Страница 312 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1461. От одной станции в противоположных направлениях одновременно отправились два поезда. Через 2 ч 45 мин после начала движения расстояние между поездами было 330 км. Скорость одного поезда равна 56 км/ч. Найдите скорость второго поезда.

Для решения задачи сперва переведем время движения в часы. В одном часе 60 минут, поэтому 45 минут составляют $45/60 = 3/4 = 0.75$ часа. Таким образом, общее время движения поездов составляет:

$t = 2 \text{ ч } + 45 \text{ мин} = 2 + 0.75 = 2.75$ ч.

Поскольку поезда движутся в противоположных направлениях от одной точки, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления.

$v_{удаления} = v_1 + v_2$

где $v_1$ – скорость первого поезда, а $v_2$ – скорость второго поезда.

Общее расстояние $S$, пройденное поездами друг от друга, можно найти по формуле:

$S = v_{удаления} \cdot t = (v_1 + v_2) \cdot t$

Сначала найдем общую скорость удаления поездов, разделив расстояние на время:

$v_{удаления} = S / t = 330 \text{ км} / 2.75 \text{ ч} = 120 \text{ км/ч}$.

Теперь, зная скорость удаления и скорость первого поезда ($v_1 = 56$ км/ч), мы можем найти скорость второго поезда:

$v_2 = v_{удаления} - v_1 = 120 \text{ км/ч} - 56 \text{ км/ч} = 64 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость второго поезда равна 64 км/ч.

1462. Из двух пунктов в одном направлении одновременно вышли два пешехода. Пешеход, который двигался со скоростью 4,8 км/ч, догнал пешехода, который двигался со скоростью 4,2 км/ч, через 2,5 ч после начала движения. Найдите расстояние между пунктами, из которых вышли пешеходы.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Поскольку пешеходы движутся в одном направлении, скорость, с которой более быстрый пешеход догоняет более медленного, равна разности их скоростей.

Обозначим скорости пешеходов как $v_1$ и $v_2$, а время, через которое произошла встреча, как $t$.

Дано:

• Скорость первого пешехода $v_1 = 4,8$ км/ч.
• Скорость второго пешехода $v_2 = 4,2$ км/ч.
• Время до встречи $t = 2,5$ ч.

1. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):

$v_{сбл} = v_1 - v_2 = 4,8 \text{ км/ч} - 4,2 \text{ км/ч} = 0,6 \text{ км/ч}$

Это означает, что за каждый час расстояние между пешеходами сокращалось на 0,6 км.

2. Найдем первоначальное расстояние между пунктами ($S$). Это расстояние равно произведению скорости сближения на время, за которое быстрый пешеход догнал медленного.

$S = v_{сбл} \cdot t$

$S = 0,6 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 1,5 \text{ км}$

Таким образом, расстояние, которое разделяло пешеходов в самом начале, составляет 1,5 км.

Ответ: 1,5 км.

1463. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 189 км, одновременно в одном направлении выехали грузовик и легковой автомобиль. Грузовик ехал со скоростью 48 км/ч, и через 7 ч после начала движения его догнал легковой автомобиль. С какой скоростью ехал легковой автомобиль?

Для того чтобы найти скорость легкового автомобиля, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1. Через вычисление пройденных расстояний

1. Сначала найдем, какое расстояние проехал грузовик за 7 часов. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$S_{грузовик} = v_{грузовик} \cdot t = 48 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 336 \text{ км}.$

2. Легковой автомобиль, чтобы догнать грузовик, должен был преодолеть как первоначальное расстояние между ними (189 км), так и то расстояние, которое успел проехать грузовик за это же время. Таким образом, общее расстояние, которое проехал легковой автомобиль, равно сумме этих двух расстояний:

$S_{автомобиль} = 189 \text{ км} + 336 \text{ км} = 525 \text{ км}.$

3. Теперь, зная, что легковой автомобиль проехал 525 км за 7 часов, мы можем найти его скорость, разделив пройденное расстояние на время:

$v_{автомобиль} = \frac{S_{автомобиль}}{t} = \frac{525 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 75 \text{ км/ч}.$

Способ 2. Через скорость сближения

1. Скорость сближения показывает, на сколько километров в час сокращается расстояние между автомобилями. Чтобы найти её, нужно разделить первоначальное расстояние на время, за которое легковой автомобиль догнал грузовик:

$v_{сближения} = \frac{S_{начальное}}{t} = \frac{189 \text{ км}}{7 \text{ ч}} = 27 \text{ км/ч}.$

2. При движении в одном направлении (вдогонку) скорость сближения равна разности скоростей догоняющего (легкового автомобиля) и уезжающего (грузовика). То есть: $v_{сближения} = v_{автомобиль} - v_{грузовик}$.

