Страница 314 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1481. Найдите число:

1) 0,8 которого составляет сумма чисел 19,4 и 20,64;

2) $ \frac{6}{7} $ которого составляет частное чисел 0,54 и 0,9.

1) Чтобы найти число, 0,8 которого составляет сумму чисел 19,4 и 20,64, нужно сначала вычислить эту сумму.
$19,4 + 20,64 = 40,04$
Теперь у нас есть задача: найти число, если 0,8 от него равно 40,04. Это задача на нахождение числа по его части. Чтобы найти всё число, нужно значение части разделить на дробь, соответствующую этой части.
$40,04 : 0,8 = 400,4 : 8 = 50,05$
Таким образом, искомое число равно 50,05.
Ответ: 50,05

2) Чтобы найти число, $\frac{6}{7}$ которого составляет частное чисел 0,54 и 0,9, нужно сначала найти это частное.
$0,54 : 0,9 = 5,4 : 9 = 0,6$
Теперь задача звучит так: найти число, если $\frac{6}{7}$ от него равно 0,6. Снова находим число по его части: делим значение части на соответствующую ей дробь.
$0,6 : \frac{6}{7} = \frac{6}{10} : \frac{6}{7} = \frac{6}{10} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{10} = 0,7$
Следовательно, искомое число равно 0,7.
Ответ: 0,7

1482. На рисунке 247 $∠DOE$ — прямой. Какие из изображённых углов тупые? Сколько острых углов изображено на этом рисунке?

Рис. 247

Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. По условию задачи, $\angle DOE$ — прямой, то есть $\angle DOE = 90^\circ$.

Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Из рисунка видно, что $\angle DOB$ является острым углом (меньше $90^\circ$). Обозначим его градусную меру как $\alpha$.

1. Угол $\angle AOD$ является смежным с углом $\angle DOB$, их сумма составляет $180^\circ$ (развёрнутый угол $AOB$). Следовательно, $\angle AOD = 180^\circ - \angle DOB = 180^\circ - \alpha$. Поскольку $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то величина угла $\angle AOD$ находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$, что означает, что $\angle AOD$ — тупой.

2. Угол $\angle COB$ является вертикальным к углу $\angle AOD$, поэтому их градусные меры равны: $\angle COB = \angle AOD$. Значит, $\angle COB$ также является тупым.

3. Угол $\angle EOB$ состоит из суммы двух углов: $\angle EOD$ и $\angle DOB$. $\angle EOB = \angle EOD + \angle DOB = 90^\circ + \alpha$. Так как $\alpha > 0^\circ$, то $\angle EOB > 90^\circ$. Следовательно, $\angle EOB$ — тупой.

Ответ: тупыми углами являются $\angle AOD$, $\angle COB$ и $\angle EOB$.

Острым называется угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Найдём все острые углы на рисунке.

1. $\angle DOB$ — острый, как было отмечено ранее.

2. $\angle AOC$ является вертикальным к $\angle DOB$, поэтому $\angle AOC = \angle DOB$. Следовательно, $\angle AOC$ также острый.

3. Углы $\angle EOA$ и $\angle EOB$ являются смежными (образуют развёрнутый угол $AOB$), поэтому их сумма равна $180^\circ$. Мы уже выяснили, что $\angle EOB = 90^\circ + \alpha$. Тогда: $\angle EOA = 180^\circ - \angle EOB = 180^\circ - (90^\circ + \alpha) = 90^\circ - \alpha$. Поскольку $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $0^\circ < \angle EOA < 90^\circ$. Значит, $\angle EOA$ — острый.

Таким образом, на рисунке есть три острых угла: $\angle DOB$, $\angle AOC$ и $\angle EOA$.

Ответ: на рисунке изображено 3 острых угла.

1483. Начертите тупой угол и проведите из его вершины луч так, чтобы образовался прямой угол. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан тупой угол $\angle AOB$. По определению, тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. То есть, $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$.

