Страница 279 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило округления десятичных дробей.

1. Правило округления десятичной дроби можно сформулировать в виде последовательности шагов:

1. Найдите цифру в том разряде, до которого необходимо округлить число. Эта цифра называется округляемой.

2. Посмотрите на цифру, стоящую справа от округляемой.

3. Если справа от округляемой цифры стоит цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то округляемую цифру оставляют без изменений, а все цифры, стоящие правее, отбрасывают.

4. Если справа от округляемой цифры стоит цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то округляемую цифру увеличивают на единицу, а все цифры, стоящие правее, отбрасывают.

Пример 1: Округлить число $15,748$ до десятых.

Разряд десятых — это цифра $7$. Справа от неё стоит цифра $4$. Так как $4 < 5$, цифру $7$ оставляем без изменений, а все последующие цифры ($4$ и $8$) отбрасываем. Получаем $15,7$.

Пример 2: Округлить число $3,186$ до сотых.

Разряд сотых — это цифра $8$. Справа от неё стоит цифра $6$. Так как $6 \ge 5$, цифру $8$ увеличиваем на единицу ($8 + 1 = 9$), а последующую цифру ($6$) отбрасываем. Получаем $3,19$.

Ответ: Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда, нужно отбросить все цифры, следующие за этим разрядом. Если первая из отброшенных цифр — $0, 1, 2, 3$ или $4$, то последнюю из оставшихся цифр не изменяют. Если же первая из отброшенных цифр — $5, 6, 7, 8$ или $9$, то последнюю из оставшихся цифр увеличивают на единицу.

2. Сформулируйте правило округления натуральных чисел.

Округление натурального числа — это замена его на близкое по значению число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. При округлении натуральных чисел пользуются следующим правилом (алгоритмом):

1. Находят и подчёркивают цифру того разряда, до которого нужно округлить число.
2. Смотрят на цифру, которая стоит справа от подчёркнутой.
3. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры справа от неё заменяют нулями, а подчёркнутую цифру оставляют без изменений.
4. Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры справа от неё заменяют нулями, а подчёркнутую цифру увеличивают на единицу.

Примеры:

• Округлить число 54 831 до тысяч.
  Находим цифру в разряде тысяч: это 4. Справа от неё стоит цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру 4 увеличиваем на единицу ($4+1=5$), а все цифры, стоящие правее (8, 3, 1), заменяем нулями.
  Результат: $54\ 831 \approx 55\ 000$.
• Округлить число 1 294 572 до десятков тысяч.
  Находим цифру в разряде десятков тысяч: это 9. Справа от неё стоит цифра 4. Так как $4 < 5$, то цифру 9 оставляем без изменений, а все цифры правее (4, 5, 7, 2) заменяем нулями.
  Результат: $1\ 294\ 572 \approx 1\ 290\ 000$.
• Округлить число 798 до десятков.
  Находим цифру в разряде десятков: это 9. Справа от неё стоит цифра 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру 9 нужно увеличить на единицу. Получается 10. В разряд десятков пишем 0, а единицу "переносим" в старший разряд (сотен). К цифре 7 в разряде сотен прибавляем эту единицу ($7+1=8$). Цифру единиц заменяем нулём.
  Результат: $798 \approx 800$.

Ответ:

Правило округления натуральных чисел:
1. Найти цифру разряда, до которого требуется округлить число.
2. Посмотреть на цифру, следующую за этим разрядом (справа).
3. Если следующая цифра — 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру округляемого разряда оставляют без изменений, а все последующие цифры заменяют нулями.
4. Если следующая цифра — 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру округляемого разряда увеличивают на единицу, а все последующие цифры заменяют нулями.

1. Сравните числа:

1) $7,6$ и $7,4$;

2) $9,1$ и $9,11$;

3) $5,18$ и $5,1799$;

4) $0,06$ и $0,2$;

5) $8,4$ и $8,04$;

6) $0,1$ и $0,0987$.

1) Для сравнения чисел 7,6 и 7,4 сначала сравниваем их целые части. Целые части обоих чисел равны 7. Далее сравниваем дробные части, начиная с разряда десятых. У числа 7,6 в разряде десятых стоит цифра 6, а у числа 7,4 — цифра 4. Так как $6 > 4$, то и число 7,6 больше числа 7,4.
Ответ: $7,6 > 7,4$.

2) Сравниваем числа 9,1 и 9,11. Целые части (9) у них одинаковые. Чтобы сравнить дробные части, уравняем количество знаков после запятой, дописав к числу 9,1 справа ноль: $9,1 = 9,10$. Теперь сравниваем 9,10 и 9,11. Разряды десятых у них равны (1). Сравниваем разряды сотых: у первого числа 0, у второго 1. Так как $0 < 1$, то $9,10 < 9,11$, а значит, $9,1 < 9,11$.
Ответ: $9,1 < 9,11$.

3) Сравниваем числа 5,18 и 5,1799. Целые части (5) равны. Начинаем поразрядное сравнение дробных частей. Разряды десятых равны (1). Сравниваем разряды сотых: у числа 5,18 это 8, а у числа 5,1799 это 7. Так как $8 > 7$, то дальнейшее сравнение не требуется. Делаем вывод, что $5,18 > 5,1799$.
Ответ: $5,18 > 5,1799$.

4) Сравниваем 0,06 и 0,2. Целые части (0) равны. Сравниваем десятые доли: у числа 0,06 это 0, а у числа 0,2 это 2. Так как $0 < 2$, то $0,06 < 0,2$.
Ответ: $0,06 < 0,2$.

