Страница 315 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1492. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 320 $cm^3$. Каждое измерение этого параллелепипеда уменьшили в 2 раза. Найдите объём полученного параллелепипеда.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой перемножаются три его измерения: длина, ширина и высота.

Пусть первоначальные измерения параллелепипеда равны $a, b$ и $c$. Тогда его объём $V_1$ равен:

$V_1 = a \cdot b \cdot c = 320 \text{ см}^3$.

Согласно условию задачи, каждое из измерений уменьшили в 2 раза. Обозначим новые измерения как $a'$, $b'$ и $c'$:

$a' = \frac{a}{2}$

$b' = \frac{b}{2}$

$c' = \frac{c}{2}$

Теперь найдём объём $V_2$ полученного параллелепипеда, перемножив его новые измерения:

$V_2 = a' \cdot b' \cdot c' = \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) \cdot \left(\frac{c}{2}\right)$

Сгруппируем множители:

$V_2 = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{a \cdot b \cdot c}{8}$

Мы знаем, что произведение первоначальных измерений $a \cdot b \cdot c$ равно первоначальному объёму $V_1$, то есть 320 см³.

Подставим это значение в формулу для $V_2$:

$V_2 = \frac{V_1}{8} = \frac{320}{8} = 40 \text{ см}^3$.

Ответ: $40 \text{ см}^3$.

1493. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, ширина — 5 см, высота — 9 см. На сколько увеличится объём параллелепипеда, если каждое его измерение увеличить на 1 см?

Для того чтобы определить, на сколько увеличится объём параллелепипеда, необходимо выполнить следующие действия: сначала вычислить его первоначальный объём, затем вычислить объём после увеличения его измерений и, наконец, найти разницу между полученными объёмами.

1. Найдём первоначальный объём прямоугольного параллелепипеда ($V_1$). Объём вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.
Исходные данные: $a_1 = 12$ см, $b_1 = 5$ см, $c_1 = 9$ см.
$V_1 = 12 \cdot 5 \cdot 9 = 60 \cdot 9 = 540$ см³.

2. Теперь найдём новые размеры параллелепипеда. Каждое измерение увеличивается на 1 см:
Новая длина: $a_2 = 12 + 1 = 13$ см.
Новая ширина: $b_2 = 5 + 1 = 6$ см.
Новая высота: $c_2 = 9 + 1 = 10$ см.

3. Вычислим новый объём ($V_2$) с увеличенными размерами:
$V_2 = 13 \cdot 6 \cdot 10 = 78 \cdot 10 = 780$ см³.

4. Найдём разницу между новым и первоначальным объёмами, чтобы узнать, на сколько увеличился объём:
$\Delta V = V_2 - V_1 = 780 - 540 = 240$ см³.

Ответ: объём параллелепипеда увеличится на 240 см³.

1494. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 36 см, ширина составляет $\frac{5}{9}$ его длины. Найдите объём параллелепипеда, если его ширина составляет $\frac{5}{4}$ высоты.

Для решения задачи необходимо последовательно найти все три измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту), а затем вычислить его объём.

1. Нахождение ширины параллелепипеда.

По условию, длина параллелепипеда $l = 36$ см. Ширина $w$ составляет $\frac{5}{9}$ от его длины. Чтобы найти ширину, нужно умножить длину на эту дробь:

$w = 36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36 \cdot 5}{9} = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Таким образом, ширина параллелепипеда равна 20 см.

2. Нахождение высоты параллелепипеда.

В условии также сказано, что ширина $w$ составляет $\frac{5}{4}$ высоты $h$. Мы уже нашли, что ширина равна 20 см. Запишем это в виде уравнения: $20 = h \cdot \frac{5}{4}$.

Чтобы найти высоту $h$, нужно ширину $w$ разделить на дробь $\frac{5}{4}$:

$h = 20 : \frac{5}{4} = 20 \cdot \frac{4}{5} = \frac{20 \cdot 4}{5} = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Следовательно, высота параллелепипеда равна 16 см.

3. Нахождение объёма параллелепипеда.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.

Мы имеем все необходимые данные:

Длина $l = 36$ см;

Ширина $w = 20$ см;

Высота $h = 16$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$V = 36 \cdot 20 \cdot 16 = 720 \cdot 16 = 11520$ см³.