Задача состоит в том, чтобы из вершины $O$ данного угла провести луч, который образует с одной из его сторон ($OA$ или $OB$) прямой угол ($90^\circ$).

Рассмотрим два возможных случая:

1. Проведем из вершины $O$ луч $OC$ так, чтобы он образовывал со стороной $OA$ прямой угол. Получим $\angle AOC = 90^\circ$. Поскольку исходный угол $\angle AOB$ тупой, то есть $\angle AOB > 90^\circ$, луч $OC$ будет проходить внутри угла $\angle AOB$. Это является первым решением.

2. Проведем из вершины $O$ луч $OD$ так, чтобы он образовывал со стороной $OB$ прямой угол. Получим $\angle BOD = 90^\circ$. Аналогично первому случаю, поскольку $\angle AOB > 90^\circ$, луч $OD$ также будет проходить внутри угла $\angle AOB$. Этот луч $OD$ не совпадает с лучом $OC$. Это является вторым решением.

Таким образом, мы можем построить два разных луча, удовлетворяющих условию задачи. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: задача имеет 2 решения.

1484. Найдите градусную меру угла BAE, если $ \angle BAD = 67^\circ, \angle CAD = 34^\circ, \angle CAE = 56^\circ $ (рис. 248).

Для нахождения градусной меры угла BAE воспользуемся свойством измерения углов. Согласно рисунку, угол BAE состоит из нескольких смежных углов.

Угол $ \angle BAE $ можно представить как сумму двух углов: $ \angle BAC $ и $ \angle CAE $.
$ \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE $

Из условия нам известна градусная мера угла $ \angle CAE = 56^\circ $. Чтобы найти $ \angle BAE $, нам нужно сначала вычислить градусную меру угла $ \angle BAC $.

Из рисунка также видно, что угол $ \angle BAD $ является суммой углов $ \angle BAC $ и $ \angle CAD $.
$ \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD $
По условию $ \angle BAD = 67^\circ $ и $ \angle CAD = 34^\circ $. Подставим известные значения в это равенство:
$ 67^\circ = \angle BAC + 34^\circ $
Теперь выразим и найдем $ \angle BAC $:
$ \angle BAC = 67^\circ - 34^\circ $
$ \angle BAC = 33^\circ $

Теперь, когда мы знаем градусную меру угла $ \angle BAC $, мы можем найти искомую градусную меру угла $ \angle BAE $:
$ \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE = 33^\circ + 56^\circ = 89^\circ $

Ответ: $ 89^\circ $

1485. Угол MOK – развёрнутый, $ \angle MOA = 62^{\circ} $, луч OC – биссектриса угла AOK. Вычислите градусную меру угла COA.

По условию задачи, угол $MOK$ является развёрнутым. Градусная мера развёрнутого угла равна $180^\circ$.

Этот угол состоит из двух смежных углов, $MOA$ и $AOK$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:

$ \angle MOK = \angle MOA + \angle AOK $

Известно, что $ \angle MOK = 180^\circ $ и $ \angle MOA = 62^\circ $. Подставив эти значения в формулу, мы можем найти градусную меру угла $AOK$:

$ 180^\circ = 62^\circ + \angle AOK $

Выразим $ \angle AOK $:

$ \angle AOK = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ $

В условии также сказано, что луч $OC$ — биссектриса угла $AOK$. По определению, биссектриса делит угол пополам. Следовательно, угол $COA$ равен половине угла $AOK$:

$ \angle COA = \frac{1}{2} \angle AOK $

Теперь вычислим градусную меру угла $COA$:

$ \angle COA = \frac{1}{2} \times 118^\circ = 59^\circ $

Ответ: $59^\circ$.

1486. Запишите все треугольники и прямоугольники, изображённые на рисунке 249.

