Страница 313 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1471. Мальчик-с-пальчик в сапогах-скороходах за 3 ч преодолел 1590 км. За первый час он прошёл $\frac{15}{53}$ этого расстояния, за второй $-\frac{25}{57}$ оставшегося пути. Сколько километров он преодолел за третий час?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Вычислим расстояние, пройденное за первый час

По условию, за первый час Мальчик-с-пальчик прошел $ \frac{15}{53} $ от всего расстояния (1590 км). Найдем это расстояние:

$1590 \cdot \frac{15}{53} = \frac{1590 \cdot 15}{53} = 30 \cdot 15 = 450$ км.

2. Вычислим оставшийся путь после первого часа

Вычтем из общего расстояния путь, пройденный за первый час:

$1590 - 450 = 1140$ км.

3. Вычислим расстояние, пройденное за второй час

За второй час он прошел $ \frac{25}{57} $ от оставшегося пути. Найдем это расстояние:

$1140 \cdot \frac{25}{57} = \frac{1140 \cdot 25}{57} = 20 \cdot 25 = 500$ км.

4. Вычислим расстояние, пройденное за третий час

Чтобы найти расстояние, пройденное за третий час, нужно из общего расстояния вычесть сумму расстояний, пройденных за первый и второй часы.

$1590 - (450 + 500) = 1590 - 950 = 640$ км.

Ответ: 640 км.

1472. Было собрано 240 кг семечек подсолнечника. Сколько подсолнечного масла можно изготовить из собранных семечек, если масса зерна составляет 0,7 массы семечек подсолнечника, а масса полученного масла — 0,4 массы зерна?

Для решения задачи нужно последовательно вычислить массу зерна, а затем массу масла.

1. Вычисление массы зерна.

Известно, что было собрано 240 кг семечек подсолнечника, а масса зерна составляет 0,7 от массы семечек. Чтобы найти массу зерна, необходимо массу семечек умножить на 0,7:

$240 \cdot 0,7 = 168$ (кг) — масса зерна.

2. Вычисление массы подсолнечного масла.

Масса полученного масла составляет 0,4 от массы зерна. Мы уже знаем, что масса зерна равна 168 кг. Теперь найдем массу масла, умножив массу зерна на 0,4:

$168 \cdot 0,4 = 67,2$ (кг) — масса подсолнечного масла.

Таким образом, из 240 кг семечек подсолнечника можно изготовить 67,2 кг масла.

Ответ: 67,2 кг

1473. Периметр треугольника равен 48 см. Длина одной из сторон треугольника составляет $\frac{5}{16}$ периметра, а длина второй – 0,64 длины первой стороны. Найдите стороны треугольника.

Пусть $P$ — периметр треугольника, а $a$, $b$ и $c$ — длины его сторон.

По условию, периметр $P = 48$ см.

1. Найдем длину первой стороны $a$.
Длина первой стороны составляет $\frac{5}{16}$ периметра. $a = P \cdot \frac{5}{16} = 48 \cdot \frac{5}{16} = \frac{48 \cdot 5}{16} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

2. Найдем длину второй стороны $b$.
Длина второй стороны составляет $0,64$ длины первой стороны. $b = a \cdot 0,64 = 15 \cdot 0,64 = 9,6$ см.

3. Найдем длину третьей стороны $c$.
Периметр — это сумма длин всех сторон: $P = a + b + c$. Отсюда, чтобы найти третью сторону, нужно из периметра вычесть сумму длин двух других сторон. $c = P - a - b = 48 - 15 - 9,6 = 33 - 9,6 = 23,4$ см.

Ответ: длины сторон треугольника равны 15 см, 9,6 см и 23,4 см.

1474. Основание равнобедренного треугольника равно 6,5 см, а длина боковой стороны составляет 0,8 длины основания. Вычислите периметр треугольника.

Пусть $a$ – длина основания равнобедренного треугольника, а $b$ – длина его боковой стороны.

Согласно условию задачи:

Длина основания $a = 6,5$ см.

Длина боковой стороны составляет 0,8 длины основания, что можно записать в виде формулы: $b = 0,8 \times a$.

1. Найдем длину боковой стороны.

Для этого подставим значение длины основания в формулу:

$b = 0,8 \times 6,5 = 5,2$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны между собой. Таким образом, длины сторон треугольника равны 6,5 см, 5,2 см и 5,2 см.

2. Вычислим периметр треугольника.

Периметр треугольника ($P$) – это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника формула периметра имеет вид:

$P = a + 2b$

Подставим найденные значения в формулу:

$P = 6,5 + 2 \times 5,2$

$P = 6,5 + 10,4$

$P = 16,9$ см.

