Номер 1489, страница 314 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса математики 5 класса. Глава 5. Десятичные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1489, страница 314.

1489. Квадрат со стороной 1 м разделили на четыре равные части и провели диагональ (рис. 250). Чему равна площадь заштрихованной фигуры?

Рис. 250

Для нахождения площади заштрихованной фигуры воспользуемся методом, основанным на геометрии и координатах. Пусть сторона квадрата равна $a=1$ м. Тогда его общая площадь составляет $S_{кв} = a^2 = 1^2 = 1 \text{ м}^2$.

Квадрат разделен на четыре равных вертикальных прямоугольника. Ширина каждого такого прямоугольника равна $w = \frac{a}{4} = \frac{1}{4}$ м.

Введем систему координат так, чтобы левый нижний угол квадрата находился в точке (0,0), а правый верхний — в точке (1,1). Тогда диагональ, проведенная из левого нижнего угла в правый верхний, описывается уравнением $y=x$.

Заштрихованная фигура состоит из двух частей, расположенных под диагональю во второй и четвертой вертикальных полосах.

1. Площадь первой заштрихованной части (во второй полосе)
Эта часть представляет собой трапецию, ограниченную вертикальными линиями $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{1}{2}$, осью абсцисс ($y=0$) и диагональю ($y=x$).

• Высота трапеции: $h_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ м.
• Основания трапеции — это длины вертикальных отрезков от оси $x$ до диагонали $y=x$ при $x=\frac{1}{4}$ и $x=\frac{1}{2}$. Соответственно, длины оснований равны $b_1 = \frac{1}{4}$ м и $b_2 = \frac{1}{2}$ м.

Площадь этой трапеции ($S_1$) вычисляется по формуле:$S_1 = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h_1 = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\frac{3}{4}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32} \text{ м}^2$.

2. Площадь второй заштрихованной части (в четвертой полосе)
Эта часть также является трапецией, ограниченной линиями $x=\frac{3}{4}$ и $x=1$, осью абсцисс и диагональю.

• Высота трапеции: $h_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ м.
• Основания трапеции равны значениям $y$ при $x=\frac{3}{4}$ и $x=1$. Соответственно, $b_3 = \frac{3}{4}$ м и $b_4 = 1$ м.

Площадь этой трапеции ($S_2$) равна:$S_2 = \frac{b_3 + b_4}{2} \cdot h_2 = \frac{\frac{3}{4} + 1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\frac{7}{4}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{32} \text{ м}^2$.

3. Общая площадь заштрихованной фигуры
Итоговая площадь равна сумме площадей двух найденных трапеций:$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{3}{32} + \frac{7}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \text{ м}^2$.

Ответ: $\frac{5}{16} \text{ м}^2$.