3. Чтобы найти скорость легкового автомобиля, нужно к скорости грузовика прибавить скорость сближения:

$v_{автомобиль} = v_{грузовик} + v_{сближения} = 48 \text{ км/ч} + 27 \text{ км/ч} = 75 \text{ км/ч}.$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 75 км/ч.

1464. В 10 ч из пункта А выехал грузовик со скоростью 42,4 км/ч, а в 13 ч 30 мин из этого пункта в том же направлении выехал мотоциклист со скоростью 78,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними в 15 ч 30 мин? в 18 ч?

в 15 ч 30 мин?Для начала определим, сколько времени будет в пути каждое транспортное средство к 15 ч 30 мин. Время будем измерять в часах, помня, что 30 минут это 0,5 часа.
1. Время движения грузовика ($t_{груз}$):
$t_{груз} = 15 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 10 \text{ ч } = 5 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 5,5 \text{ ч}$
2. Время движения мотоциклиста ($t_{мот}$):
$t_{мот} = 15 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 13 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 \text{ ч}$
Теперь найдем расстояние, которое проедет каждый из них от пункта А за это время по формуле $S = v \cdot t$.
3. Расстояние, пройденное грузовиком ($S_{груз}$):
$S_{груз} = 42,4 \text{ км/ч} \cdot 5,5 \text{ ч} = 233,2 \text{ км}$
4. Расстояние, пройденное мотоциклистом ($S_{мот}$):
$S_{мот} = 78,5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 157 \text{ км}$
5. Так как грузовик проехал большее расстояние, он будет впереди. Расстояние между ними будет равно разности их путей:
$\Delta S = S_{груз} - S_{мот} = 233,2 \text{ км} - 157 \text{ км} = 76,2 \text{ км}$
Ответ: 76,2 км.

в 18 ч?Проведем аналогичные расчеты для 18 ч.
1. Время движения грузовика ($t_{груз}$):
$t_{груз} = 18 \text{ ч} - 10 \text{ ч } = 8 \text{ ч}$
2. Время движения мотоциклиста ($t_{мот}$):
$t_{мот} = 18 \text{ ч} - 13 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4,5 \text{ ч}$
Теперь найдем расстояние, которое проедет каждый из них.
3. Расстояние, пройденное грузовиком ($S_{груз}$):
$S_{груз} = 42,4 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 339,2 \text{ км}$
4. Расстояние, пройденное мотоциклистом ($S_{мот}$):
$S_{мот} = 78,5 \text{ км/ч} \cdot 4,5 \text{ ч} = 353,25 \text{ км}$
5. К этому моменту мотоциклист уже обгонит грузовик, так как он проехал большее расстояние. Расстояние между ними будет равно разности их путей:
$\Delta S = S_{мот} - S_{груз} = 353,25 \text{ км} - 339,2 \text{ км} = 14,05 \text{ км}$
Ответ: 14,05 км.

1465.Теплоход прошёл 237 км против течения реки за 6 ч. Какой путь он пройдёт в стоячей воде за 8 ч, если скорость течения равна 1,5 км/ч?

Для решения этой задачи необходимо выполнить три шага. Сначала найти скорость теплохода против течения, затем его собственную скорость (в стоячей воде) и, наконец, рассчитать путь, который он пройдет в стоячей воде за указанное время.

1. Находим скорость теплохода против течения реки.

Скорость ($V$) равна расстоянию ($S$), деленному на время ($t$).

Скорость теплохода против течения ($V_{против}$) вычисляется по формуле:

$V_{против} = S_{против} / t_{против}$

$V_{против} = 237 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 39,5 \text{ км/ч}$

2. Находим собственную скорость теплохода.

Скорость против течения равна разности собственной скорости теплохода ($V_{собст}$) и скорости течения ($V_{теч}$).

$V_{против} = V_{собст} - V_{теч}$

Отсюда собственная скорость теплохода равна сумме скорости против течения и скорости течения:

$V_{собст} = V_{против} + V_{теч}$

$V_{собст} = 39,5 \text{ км/ч} + 1,5 \text{ км/ч} = 41 \text{ км/ч}$

3. Находим путь, который теплоход пройдет в стоячей воде за 8 часов.