Ответ: $11520$ см³.

1495. Прямолинейный участок шоссе проходит через сёла Вишнёвое, Яблоневое и Грушевое. Расстояние между сёлами Вишнёвое и Яблоневое равно 3,2 км, что в 1,5 раза меньше расстояния между сёлами Яблоневое и Грушевое. Найдите расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи обозначим сёла первыми буквами их названий: В — Вишнёвое, Я — Яблоневое, Г — Грушевое.

По условию, расстояние между сёлами Вишнёвое и Яблоневое (ВЯ) составляет $3,2$ км. Также указано, что это расстояние в $1,5$ раза меньше расстояния между сёлами Яблоневое и Грушевое (ЯГ). Это означает, что расстояние ЯГ в $1,5$ раза больше расстояния ВЯ.

Найдём расстояние между Яблоневым и Грушевым:

$ЯГ = ВЯ \cdot 1,5 = 3,2 \text{ км} \cdot 1,5 = 4,8 \text{ км}$.

Задача спрашивает о расстоянии между сёлами Вишнёвое и Грушевое (ВГ). Поскольку в условии не указан порядок расположения сёл на прямолинейном шоссе, необходимо рассмотреть все возможные варианты.

Найдите расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое.

Существует два возможных варианта расположения сёл:

1. Село Яблоневое находится между Вишнёвым и Грушевым.

В этом случае сёла расположены на прямой в следующем порядке: В — Я — Г (или Г — Я — В). Расстояние между крайними сёлами (Вишнёвое и Грушевое) будет равно сумме расстояний ВЯ и ЯГ.

$ВГ = ВЯ + ЯГ = 3,2 \text{ км} + 4,8 \text{ км} = 8,0 \text{ км}$.

2. Село Вишнёвое находится между Яблоневым и Грушевым.

В этом случае сёла расположены в порядке: Я — В — Г (или Г — В — Я). Расстояние между Вишнёвым и Грушевым будет равно разности расстояний ЯГ и ВЯ.

$ВГ = ЯГ - ВЯ = 4,8 \text{ км} - 3,2 \text{ км} = 1,6 \text{ км}$.

(Третий логически возможный вариант, когда село Грушевое находится между Вишнёвым и Яблоневым, невозможен, так как расстояние ВЯ (3,2 км) меньше, чем расстояние ЯГ (4,8 км), а значит, отрезок ВЯ не может содержать в себе отрезок ГЯ).

Таким образом, расстояние между сёлами Вишнёвое и Грушевое может быть либо $8,0$ км, либо $1,6$ км.

Ответ: 8,0 км или 1,6 км.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два различных возможных расстояния между сёлами Вишнёвое и Грушевое, которые соответствуют двум различным вариантам их расположения на шоссе, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

1496. В двух мешках было 82,3 кг яблок, причём в одном мешке было на 7,9 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок было в каждом мешке?

Для решения этой задачи можно составить уравнение или решить её по действиям.

Решение с помощью уравнения (алгебраический способ)

1. Пусть во втором мешке было $x$ кг яблок.Поскольку в первом мешке было на 7,9 кг больше, то в нём было $(x + 7,9)$ кг яблок.

2. Общий вес яблок в двух мешках составляет 82,3 кг. Составим уравнение:

$x + (x + 7,9) = 82,3$

3. Решим полученное уравнение:

$2x + 7,9 = 82,3$

$2x = 82,3 - 7,9$

$2x = 74,4$

$x = 74,4 \div 2$

$x = 37,2$

Таким образом, во втором мешке было 37,2 кг яблок.

4. Теперь найдём, сколько яблок было в первом мешке:

$37,2 + 7,9 = 45,1$ (кг)

Проверка: $45,1 + 37,2 = 82,3$ кг. Условие выполняется.

Ответ: в одном мешке было 45,1 кг яблок, а в другом — 37,2 кг.

Решение по действиям (арифметический способ)

1. Если бы в мешках было яблок поровну (столько же, сколько в меньшем), то общий вес был бы меньше на 7,9 кг. Узнаем этот "уравненный" вес:

$82,3 - 7,9 = 74,4$ (кг)

2. Этот вес (74,4 кг) представляет собой удвоенное количество яблок в меньшем мешке. Найдём вес яблок в меньшем мешке:

$74,4 \div 2 = 37,2$ (кг) — вес яблок во втором мешке.