Ответ: 16,9 см.

1475. Вычислите:

1) $\frac{5}{6}$ от разности чисел 42,3 и 5,4;

2) $\frac{7}{12}$ от частного чисел 14,4 и 0,01.

1) $\frac{5}{6}$ от разности чисел 42,3 и 5,4

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. В данном случае, числом является разность чисел 42,3 и 5,4.

Первым действием найдем разность чисел 42,3 и 5,4:

$42,3 - 5,4 = 36,9$

Вторым действием найдем $\frac{5}{6}$ от полученного результата. Для этого умножим 36,9 на $\frac{5}{6}$:

$36,9 \times \frac{5}{6} = \frac{36,9}{1} \times \frac{5}{6} = \frac{36,9 \times 5}{6} = \frac{184,5}{6}$

Теперь выполним деление:

$184,5 \div 6 = 30,75$

Ответ: 30,75.

2) $\frac{7}{12}$ от частного чисел 14,4 и 0,01

Аналогично первому пункту, сначала найдем частное чисел 14,4 и 0,01, а затем умножим результат на дробь $\frac{7}{12}$.

Первым действием найдем частное от деления 14,4 на 0,01. Деление на десятичную дробь можно заменить умножением на число, обратное делителю ($1/0,01 = 100$):

$14,4 \div 0,01 = 14,4 \times 100 = 1440$

Вторым действием найдем $\frac{7}{12}$ от полученного числа:

$1440 \times \frac{7}{12} = \frac{1440 \times 7}{12}$

Сократим 1440 и 12. Так как $1440 = 120 \times 12$, получаем:

$\frac{120 \times 12 \times 7}{12} = 120 \times 7 = 840$

Ответ: 840.

1476. Средняя продолжительность жизни белого медведя — 32 года, что составляет $\frac{2}{3}$ средней продолжительности жизни носорога, $\frac{4}{5}$ льва и $\frac{4}{25}$ слона. Найдите среднюю продолжительность жизни носорога, льва и слона.

Для решения задачи будем использовать известную среднюю продолжительность жизни белого медведя, которая составляет 32 года. Эта величина является частью от продолжительности жизни других животных, указанных в условии. Чтобы найти целое (полную продолжительность жизни) по его части, нужно значение этой части разделить на соответствующую дробь.

носорога

Продолжительность жизни белого медведя (32 года) составляет $\frac{2}{3}$ от средней продолжительности жизни носорога. Найдем продолжительность жизни носорога:

$32 \div \frac{2}{3} = 32 \times \frac{3}{2} = \frac{96}{2} = 48$ лет.

Ответ: средняя продолжительность жизни носорога составляет 48 лет.

льва

Продолжительность жизни белого медведя (32 года) составляет $\frac{4}{5}$ от средней продолжительности жизни льва. Найдем продолжительность жизни льва:

$32 \div \frac{4}{5} = 32 \times \frac{5}{4} = \frac{160}{4} = 40$ лет.

Ответ: средняя продолжительность жизни льва составляет 40 лет.

слона

Продолжительность жизни белого медведя (32 года) составляет $\frac{4}{25}$ от средней продолжительности жизни слона. Найдем продолжительность жизни слона:

$32 \div \frac{4}{25} = 32 \times \frac{25}{4} = \frac{800}{4} = 200$ лет.

Ответ: средняя продолжительность жизни слона составляет 200 лет.

1477. Фермер собрал в своём саду урожай фруктов. Масса яблок составляла 0,6 массы собранных фруктов. Яблок сорта белый налив было 35 кг, что составляло $\frac{7}{18}$ массы всех яблок. Сколько килограммов фруктов собрал фермер?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия. Сначала найдем общую массу всех яблок, а затем — общую массу всех собранных фруктов.

1. Найдем общую массу всех яблок.

Известно, что 35 кг яблок сорта "белый налив" составляют $ \frac{7}{18} $ от массы всех яблок. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которую она составляет.

$ 35 \div \frac{7}{18} = 35 \cdot \frac{18}{7} = \frac{35 \cdot 18}{7} = 5 \cdot 18 = 90 $ (кг)

Таким образом, общая масса всех собранных яблок равна 90 кг.

2. Найдем общую массу всех собранных фруктов.

По условию, масса всех яблок (90 кг) составляет 0,6 массы всех собранных фруктов. Чтобы найти общую массу фруктов, нужно массу яблок разделить на их долю.

$ 90 \div 0,6 = 900 \div 6 = 150 $ (кг)

Следовательно, фермер собрал 150 кг фруктов.

Ответ: 150 кг.

