ч.
Ответ: 3,6 ч.

1457. От двух станций навстречу друг другу одновременно отправились два поезда. Один поезд проходил 14,7 км за каждые $\frac{1}{4}$ ч, а второй — 22,4 км за $\frac{1}{3}$ ч. Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами будет 37,8 км, если расстояние между станциями равно 138,6 км?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти скорости поездов, определить их скорость сближения, вычислить расстояние, которое они должны проехать вместе, и, наконец, найти время.

1. Найдём скорость первого поезда ($v_1$).

Известно, что первый поезд проходит расстояние $S_1 = 14,7$ км за время $t_1 = \frac{1}{4}$ ч. Его скорость вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$:

$v_1 = \frac{14,7}{\frac{1}{4}} = 14,7 \cdot 4 = 58,8$ км/ч.

2. Найдём скорость второго поезда ($v_2$).

Второй поезд проходит расстояние $S_2 = 22,4$ км за время $t_2 = \frac{1}{3}$ ч. Его скорость равна:

$v_2 = \frac{22,4}{\frac{1}{3}} = 22,4 \cdot 3 = 67,2$ км/ч.

3. Найдём скорость сближения поездов ($v_{сбл}$).

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 58,8 + 67,2 = 126$ км/ч.

4. Найдём расстояние, которое поезда прошли вместе.

Изначально расстояние между станциями было 138,6 км. Поезда должны сблизиться настолько, чтобы расстояние между ними стало 37,8 км. Это значит, что суммарно они должны проехать:

$S_{пройденное} = 138,6 - 37,8 = 100,8$ км.

5. Найдём время движения.

Чтобы найти время ($t$), через которое расстояние между поездами станет 37,8 км, нужно разделить пройденное ими расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S_{пройденное}}{v_{сбл}} = \frac{100,8}{126} = 0,8$ ч.

Ответ: 0,8 ч.

1458. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали автомобиль и автобус. Автомобиль двигался со скоростью $72 \text{ км/ч}$, а автобус — со скоростью $64 \text{ км/ч}$. Через сколько часов после начала движения расстояние между автомобилем и автобусом будет $52 \text{ км}$?

Для решения задачи сначала найдем скорость, с которой автомобиль удаляется от автобуса. Так как они движутся в одном направлении из одного пункта, эта скорость, называемая скоростью удаления, равна разности их скоростей.

Скорость автомобиля $v_1 = 72$ км/ч.

Скорость автобуса $v_2 = 64$ км/ч.

Скорость удаления ($v_{уд}$) вычисляется по формуле:

$v_{уд} = v_1 - v_2$

$v_{уд} = 72 \text{ км/ч} - 64 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

Это означает, что каждый час расстояние между автомобилем и автобусом увеличивается на 8 километров.

Теперь, чтобы найти время ($t$), через которое расстояние ($S$) между ними станет равным 52 км, нужно это расстояние разделить на скорость удаления:

$t = \frac{S}{v_{уд}}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{52 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 6,5$ ч.

Ответ: 6,5 ч.

1459.Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали два всадника. Через 5 ч после начала движения расстояние между ними было 6 км. Скорость одного из всадников равна 8,4 км/ч. Найдите скорость второго всадника.

Для решения этой задачи нужно найти скорость удаления всадников друг от друга. Скорость удаления – это скорость, с которой увеличивается расстояние между объектами, движущимися в одном направлении.

Обозначим:

• $v_1$ – скорость первого всадника ($8,4$ км/ч)
• $v_2$ – скорость второго всадника (искомая величина)
• $t$ – время движения ($5$ ч)
• $S$ – расстояние между всадниками через 5 часов ($6$ км)

Скорость удаления ($v_{уд}$) можно найти по формуле: $v_{уд} = S / t$.
$v_{уд} = 6 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 1,2 \text{ км/ч}$.

Скорость удаления также равна разности скоростей всадников. Поскольку в задаче не указано, какой из всадников движется быстрее, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Второй всадник движется медленнее первого

В этом случае скорость удаления равна $v_1 - v_2$.
$v_1 - v_2 = 1,2$
$8,4 - v_2 = 1,2$
$v_2 = 8,4 - 1,2$
$v_2 = 7,2$ (км/ч)

Ответ: 7,2 км/ч.

Случай 2: Второй всадник движется быстрее первого

В этом случае скорость удаления равна $v_2 - v_1$.
$v_2 - v_1 = 1,2$
$v_2 - 8,4 = 1,2$
$v_2 = 8,4 + 1,2$
$v_2 = 9,6$ (км/ч)

Ответ: 9,6 км/ч.

1460. Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно вышли два пешехода. Скорость одного пешехода равна 4,2 км/ч, что составляет $\frac{7}{6}$ скорости второго. Через сколько часов после начала движения расстояние между пешеходами будет 19,5 км?

Для решения задачи необходимо выполнить три действия: найти скорость второго пешехода, определить их общую скорость удаления и, наконец, вычислить время.

1. Найдём скорость второго пешехода

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода, а $v_2$ — скорость второго. По условию, $v_1 = 4,2$ км/ч. Известно, что эта скорость составляет $\frac{7}{6}$ от скорости второго пешехода. Запишем это в виде уравнения:

$v_1 = \frac{7}{6} \cdot v_2$

Подставим известное значение $v_1$ и выразим $v_2$:

$4,2 = \frac{7}{6} \cdot v_2$

$v_2 = 4,2 \div \frac{7}{6} = 4,2 \cdot \frac{6}{7}$

Выполним вычисление:

$v_2 = \frac{4,2 \cdot 6}{7} = \frac{25,2}{7} = 3,6$ км/ч.

Таким образом, скорость второго пешехода равна 3,6 км/ч.

2. Найдём скорость удаления пешеходов

Так как пешеходы движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость их удаления друг от друга ($v_{уд}$) равна сумме их индивидуальных скоростей:

$v_{уд} = v_1 + v_2$

$v_{уд} = 4,2 + 3,6 = 7,8$ км/ч.

3. Найдём, через сколько часов расстояние между пешеходами будет 19,5 км

Время ($t$) можно найти, разделив требуемое расстояние ($S$) на скорость удаления ($v_{уд}$), по формуле $t = S / v_{уд}$.

Подставим известные значения:

$t = \frac{19,5}{7,8}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$t = \frac{195}{78} = 2,5$ ч.

Ответ: через 2,5 часа расстояние между пешеходами будет 19,5 км.