3. Теперь найдём вес яблок в первом (большем) мешке:

$37,2 + 7,9 = 45,1$ (кг)

Ответ: в одном мешке было 45,1 кг яблок, а в другом — 37,2 кг.

1497.3 За 2 ч турист прошёл 9,6 км, причём в первый час он прошёл на 1,2 км меньше, чем во второй. Найдите, какое расстояние проходил турист за каждый час.

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ расстояние, которое турист прошёл во второй час.
По условию, в первый час он прошёл на 1,2 км меньше, чем во второй. Следовательно, расстояние, пройденное в первый час, равно $(x - 1,2)$ км.
Общее расстояние за два часа составляет 9,6 км. Мы можем сложить расстояние за первый и второй час, чтобы получить общее расстояние:

$(x - 1,2) + x = 9,6$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Сначала раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$2x - 1,2 = 9,6$

2. Перенесём число -1,2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 9,6 + 1,2$

$2x = 10,8$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 10,8 / 2$

$x = 5,4$

Таким образом, расстояние, которое турист прошёл во второй час, составляет 5,4 км.

4. Теперь найдём расстояние, которое турист прошёл в первый час, вычтя 1,2 км из расстояния за второй час:

$5,4 - 1,2 = 4,2$ км.

Проверим правильность решения, сложив найденные расстояния:

$4,2 \text{ км} + 5,4 \text{ км} = 9,6 \text{ км}$.

Сумма совпадает с общим расстоянием, указанным в условии задачи, значит, решение верное.

Ответ: в первый час турист прошёл 4,2 км, а во второй час — 5,4 км.

1498. За два дня путешествия велотуристы преодолели 126 км, причём во второй день они проехали в 3,5 раза больше, чем в первый. Найдите, сколько километров они проезжали каждый день.

Для решения этой задачи введём переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ км — это расстояние, которое велотуристы проехали в первый день.

По условию, во второй день они проехали в 3,5 раза больше. Следовательно, расстояние, которое они проехали во второй день, равно $3,5x$ км.

Суммарное расстояние за два дня составляет 126 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за первый и второй дни:

$x + 3,5x = 126$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим коэффициенты при $x$ в левой части:

$4,5x = 126$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4,5:

$x = 126 / 4,5$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x = 1260 / 45$

$x = 28$

Итак, в первый день велотуристы проехали 28 км.

Теперь найдём расстояние, которое они проехали во второй день, умножив расстояние за первый день на 3,5:

$3,5 * 28 = 98$ км.

Проверим, что сумма расстояний за два дня равна 126 км:

$28 + 98 = 126$ км.

Условие выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в первый день велотуристы проехали 28 км, во второй день — 98 км.

1499. За три дня продали 280 кг помидоров, причём в первый день продали в 2,8 раза меньше, чем во второй, и в 4,2 раза меньше, чем в третий. Сколько килограммов помидоров продавали каждый день?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это количество помидоров, которое продали в первый день.

Из условия известно, что в первый день продали в 2,8 раза меньше, чем во второй. Это означает, что во второй день продали в 2,8 раза больше, чем в первый. Значит, количество помидоров, проданных во второй день, равно $2.8 \cdot x$ кг.

Также в условии сказано, что в первый день продали в 4,2 раза меньше, чем в третий. Следовательно, в третий день продали в 4,2 раза больше, чем в первый. Количество помидоров, проданных в третий день, составляет $4.2 \cdot x$ кг.

Общее количество проданных за три дня помидоров — 280 кг. Можем составить уравнение, сложив продажи за каждый день:
$x + 2.8x + 4.2x = 280$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:
$(1 + 2.8 + 4.2)x = 280$
$8x = 280$
$x = \frac{280}{8}$
$x = 35$
Таким образом, в первый день продали 35 кг помидоров.

Зная продажи за первый день, найдем продажи за второй и третий дни:
Во второй день продали: $2.8 \cdot 35 = 98$ кг.
В третий день продали: $4.2 \cdot 35 = 147$ кг.

Проверим правильность решения, сложив продажи за все три дня: $35 + 98 + 147 = 280$ кг. Сумма верна.

Ответ: в первый день продали 35 кг помидоров, во второй — 98 кг, а в третий — 147 кг.

