Страница 283 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило сложения десятичных дробей.

1. Правило сложения десятичных дробей заключается в следующем:

1. Уравнять количество знаков после запятой. Если у слагаемых разное количество цифр в дробной части, нужно добавить в конец дробей с меньшим количеством знаков после запятой необходимое число нулей.
2. Записать слагаемые в столбик. Числа записываются одно под другим так, чтобы запятая находилась строго под запятой. Это обеспечит правильное выравнивание разрядов: единицы под единицами, десятые под десятыми, сотые под сотыми и так далее.
3. Выполнить сложение. Сложить числа поразрядно, как обычные натуральные числа, не обращая внимания на запятые.
4. Поставить запятую в ответе. В полученной сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых.

Пример: Сложим $15,8$ и $3,47$.
1. Уравниваем количество знаков после запятой, представляя $15,8$ как $15,80$.
2. Записываем в столбик и складываем:
15,80+ 3,47-------- 19,27
Сначала складываем сотые доли: $0 + 7 = 7$. Затем десятые: $8 + 4 = 12$ (пишем $2$, $1$ в уме). Далее целые части: $5 + 3 + 1 = 9$, и сносим $1$. Запятую в результате ставим под запятыми слагаемых.
Таким образом, $15,8 + 3,47 = 19,27$.

Ответ: Чтобы сложить десятичные дроби, нужно уравнять в них количество знаков после запятой, записать их друг под другом так, чтобы запятая была под запятой, выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и в полученной сумме поставить запятую под запятыми в слагаемых.

2. Сформулируйте правило вычитания десятичных дробей.

Чтобы найти разность двух десятичных дробей, необходимо придерживаться следующего правила, состоящего из нескольких шагов:

1. Уравнять количество знаков (цифр) после запятой в уменьшаемом и вычитаемом. Если у одной из дробей знаков после запятой меньше, нужно справа от нее дописать недостающее количество нулей.
2. Записать вычитаемое под уменьшаемым в столбик, так, чтобы запятая оказалась строго под запятой. При этом соответствующие разряды чисел также окажутся друг под другом.
3. Выполнить вычитание так же, как вычитают натуральные числа, не обращая внимания на запятые.
4. В полученной разности поставить запятую на том же месте — под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере. Вычтем из числа $31.5$ число $4.821$.

1. Сначала уравняем количество знаков после запятой. В дроби $31.5$ один знак после запятой, а в дроби $4.821$ — три знака. Следовательно, к дроби $31.5$ нужно дописать справа два нуля, чтобы в обеих дробях стало по три знака после запятой: $31.500$.

2. Теперь запишем вычитание в столбик, располагая числа друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой: $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & \dot{3} & \dot{1} & , & \dot{5} & \dot{0} & 0 \\ - \\ & & 4 & , & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$

3. Выполним вычитание по разрядам, как с натуральными числами, начиная справа. $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & \dot{3} & \dot{1} & , & \dot{5} & \dot{0} & 0 \\ - \\ & & 4 & , & 8 & 2 & 1 \\ \hline & 2 & 6 & , & 6 & 7 & 9 \\ \end{array} $$

4. В результате мы получили разность, в которой запятая стоит под запятыми исходных чисел.

Таким образом, $31.5 - 4.821 = 26.679$.

Ответ: Правило вычитания десятичных дробей: 1) уравнять количество знаков после запятой в обеих дробях; 2) записать их в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) выполнить вычитание, как с натуральными числами; 4) в полученном результате поставить запятую под запятыми исходных дробей.

1. Какая из следующих десятичных дробей равна дроби $ \frac{79}{100\,000} $:

1) 0,79000;

2) 0,0079;

3) 0,00079;

4) 0,7900?

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь $\frac{79}{100000}$ в десятичную, необходимо обратить внимание на знаменатель. Знаменатель 100 000 имеет 5 нулей. Это означает, что в десятичной записи после запятой должно быть 5 цифр.

Числитель дроби — 79. Для записи этого числа в виде десятичной дроби с 5 знаками после запятой, нам нужно разместить число 79 так, чтобы последняя цифра (9) стояла на пятом месте после запятой. Для этого перед числом 79 необходимо дописать недостающие нули.

Поскольку число 79 состоит из двух цифр, нам нужно добавить $5 - 2 = 3$ нуля перед ним. Таким образом, мы получаем 0,00079.

Итак, $\frac{79}{100000} = 0,00079$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

1) 0,79000. Незначащие нули в конце десятичной дроби можно отбросить, поэтому $0,79000 = 0,79$. Это соответствует обыкновенной дроби $\frac{79}{100}$. Данный вариант не является правильным.