Расстояние ($S_{стояч}$) равно произведению собственной скорости на время движения ($t_{стояч}$).

$S_{стояч} = V_{собст} \times t_{стояч}$

$S_{стояч} = 41 \text{ км/ч} \times 8 \text{ ч} = 328 \text{ км}$

Ответ: 328 км.

1466. Катер прошёл по течению реки $119 \text{ км}$ за $3,5 \text{ ч}$. Какое расстояние пройдёт он против течения реки за $5 \text{ ч}$, если скорость катера в стоячей воде равна $32,8 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Найдём скорость катера по течению реки.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Обозначим скорость катера по течению реки как $V_{по\;теч.}$.

$V_{по\;теч.} = 119 \text{ км} / 3,5 \text{ ч} = 34 \text{ км/ч}$.

2. Найдём скорость течения реки.

Скорость катера по течению складывается из его собственной скорости в стоячей воде ($V_{собст.}$) и скорости течения реки ($V_{теч.}$).

$V_{по\;теч.} = V_{собст.} + V_{теч.}$

Из этой формулы мы можем выразить скорость течения:

$V_{теч.} = V_{по\;теч.} - V_{собст.}$

Подставим известные значения:

$V_{теч.} = 34 \text{ км/ч} - 32,8 \text{ км/ч} = 1,2 \text{ км/ч}$.

3. Найдём скорость катера против течения реки.

Скорость катера против течения ($V_{против\;теч.}$) равна разности его собственной скорости и скорости течения реки.

$V_{против\;теч.} = V_{собст.} - V_{теч.}$

Подставим известные значения:

$V_{против\;теч.} = 32,8 \text{ км/ч} - 1,2 \text{ км/ч} = 31,6 \text{ км/ч}$.

4. Найдём расстояние, которое катер пройдёт против течения за 5 часов.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.

$S = V_{против\;теч.} \times t$

$S = 31,6 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 158 \text{ км}$.

Ответ: 158 км.

1467.От двух пристаней навстречу друг другу одновременно отчалили два катера. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если собственная скорость каждого катера равна $24.5 \text{ км/ч}$, расстояние между пристанями — $171.5 \text{ км}$, а скорость течения — $1.6 \text{ км/ч}$? Есть ли в условии задачи лишние данные?

Для решения задачи необходимо найти скорость сближения двух катеров, а затем, зная расстояние, вычислить время до их встречи.

Обозначим известные величины:
Собственная скорость каждого катера: $v_{соб} = 24,5$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{теч} = 1,6$ км/ч.
Расстояние между пристанями: $S = 171,5$ км.

Один катер движется по течению, а другой — против. Найдем их скорости относительно берега.
Скорость катера, идущего по течению: $v_1 = v_{соб} + v_{теч}$.
Скорость катера, идущего против течения: $v_2 = v_{соб} - v_{теч}$.

Скорость сближения катеров — это сумма их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = (v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 2 \cdot v_{соб}$.

Подставим значение собственной скорости катера, чтобы найти скорость сближения:
$v_{сбл} = 2 \cdot 24,5 = 49$ км/ч.

Теперь найдем время $t$, через которое катера встретятся, разделив расстояние между ними на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{171,5}{49} = 3,5$ часа.

Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Катера встретятся через 3,5 часа.
Ответ: 3,5 часа.

Есть ли в условии задачи лишние данные?
Да, есть. При вычислении скорости сближения катеров, движущихся навстречу друг другу по реке, скорость течения для одного катера прибавляется, а для другого вычитается, поэтому в сумме она сокращается. Таким образом, значение скорости течения ($1,6$ км/ч) не требуется для нахождения ответа и является лишним данным.
Ответ: Да, скорость течения (1,6 км/ч) — лишнее данное.

1468. Рыбак переправился через реку на лодке со скоростью $20 \, \text{м/мин}$.

На какое расстояние снесёт лодку, если ширина реки $150 \, \text{м}$, а скорость течения равна $0.2 \, \text{м/с}$?

Для решения задачи необходимо рассмотреть два независимых движения: движение лодки перпендикулярно берегу (переправа через реку) и движение лодки вдоль берега под действием течения (снос). Время, затраченное на переправу, будет тем же временем, в течение которого лодку сносит течением.