1500. Из двух городов, расстояние между которыми равно 112 км, на встречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Найдите скорость каждого из них, если они встретились через 1,6 ч после выезда и скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. По условию задачи, скорость мотоциклиста в 4 раза больше, следовательно, она составляет $4x$ км/ч.

Поскольку мотоциклист и велосипедист движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей:

$v_{сближения} = x + 4x = 5x$ км/ч.

Расстояние (S), которое они проехали вместе до встречи, равно скорости сближения, умноженной на время в пути (t): $S = v_{сближения} \cdot t$.

Нам известны расстояние $S = 112$ км и время $t = 1,6$ ч. Подставим эти значения в формулу и составим уравнение:

$112 = 5x \cdot 1,6$

$112 = 8x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{112}{8}$

$x = 14$

Таким образом, скорость велосипедиста составляет 14 км/ч.

Скорость мотоциклиста в 4 раза больше:

$4x = 4 \cdot 14 = 56$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста – 14 км/ч, скорость мотоциклиста – 56 км/ч.

1501. Собственная скорость лодки в 8 раз больше скорости течения реки.

Найдите скорость течения и собственную скорость лодки, если:

1) за 5 ч движения против течения лодка прошла 42 км;

2) за 4 ч движения по течению реки лодка прошла 50,4 км.

Пусть $v_c$ - скорость течения реки, а $v_л$ - собственная скорость лодки. По условию задачи, собственная скорость лодки в 8 раз больше скорости течения реки, что можно записать в виде уравнения: $v_л = 8 \cdot v_c$

1) за 5 ч движения против течения лодка прошла 42 км

Скорость движения лодки против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_c$. С другой стороны, скорость можно найти, разделив расстояние на время: $v_{против} = S / t = 42 \text{ км} / 5 \text{ ч} = 8,4 \text{ км/ч}$. Теперь мы можем составить систему уравнений:
$v_л - v_c = 8,4$
$v_л = 8 \cdot v_c$
Подставим второе уравнение в первое:
$8 \cdot v_c - v_c = 8,4$
$7 \cdot v_c = 8,4$
$v_c = 8,4 / 7$
$v_c = 1,2 \text{ км/ч}$
Теперь найдем собственную скорость лодки:
$v_л = 8 \cdot v_c = 8 \cdot 1,2 = 9,6 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость течения реки 1,2 км/ч, собственная скорость лодки 9,6 км/ч.

2) за 4 ч движения по течению реки лодка прошла 50,4 км

Скорость движения лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_c$. Найдем эту скорость из данных о расстоянии и времени: $v_{по} = S / t = 50,4 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 12,6 \text{ км/ч}$. Составим систему уравнений:
$v_л + v_c = 12,6$
$v_л = 8 \cdot v_c$
Подставим второе уравнение в первое:
$8 \cdot v_c + v_c = 12,6$
$9 \cdot v_c = 12,6$
$v_c = 12,6 / 9$
$v_c = 1,4 \text{ км/ч}$
Найдем собственную скорость лодки:
$v_л = 8 \cdot v_c = 8 \cdot 1,4 = 11,2 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость течения реки 1,4 км/ч, собственная скорость лодки 11,2 км/ч.

1502. Сумма длины и ширины прямоугольника равна 12 дм, причём ширина на 3,2 дм меньше длины. Вычислите площадь прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна $a$ дм, а ширина – $b$ дм.

Из условия задачи мы знаем, что сумма длины и ширины равна 12 дм. Запишем это в виде уравнения:
$a + b = 12$

Также по условию ширина на 3,2 дм меньше длины, что можно записать как:
$b = a - 3.2$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:
$a + (a - 3.2) = 12$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$2a - 3.2 = 12$
$2a = 12 + 3.2$
$2a = 15.2$
$a = 15.2 / 2$
$a = 7.6$ дм

Мы нашли длину прямоугольника. Теперь найдем ширину, подставив значение $a$ во второе уравнение:
$b = 7.6 - 3.2$
$b = 4.4$ дм

Для вычисления площади прямоугольника ($S$) используется формула произведения длины на ширину:
$S = a \cdot b$

Подставим найденные значения $a$ и $b$ в формулу площади:
$S = 7.6 \cdot 4.4 = 33.44$ дм²

Ответ: $33.44$ дм²