Страница 290 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как умножить две десятичные дроби?

Чтобы умножить две десятичные дроби, необходимо следовать простому алгоритму:

Шаг 1. Отбросить запятые у обеих дробей и умножить получившиеся целые числа друг на друга, как обычно.

Шаг 2. Посчитать общее количество цифр, стоящих после запятой в исходных дробях (в обоих множителях вместе).

Шаг 3. В результате, полученном в шаге 1, отделить запятой справа столько же цифр, сколько было посчитано в шаге 2. Если в произведении оказалось меньше цифр, чем нужно отделить, то слева от числа нужно дописать недостающее количество нулей.

Пример 1:

Умножим $2.5$ на $1.2$.

1. Умножаем числа без запятых: $25 \times 12 = 300$.

2. В дроби $2.5$ одна цифра после запятой, в дроби $1.2$ тоже одна. Всего $1 + 1 = 2$ цифры после запятой.

3. В результате $300$ отделяем справа две цифры: $3.00$. Нули в конце дробной части можно отбросить, получаем $3$.

Значит, $2.5 \times 1.2 = 3$.

Пример 2:

Умножим $0.14$ на $0.3$.

1. Умножаем числа без запятых: $14 \times 3 = 42$.

2. В дроби $0.14$ две цифры после запятой, в дроби $0.3$ — одна. Всего $2 + 1 = 3$ цифры после запятой.

3. В результате $42$ нужно отделить три цифры. Так как у нас только две цифры, дописываем слева один ноль, чтобы получилось три знака после запятой: $0.042$.

Значит, $0.14 \times 0.3 = 0.042$.

Ответ: Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно сначала умножить их как целые числа, игнорируя запятые. Затем в полученном произведении следует отделить запятой столько цифр справа, сколько их было в сумме после запятой в обоих исходных множителях.

2. Как умножить десятичную дробь на 10? на 100? на 1000?

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, нужно перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Как умножить десятичную дробь на 10?

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую в этой дроби на один знак вправо. В числе 10 один ноль, поэтому запятая сдвигается на одну позицию.

Пример 1:

$3,45 \cdot 10 = 34,5$

Пример 2:

$0,123 \cdot 10 = 1,23$

Если в дробной части не хватает знаков для переноса запятой, то к числу справа дописывают нули.

Пример 3:

$12,5 \cdot 10 = 125$ (здесь $12,5$ можно представить как $12,50$, и при переносе запятой получается $125,0$ или просто $125$)

Пример 4:

$7 \cdot 10 = 70$ (целое число $7$ можно представить как $7,0$, переносим запятую и получаем $70,0$ или $70$)

Ответ: для умножения десятичной дроби на 10 необходимо перенести запятую на один знак вправо.

Как умножить десятичную дробь на 100?

Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на два знака вправо. В числе 100 два ноля, поэтому запятая сдвигается на две позиции.

Пример 1:

$6,789 \cdot 100 = 678,9$

Если в дробной части не хватает знаков для переноса, к числу справа дописывают необходимое количество нулей.

Пример 2:

$14,2 \cdot 100 = 1420$ (здесь $14,2$ можно представить как $14,20$. Переносим запятую на два знака вправо и получаем $1420,0$ или $1420$)

Пример 3:

$0,5 \cdot 100 = 50$

Ответ: для умножения десятичной дроби на 100 необходимо перенести запятую на два знака вправо.

Как умножить десятичную дробь на 1000?

Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, нужно перенести запятую в этой дроби на три знака вправо. В числе 1000 три ноля, поэтому запятая сдвигается на три позиции.

Пример 1:

$8,1234 \cdot 1000 = 8123,4$

Если знаков в дробной части не хватает, то, как и в предыдущих случаях, справа дописывают нули.

Пример 2:

$2,45 \cdot 1000 = 2450$ (представляем $2,45$ как $2,450$. Переносим запятую на три знака и получаем $2450,0$ или $2450$)

Пример 3:

$9,1 \cdot 1000 = 9100$ (представляем $9,1$ как $9,100$. Переносим запятую на три знака и получаем $9100,0$ или $9100$)

Ответ: для умножения десятичной дроби на 1000 необходимо перенести запятую на три знака вправо.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько цифр стоит после запятой во втором множителе. Если цифр для переноса не хватает, слева от числа дописываются нули. Умножение на эти числа равносильно делению на 10, 100, 1000 соответственно.

В числе 0,1 одна цифра после запятой. Поэтому, чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, нужно в этой дроби перенести запятую на 1 знак влево.

Пример 1: Умножим 45,7 на 0,1.

$45,7 \cdot 0,1 = 4,57$

Пример 2: Умножим 0,92 на 0,1.

$0,92 \cdot 0,1 = 0,092$

Ответ: нужно перенести запятую в исходной дроби на один знак влево.

В числе 0,01 две цифры после запятой. Поэтому, чтобы умножить десятичную дробь на 0,01, нужно в этой дроби перенести запятую на 2 знака влево.

Пример 1: Умножим 382,6 на 0,01.

$382,6 \cdot 0,01 = 3,826$

Пример 2: Умножим 5,1 на 0,01.