Рис. 249

$\triangle ABE$

$\triangle ADE$

$\triangle BCE$

$\triangle AME$

$\triangle BME$

ABCD

Треугольники

На рисунке можно выделить 5 треугольников. Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трёх вершин и трёх соединяющих их отрезков. Перечислим все треугольники, изображенные на рисунке: $ABE$, $ADE$, $BCE$, $AME$ и $BME$.
Ответ: $ABE$, $ADE$, $BCE$, $AME$, $BME$.

Прямоугольники

На рисунке можно выделить 3 прямоугольника. Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. К ним относятся: большой прямоугольник $ABCD$, а также два меньших прямоугольника, $AMED$ и $MBCE$. Последние два являются прямоугольниками, так как, судя по чертежу, отрезок $ME$ параллелен сторонам $AD$ и $BC$, и следовательно, перпендикулярен сторонам $AB$ и $CD$.
Ответ: $ABCD$, $AMED$, $MBCE$.

1487. Периметр треугольника равен 30 см, одна из его сторон — 7,4 см, а две другие стороны равны между собой. Найдите длины равных сторон.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим периметр как $P$, а стороны как $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи нам дано:

• Периметр $P = 30$ см.
• Одна из сторон, пусть это будет сторона $a$, равна $7,4$ см.
• Две другие стороны равны между собой, то есть $b = c$. Обозначим длину этих равных сторон через $x$.

Формула периметра треугольника: $P = a + b + c$.

Подставим известные значения и обозначения в формулу:

$30 = 7,4 + x + x$

Упростим уравнение:

$30 = 7,4 + 2x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Найдем сумму длин двух равных сторон, вычтя из периметра длину известной стороны:

$2x = 30 - 7,4$

$2x = 22,6$ см

2. Найдем длину одной из равных сторон, разделив их сумму на 2:

$x = \frac{22,6}{2}$

$x = 11,3$ см

Таким образом, длина каждой из двух равных сторон составляет 11,3 см.

Ответ: 11,3 см.

1488. Начертите прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см. Постройте квадрат, периметр которого равен периметру этого прямоугольника. Вычислите площади прямоугольника и квадрата.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти периметр прямоугольника, определить сторону квадрата и затем вычислить площади обеих фигур.

Постройте квадрат, периметр которого равен периметру этого прямоугольника.

1. Сначала вычислим периметр прямоугольника со сторонами $a = 6$ см и $b = 2$ см. Формула периметра прямоугольника:
$P_{пр} = 2 \times (a + b)$
Подставим значения:
$P_{пр} = 2 \times (6 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \times 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

2. По условию, периметр квадрата ($P_{кв}$) равен периметру прямоугольника, следовательно:
$P_{кв} = 16 \text{ см}$.

3. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4s$, где $s$ — длина его стороны. Найдем сторону квадрата:
$s = P_{кв} \div 4$
$s = 16 \text{ см} \div 4 = 4 \text{ см}$.
Таким образом, для построения нужен квадрат со стороной 4 см.

Ответ: сторона квадрата равна 4 см.

Вычислите площади прямоугольника и квадрата.

1. Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется по формуле:
$S_{пр} = a \times b$
$S_{пр} = 6 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

2. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле:
$S_{кв} = s^2$
$S_{кв} = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь прямоугольника — $12 \text{ см}^2$, площадь квадрата — $16 \text{ см}^2$.

1489. Квадрат со стороной 1 м разделили на четыре равные части и провели диагональ (рис. 250). Чему равна площадь заштрихованной фигуры?

Рис. 250

Для нахождения площади заштрихованной фигуры воспользуемся методом, основанным на геометрии и координатах. Пусть сторона квадрата равна $a=1$ м. Тогда его общая площадь составляет $S_{кв} = a^2 = 1^2 = 1 \text{ м}^2$.

Квадрат разделен на четыре равных вертикальных прямоугольника. Ширина каждого такого прямоугольника равна $w = \frac{a}{4} = \frac{1}{4}$ м.

Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол квадрата находился в точке (0,0), а правый верхний — в точке (1,1). Тогда диагональ, проведенная из левого нижнего угла в правый верхний, описывается уравнением $y=x$.

Заштрихованная фигура состоит из двух частей, расположенных под диагональю во второй и четвертой вертикальных полосах.

1. Площадь первой заштрихованной части (во второй полосе)
Эта часть представляет собой трапецию, ограниченную вертикальными линиями $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{1}{2}$, осью абсцисс ($y=0$) и диагональю ($y=x$).

• Высота трапеции: $h_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ м.
• Основания трапеции — это длины вертикальных отрезков от оси $x$ до диагонали $y=x$ при $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{1}{2}$. Соответственно, длины оснований равны $b_1 = \frac{1}{4}$ м и $b_2 = \frac{1}{2}$ м.

Площадь этой трапеции ($S_1$) вычисляется по формуле:$S_1 = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h_1 = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\frac{3}{4}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32} \text{ м}^2$.

2. Площадь второй заштрихованной части (в четвертой полосе)
Эта часть также является трапецией, ограниченной линиями $x=\frac{3}{4}$ и $x=1$, осью абсцисс и диагональю.

• Высота трапеции: $h_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ м.
• Основания трапеции равны значениям $y$ при $x=\frac{3}{4}$ и $x=1$. Соответственно, $b_3 = \frac{3}{4}$ м и $b_4 = 1$ м.

Площадь этой трапеции ($S_2$) равна:$S_2 = \frac{b_3 + b_4}{2} \cdot h_2 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\frac{7}{4}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{32} \text{ м}^2$.

3. Общая площадь заштрихованной фигуры
Итоговая площадь равна сумме площадей двух найденных трапеций:$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{3}{32} + \frac{7}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \text{ м}^2$.

Ответ: $\frac{5}{16} \text{ м}^2$.

1490. Периметр квадрата равен 11,2 см. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна площади данного квадрата, а одна из сторон прямоугольника — 9,8 см.

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько шагов.

1. Найти сторону квадрата.

Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. Зная периметр, можем найти сторону:

$a = P / 4 = 11,2 \text{ см} / 4 = 2,8 \text{ см}$

2. Найти площадь квадрата.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{квадрата} = (2,8 \text{ см})^2 = 7,84 \text{ см}^2$

3. Найти неизвестную сторону прямоугольника.

По условию, площадь прямоугольника равна площади квадрата, то есть $S_{прямоугольника} = 7,84 \text{ см}^2$.

Площадь прямоугольника также равна произведению его сторон ($S = a \cdot b$). Одна из сторон прямоугольника известна — 9,8 см. Найдем вторую сторону:

$b = S_{прямоугольника} / a = 7,84 \text{ см}^2 / 9,8 \text{ см} = 0,8 \text{ см}$

4. Найти периметр прямоугольника.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

$P_{прямоугольника} = 2 \cdot (9,8 \text{ см} + 0,8 \text{ см}) = 2 \cdot 10,6 \text{ см} = 21,2 \text{ см}$

Ответ: 21,2 см.

1491. Ребро одного куба в 3 раза больше ребра второго. Во сколько раз объём первого куба больше, чем объём второго?

Пусть ребро второго, меньшего куба, имеет длину $a$.

Согласно условию задачи, ребро первого, большего куба, в 3 раза больше. Следовательно, его длина равна $3a$.

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле, где длина ребра возводится в третью степень: $V = (\text{длина ребра})^3$.

Вычислим объём второго куба ($V_2$):
$V_2 = a^3$

Теперь вычислим объём первого куба ($V_1$):
$V_1 = (3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$

Чтобы найти, во сколько раз объём первого куба больше объёма второго, нужно разделить объём первого куба на объём второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{27a^3}{a^3}$

Сократив $a^3$, получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = 27$

Таким образом, объём первого куба в 27 раз больше, чем объём второго.

Ответ: в 27 раз.