2) 0,0079. В этой дроби 4 знака после запятой, что соответствует обыкновенной дроби $\frac{79}{10000}$. Данный вариант не является правильным.

3) 0,00079. В этой дроби 5 знаков после запятой, что соответствует обыкновенной дроби $\frac{79}{100000}$. Данный вариант является правильным.

4) 0,7900? Если предположить, что имелось в виду число 0,7900, то оно, как и в первом варианте, равно 0,79 или $\frac{79}{100}$. Данный вариант не является правильным.

Следовательно, единственно верный ответ — 3).

Ответ: 3) 0,00079

2. Какая из следующих десятичных дробей наибольшая:

1) $43.56$; 2) $43.561$; 3) $43.559$; 4) $43.55$?

Чтобы определить, какая из предложенных десятичных дробей является наибольшей, необходимо провести их поразрядное сравнение, двигаясь слева направо (от старших разрядов к младшим).

Даны четыре десятичные дроби:

• 43,56
• 43,561
• 43,559
• 43,557

1. Сравнение целых частей

Целая часть у всех четырех чисел одинакова и равна 43. Следовательно, для определения наибольшего числа нам нужно сравнить их дробные части.

2. Сравнение дробных частей

Для удобства сравнения приведем все дроби к одинаковому количеству знаков после запятой. Наибольшее количество знаков после запятой у числа 43,561 — три. Поэтому представим все числа с тремя знаками после запятой, добавив в конце недостающие нули:

• 43,56 = 43,560
• 43,561
• 43,559
• 43,557

3. Поразрядное сравнение

Начнем сравнивать цифры в дробной части поочередно.

Разряд десятых (первая цифра после запятой):

У всех четырех чисел в разряде десятых стоит цифра 5. Так как они равны, переходим к следующему разряду.

Разряд сотых (вторая цифра после запятой):

У чисел 43,560 и 43,561 в этом разряде стоит цифра 6.
У чисел 43,559 и 43,557 в этом разряде стоит цифра 5.
Поскольку $6 > 5$, то числа 43,560 и 43,561 больше, чем 43,559 и 43,557. Теперь нам остается сравнить только первые два числа.

Разряд тысячных (третья цифра после запятой):

Сравним числа 43,560 и 43,561.
У числа 43,560 в разряде тысячных стоит цифра 0.
У числа 43,561 в разряде тысячных стоит цифра 1.
Поскольку $1 > 0$, то число 43,561 больше, чем 43,560.

Таким образом, мы установили, что 43,561 является наибольшим числом из всех предложенных.

Ответ: 43,561

3. Какое из следующих чисел получим, если округлим десятичную дробь $6,27$ до десятых:

1) $6,2$;

2) $6,3$;

3) $6,26$;

4) $6,28$?

Решение

Задача состоит в том, чтобы округлить десятичную дробь $6,27$ до разряда десятых.

Для этого необходимо следовать правилу округления чисел:

1. Находим цифру в разряде, до которого нужно округлить. В числе $6,27$ это разряд десятых, в котором стоит цифра 2.
2. Смотрим на цифру, следующую за этим разрядом (справа). В данном случае это цифра 7 в разряде сотых.
3. Если цифра справа от округляемого разряда равна 5 или больше ($5, 6, 7, 8, 9$), то цифру в округляемом разряде нужно увеличить на единицу. Если цифра справа меньше 5 ($0, 1, 2, 3, 4$), то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений.
4. Все цифры, стоящие правее округляемого разряда, отбрасываются.

Применим это правило к числу $6,27$:

Цифра в разряде сотых — это 7.

Так как $7 \geq 5$, мы должны увеличить цифру в разряде десятых (цифру 2) на 1.

$2 + 1 = 3$.

Таким образом, после округления числа $6,27$ до десятых мы получаем $6,3$.

Среди предложенных вариантов 1) 6,2; 2) 6,3; 3) 6,26; 4) 6,28, правильным является вариант 2).

Ответ: 6,3

4. На двух полках вместе на 20 книг больше, чем на каждой из них.

Сколько книг на каждой полке?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество книг на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке. Тогда общее количество книг на двух полках равно $x + y$.

Согласно условию, общее количество книг на 20 больше, чем на каждой из полок. Это можно выразить двумя уравнениями.

1. Общее количество на 20 больше, чем на первой полке:

$x + y = x + 20$

Если вычесть $x$ из обеих частей уравнения, мы найдем количество книг на второй полке:

$y = 20$

2. Общее количество на 20 больше, чем на второй полке:

$x + y = y + 20$

Если вычесть $y$ из обеих частей этого уравнения, мы найдем количество книг на первой полке:

$x = 20$

Таким образом, на первой полке находится 20 книг, и на второй полке также находится 20 книг.