1478. Когда автомобиль проехал $0.3$, а потом ещё $0.4$ всего пути, то оказалось, что он проехал на 12 км больше половины пути, который нужно было проехать. Сколько километров должен был проехать автомобиль?

Пусть $x$ км — это весь путь, который должен был проехать автомобиль. Тогда можно составить и решить уравнение, исходя из условий задачи.

1. Сначала найдем, какую часть пути автомобиль проехал всего. Для этого сложим две части пути, которые он преодолел:

$0,3 + 0,4 = 0,7$

Таким образом, автомобиль проехал 0,7 всего пути, что составляет $0,7x$ км.

2. Половина всего пути составляет $0,5$ от всего пути, то есть $0,5x$ км.

3. В задаче сказано, что пройденный путь ($0,7x$ км) на 12 км больше половины пути ($0,5x$ км). Это можно записать в виде уравнения:

$0,7x - 0,5x = 12$

4. Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$0,2x = 12$

$x = \frac{12}{0,2}$

$x = \frac{120}{2}$

$x = 60$

Таким образом, весь путь, который должен был проехать автомобиль, составляет 60 км.

Ответ: 60 км.

1479. В двух ящиках лежали яблоки. В первом ящике было 22,4 кг яблок, что составляло 0,35 всех яблок. Сколько килограммов яблок лежало во втором ящике?

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия: сначала найти общую массу яблок, а затем вычесть из нее массу яблок из первого ящика.

1. Находим общую массу яблок.

По условию, в первом ящике находится 22,4 кг яблок, что составляет 0,35 (или 35%) от всей массы яблок. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которую она составляет. Обозначим общую массу яблок как $M$.

$M = 22,4 \div 0,35$

Для удобства вычислений, избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 100:

$M = \frac{22,4 \cdot 100}{0,35 \cdot 100} = \frac{2240}{35}$

Выполним деление:

$M = 64$ кг.

Таким образом, общая масса яблок в двух ящиках равна 64 кг.

2. Находим массу яблок во втором ящике.

Теперь, зная общую массу яблок и массу яблок в первом ящике, мы можем найти массу яблок во втором ящике. Для этого нужно из общей массы вычесть массу яблок в первом ящике. Обозначим массу яблок во втором ящике как $m_2$.

$m_2 = M - 22,4$

$m_2 = 64 - 22,4 = 41,6$ кг.

Ответ: во втором ящике лежало 41,6 кг яблок.

1480. Марья-искусница испекла пирожки с маком и с вишней. Пирожки с маком составляли $\frac{5}{17}$ от общего количества. Сколько всего пирожков испекла Марья-искусница, если пирожков с вишней было на 28 больше, чем с маком?

Для решения задачи давайте введем обозначения. Пусть $x$ — это общее количество пирожков, которые испекла Марья-искусница.

1. Найдем долю пирожков с вишней.

Из условия известно, что пирожки с маком составляют $\frac{5}{17}$ от общего количества. Поскольку были только пирожки с маком и с вишней, то оставшаяся часть — это пирожки с вишней. Примем общее количество пирожков за 1 (целое). Тогда доля пирожков с вишней равна:

$1 - \frac{5}{17} = \frac{17}{17} - \frac{5}{17} = \frac{12}{17}$

Таким образом, пирожки с вишней составляют $\frac{12}{17}$ от общего количества.

2. Найдем, на какую часть пирожков с вишней больше, чем с маком.

Вычтем из доли пирожков с вишней долю пирожков с маком:

$\frac{12}{17} - \frac{5}{17} = \frac{7}{17}$

Это означает, что разница в количестве пирожков составляет $\frac{7}{17}$ от их общего числа.

3. Найдем общее количество пирожков.

По условию, разница в количестве составляет 28 пирожков. Мы выяснили, что эта разница соответствует $\frac{7}{17}$ от общего количества. Значит, мы можем составить уравнение:

$\frac{7}{17}x = 28$

Чтобы найти $x$ (целое число по его части), нужно число, соответствующее части (28), разделить на эту часть (дробь $\frac{7}{17}$):

$x = 28 \div \frac{7}{17} = 28 \times \frac{17}{7} = \frac{28 \times 17}{7}$

Сократим 28 и 7 на 7:

$x = 4 \times 17 = 68$

Итак, всего Марья-искусница испекла 68 пирожков.

Проверка:
Количество пирожков с маком: $68 \times \frac{5}{17} = 4 \times 5 = 20$.
Количество пирожков с вишней: $68 \times \frac{12}{17} = 4 \times 12 = 48$.
Разница: $48 - 20 = 28$. Условие выполняется.

Ответ: 68 пирожков.