$5,1 \cdot 0,01 = 0,051$ (поскольку для переноса запятой на 2 знака не хватает цифр, слева дописываем ноль).

Ответ: нужно перенести запятую в исходной дроби на два знака влево.

В числе 0,001 три цифры после запятой. Поэтому, чтобы умножить десятичную дробь на 0,001, нужно в этой дроби перенести запятую на 3 знака влево.

Пример 1: Умножим целое число 7458 на 0,001. Запятая в целых числах находится справа от последней цифры.

$7458 \cdot 0,001 = 7458,0 \cdot 0,001 = 7,458$

Пример 2: Умножим 12,4 на 0,001.

$12,4 \cdot 0,001 = 0,0124$ (здесь для переноса запятой на 3 знака также пришлось дописать один ноль слева).

Ответ: нужно перенести запятую в исходной дроби на три знака влево.

1. Какое число:

1) на 1,14 меньше, чем 2,5;

2) на 5,7 больше, чем 6,13;

3) в 3 раза больше, чем 24;

4) в 6 раз меньше, чем 654?

1) Чтобы найти число, которое на 1,14 меньше, чем 2,5, необходимо выполнить вычитание:

$2,5 - 1,14 = 1,36$

Для удобства вычисления можно записать 2,5 как 2,50:

 2,50- 1,14------ 1,36 

Ответ: 1,36

2) Чтобы найти число, которое на 5,7 больше, чем 6,13, необходимо выполнить сложение:

$6,13 + 5,7 = 11,83$

Для удобства вычисления можно записать 5,7 как 5,70:

 6,13+ 5,70------ 11,83 

Ответ: 11,83

3) Чтобы найти число, которое в 3 раза больше, чем 24, необходимо выполнить умножение:

$24 \times 3 = 72$

Ответ: 72

4) Чтобы найти число, которое в 6 раз меньше, чем 654, необходимо выполнить деление:

$654 \div 6 = 109$

Ответ: 109

2. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{3}a \cdot \frac{9}{25}b;$

2) $\frac{2}{7}a \cdot \frac{14}{27}b \cdot \frac{9}{8}c;$

3) $6x - 4x + 8x;$

4) $7c + 9c - c.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}a \cdot \frac{9}{25}b$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно.

$\frac{1}{3}a \cdot \frac{9}{25}b = (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{25}) \cdot (a \cdot b)$

Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{25} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 25}$

Сократим дробь, разделив числитель (9) и знаменатель (3) на их общий делитель 3:

$\frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 25} = \frac{3}{25}$

Теперь добавим к полученному коэффициенту буквенную часть $ab$.

Ответ: $\frac{3}{25}ab$.

2) Упростим выражение $\frac{2}{7}a \cdot \frac{14}{27}b \cdot \frac{9}{8}c$. Сначала перемножим числовые коэффициенты:

$\frac{2}{7} \cdot \frac{14}{27} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \cdot 14 \cdot 9}{7 \cdot 27 \cdot 8}$

Теперь сократим полученную дробь. Сократим 14 и 7 на 7; 9 и 27 на 9; 2 и 8 на 2.

$\frac{2 \cdot 14 \cdot 9}{7 \cdot 27 \cdot 8} = \frac{2 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 9}{7 \cdot (3 \cdot 9) \cdot 8} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 9}{3 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{4}{3 \cdot 8} = \frac{4}{24}$

Сократим полученную дробь $\frac{4}{24}$ на 4:

$\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

Теперь умножим полученный коэффициент на буквенную часть $abc$:

Ответ: $\frac{1}{6}abc$.

3) В выражении $6x - 4x + 8x$ все слагаемые являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть ($x$). Для упрощения выражения нужно выполнить действия с их коэффициентами.

$6x - 4x + 8x = (6 - 4 + 8)x$

Вычислим значение в скобках:

$6 - 4 = 2$

$2 + 8 = 10$

Следовательно, упрощенное выражение равно $10x$.

Ответ: $10x$.

4) В выражении $7c + 9c - c$ все слагаемые являются подобными (общая буквенная часть - $c$). Коэффициент у слагаемого $-c$ равен $-1$.

Чтобы упростить выражение, сложим коэффициенты подобных слагаемых:

$7c + 9c - 1c = (7 + 9 - 1)c$

Вычислим значение в скобках:

$7 + 9 = 16$

$16 - 1 = 15$

В результате получаем $15c$.

Ответ: $15c$.

3. Старые часы отстают каждый час на 20 с. На сколько минут отстанут часы через 24 ч после того, как время на них будет выставлено точно?

Для того чтобы найти общее отставание часов, сначала необходимо вычислить, на сколько секунд они отстанут за 24 часа. Поскольку каждый час часы отстают на 20 секунд, за 24 часа общее отставание составит:
$20 \text{ с} \times 24 = 480 \text{ с}$

Теперь нужно перевести полученное значение из секунд в минуты. В одной минуте содержится 60 секунд. Чтобы найти количество минут, разделим общее число секунд отставания на 60:
$480 \text{ с} \div 60 \text{ с/мин} = 8 \text{ мин}$

Таким образом, через 24 часа часы отстанут на 8 минут.
Ответ: 8