Ответ: на каждой полке по 20 книг.

5. Сравните:

1) 2 м и 200 см;

2) 2 ч и 200 мин;

3) 20 см и 0,2 м;

4) 20 мин и 0,2 ч.

1) 2 м и 200 см

Чтобы сравнить две величины, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры. В одном метре содержится 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, 2 метра равны:

$2 \text{ м} = 2 \times 100 \text{ см} = 200 \text{ см}$

Теперь сравним полученное значение с 200 см:

$200 \text{ см} = 200 \text{ см}$

Таким образом, данные величины равны.

Ответ: $2 \text{ м} = 200 \text{ см}$.

2) 2 ч и 200 мин

Приведем величины к одной единице измерения, переведя часы в минуты. В одном часе 60 минут:

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

Следовательно, 2 часа равны:

$2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$

Теперь сравним 120 минут и 200 минут:

$120 \text{ мин} < 200 \text{ мин}$

Таким образом, 2 часа меньше, чем 200 минут.

Ответ: $2 \text{ ч} < 200 \text{ мин}$.

3) 20 см и 0,2 м

Для сравнения переведем метры в сантиметры. Мы знаем, что:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Тогда 0,2 метра будут равны:

$0,2 \text{ м} = 0,2 \times 100 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Сравним полученное значение с 20 см:

$20 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Таким образом, данные величины равны.

Ответ: $20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$.

4) 20 мин и 0,2 ч

Приведем часы к минутам для сравнения. В одном часе 60 минут:

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

Переведем 0,2 часа в минуты:

$0,2 \text{ ч} = 0,2 \times 60 \text{ мин} = 12 \text{ мин}$

Теперь сравним 20 минут и 12 минут:

$20 \text{ мин} > 12 \text{ мин}$

Таким образом, 20 минут больше, чем 0,2 часа.

Ответ: $20 \text{ мин} > 0,2 \text{ ч}$.

1275. Выполните сложение:

1) $3 + 0,2;$

2) $0,4 + 0,5;$

3) $0,2 + 0,02;$

4) $0,64 + 1;$

5) $0,43 + 0,16;$

6) $0,37 + 0,6.$

1) Чтобы сложить целое число и десятичную дробь, нужно представить целое число в виде десятичной дроби с тем же количеством знаков после запятой, что и у второго слагаемого. Затем выполнить сложение столбиком, записывая запятую под запятой.

$3 + 0,2 = 3,0 + 0,2$

Складываем целые части: $3 + 0 = 3$.
Складываем десятые части: $0 + 2 = 2$.
Результат: $3,2$.

Ответ: 3,2.

2) Для сложения двух десятичных дробей записываем их друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой. Складываем их как натуральные числа, а в результате ставим запятую на том же месте.

$0,4 + 0,5$

Складываем десятые части: $4 + 5 = 9$.
Складываем целые части: $0 + 0 = 0$.
Результат: $0,9$.

Ответ: 0,9.

3) При сложении десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой, сначала нужно уравнять количество знаков, добавив нули справа к дроби с меньшим количеством знаков.

$0,2 + 0,02 = 0,20 + 0,02$

Складываем сотые части: $0 + 2 = 2$.
Складываем десятые части: $2 + 0 = 2$.
Складываем целые части: $0 + 0 = 0$.
Результат: $0,22$.

Ответ: 0,22.

4) Складываем десятичную дробь и целое число. Представляем целое число 1 как десятичную дробь 1,00, чтобы уравнять количество знаков после запятой.

$0,64 + 1 = 0,64 + 1,00$

Складываем целые части: $0 + 1 = 1$.
Дробная часть $0,64$ остается, так как у второго слагаемого она равна нулю.
Результат: $1,64$.

Ответ: 1,64.

5) Складываем две десятичные дроби с одинаковым количеством знаков после запятой.

$0,43 + 0,16$

Складываем сотые части: $3 + 6 = 9$.
Складываем десятые части: $4 + 1 = 5$.
Складываем целые части: $0 + 0 = 0$.
Результат: $0,59$.

Ответ: 0,59.

6) Складываем десятичные дроби с разным количеством знаков после запятой. Уравниваем количество знаков, представляя $0,6$ как $0,60$.

$0,37 + 0,6 = 0,37 + 0,60$

Складываем сотые части: $7 + 0 = 7$.
Складываем десятые части: $3 + 6 = 9$.
Складываем целые части: $0 + 0 = 0$.
Результат: $0,97$.

Ответ: 0,97.