1. Сначала приведем все величины к единой системе измерений (СИ). Скорость лодки дана в метрах в минуту, а скорость течения — в метрах в секунду. Переведем скорость лодки в м/с, зная, что 1 минута = 60 секунд.
Скорость лодки: $v_{л} = 20 \text{ м/мин} = \frac{20 \text{ м}}{60 \text{ с}} = \frac{1}{3} \text{ м/с}$.
Скорость течения: $v_{т} = 0,2 \text{ м/с}$.
Ширина реки: $S_{ш} = 150 \text{ м}$.

2. Найдем время $t$, за которое лодка пересечет реку. Это время зависит от ширины реки и скорости лодки, направленной перпендикулярно течению.
$t = \frac{S_{ш}}{v_{л}}$
$t = \frac{150 \text{ м}}{\frac{1}{3} \text{ м/с}} = 150 \times 3 \text{ с} = 450 \text{ с}$.

3. Теперь, зная общее время движения, можно рассчитать расстояние $S_{с}$, на которое течение снесет лодку. Это расстояние равно произведению скорости течения на время переправы.
$S_{с} = v_{т} \times t$
$S_{с} = 0,2 \text{ м/с} \times 450 \text{ с} = 90 \text{ м}$.

Ответ: 90 м.

1469. Машинист товарного поезда, который двигался со скоростью 36 км/ч, заметил, что встречный пассажирский поезд, длина которого 180 м, прошёл мимо него за 8 с. С какой скоростью двигался пассажирский поезд?

Для решения задачи сначала необходимо привести все величины к единой системе измерения. Переведем скорость товарного поезда из км/ч в м/с.

Скорость товарного поезда $v_1 = 36 \text{ км/ч}$.

Чтобы перевести км/ч в м/с, нужно умножить значение на 1000 (метры в километре) и разделить на 3600 (секунды в часе):

$v_1 = 36 \times \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 36 \times \frac{10}{36} \text{ м/с} = 10 \text{ м/с}$.

Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость, с которой пассажирский поезд проезжает мимо машиниста товарного поезда, называется скоростью сближения ($v_{сбл}$) и равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

где $v_2$ — искомая скорость пассажирского поезда.

За время $t = 8 \text{ с}$ пассажирский поезд проходит мимо машиниста расстояние, равное своей длине $L = 180 \text{ м}$. Это расстояние он преодолевает со скоростью сближения:

$L = v_{сбл} \times t$

Отсюда можно найти скорость сближения:

$v_{сбл} = \frac{L}{t} = \frac{180 \text{ м}}{8 \text{ с}} = 22.5 \text{ м/с}$

Теперь, зная скорость сближения и скорость товарного поезда, мы можем найти скорость пассажирского поезда:

$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 22.5 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с} = 12.5 \text{ м/с}$

Осталось перевести скорость пассажирского поезда обратно в км/ч. Для этого нужно умножить значение в м/с на 3.6:

$v_2 = 12.5 \times 3.6 = 45 \text{ км/ч}$

Ответ: 45 км/ч.

1470.Кот Мурзик купил на базаре 18 кг сметаны, а кот Мурчик — 28 кг. За обедом Мурзик съел 0,65 купленной сметаны, а Мурчик — $\frac{3}{7}$ своей сметаны. Кто из котов съел больше сметаны и на сколько килограммов?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Вычислим, сколько килограммов сметаны съел кот Мурзик.

Известно, что Мурзик купил 18 кг сметаны и съел 0,65 от этого количества. Чтобы найти массу съеденной сметаны, нужно умножить общее количество на десятичную дробь:

$18 \cdot 0,65 = 11,7 \text{ кг}$

Таким образом, кот Мурзик съел 11,7 кг сметаны.

2. Вычислим, сколько килограммов сметаны съел кот Мурчик.

Известно, что Мурчик купил 28 кг сметаны и съел $\frac{3}{7}$ от этого количества. Чтобы найти массу съеденной сметаны, нужно умножить общее количество на обыкновенную дробь:

$28 \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \cdot 3}{7} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ кг}$

Таким образом, кот Мурчик съел 12 кг сметаны.

3. Сравним полученные результаты и найдем разницу.

Теперь сравним количество сметаны, которое съел каждый кот:

• Мурзик съел 11,7 кг.
• Мурчик съел 12 кг.

Сравнивая эти два значения, получаем: $12 \text{ кг} > 11,7 \text{ кг}$. Следовательно, кот Мурчик съел больше сметаны.

Чтобы узнать, на сколько килограммов больше, вычтем из большего значения меньшее:

$12 - 11,7 = 0,3 \text{ кг}$

Ответ: Кот Мурчик съел больше сметаны на 0,3 кг.