5) Сравниваем 8,4 и 8,04. Целые части (8) равны. Сравниваем десятые доли: у числа 8,4 это 4, а у числа 8,04 это 0. Так как $4 > 0$, то $8,4 > 8,04$.
Ответ: $8,4 > 8,04$.

6) Сравниваем 0,1 и 0,0987. Целые части (0) равны. Сравниваем десятые доли: у числа 0,1 это 1, а у числа 0,0987 это 0. Так как $1 > 0$, то $0,1 > 0,0987$.
Ответ: $0,1 > 0,0987$.

2. Назовите наибольшую десятичную дробь, меньшую 100, содержащую две цифры после запятой.

Чтобы найти наибольшую десятичную дробь, которая меньше 100 и имеет две цифры после запятой, нужно выполнить следующие шаги:

1. Мы ищем число, которое максимально приближено к 100, но строго меньше его. Это значит, что целая часть этого числа должна быть наибольшей возможной. Наибольшее целое число, которое меньше 100, — это 99. Таким образом, целая часть искомой дроби равна 99.

2. Теперь нужно определить дробную часть. По условию, она должна содержать ровно две цифры. Чтобы все число было наибольшим, цифры в дробной части также должны быть наибольшими из возможных.

3. Самая большая цифра — это 9. Поэтому и в разряде десятых (первая цифра после запятой), и в разряде сотых (вторая цифра после запятой) должна стоять цифра 9.

4. Соединяя целую и дробную части, получаем число $99,99$.

Проверим, удовлетворяет ли это число всем условиям. Число $99,99$ является десятичной дробью с двумя цифрами после запятой. Оно меньше 100 ($99,99 < 100$). Если мы попытаемся взять следующее по величине число с двумя знаками после запятой, мы получим $99,99 + 0,01 = 100,00$, что уже не удовлетворяет условию "меньше 100". Следовательно, $99,99$ — это искомое число.

Ответ: $99,99$

3. Назовите наименьшую десятичную дробь, большую 1000, содержащую три цифры после запятой.

Чтобы найти наименьшую десятичную дробь, которая больше 1000 и имеет три цифры после запятой, нужно рассмотреть число, минимально превышающее 1000.

Пусть искомая дробь равна $x$. По условию, $x > 1000$. Также $x$ должна иметь три знака после запятой.

Целая часть искомого числа не может быть меньше 1000. Если бы она была, например, 999, то даже с максимальной дробной частью (0,999) число было бы $999,999$, что меньше 1000. Значит, целая часть должна быть не меньше 1000. Чтобы число было наименьшим, выберем наименьшую возможную целую часть, то есть 1000.

Теперь нам нужно добавить к 1000 наименьшую возможную положительную дробную часть с тремя знаками после запятой. Наименьшее такое значение — это $0,001$. Если бы мы взяли $0,000$, то число было бы равно 1000, что не удовлетворяет условию "больше 1000".

Сложив целую и дробную части, получаем: $1000 + 0,001 = 1000,001$.

Это число удовлетворяет всем условиям: оно является десятичной дробью, оно больше 1000, и у него ровно три цифры после запятой. Любая другая дробь, удовлетворяющая этим условиям, будет больше (например, 1000,002 или 1001,000).

Ответ: 1000,001

4. Какой символ надо поставить между числами $4$ и $5$, чтобы образовалось число, которое больше $4$ и меньше $5$?

Чтобы получить число, которое находится в промежутке между 4 и 5, необходимо использовать символ, который создаст дробное число. Таким символом является десятичный разделитель, который в русской традиции обозначается запятой.

Поставив запятую между цифрами 4 и 5, мы получаем число 4,5.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это число заданному условию: быть больше 4 и меньше 5. Запишем это в виде двойного неравенства:

$4 < 4,5 < 5$

Данное неравенство верно, так как число 4,5 (четыре целых пять десятых) действительно больше, чем 4, и меньше, чем 5.

Ответ: запятая.

5. Какие три нуля надо зачеркнуть в числе 20,00340506, чтобы образовалось наибольшее из возможных чисел?

В исходном числе $20,00340506$ необходимо вычеркнуть три нуля так, чтобы итоговое число было наибольшим из возможных.

Чтобы число было максимальным, его цифры в старших разрядах (то есть, расположенные левее) должны быть как можно больше, так как сравнение чисел происходит поразрядно слева направо.

Сначала рассмотрим целую часть числа — 20. Если вычеркнуть в ней нуль, то целая часть станет равна 2. Любое число, начинающееся с $2,...$, будет меньше любого числа, начинающегося с $20,...$. Следовательно, нуль в целой части ($2\underline{0},...$) вычеркивать нельзя.

Это означает, что все три нуля нужно вычеркнуть из дробной части $,00340506$. Чтобы сделать число как можно большим, мы должны сделать первую цифру после запятой (в разряде десятых) максимально большой. Первая ненулевая цифра в дробной части — это 3. Чтобы она заняла место в разряде десятых, необходимо вычеркнуть два нуля, стоящие перед ней: $20,\underline{00}340506$.

После вычеркивания первых двух нулей после запятой мы получаем число $20,340506$. Мы использовали два из трех возможных вычеркиваний. Теперь нужно вычеркнуть еще один нуль из оставшихся в числе $20,340506$. В нем есть два нуля: один между цифрами 4 и 5, другой — между 5 и 6.

Рассмотрим два возможных варианта:

• Если вычеркнуть нуль между цифрами 4 и 5, получится число $20,34506$.
• Если вычеркнуть нуль между цифрами 5 и 6, получится число $20,34056$.

Теперь сравним полученные числа: $20,34506$ и $20,34056$. Их целые части, а также цифры в разрядах десятых и сотых, совпадают. Различие появляется в разряде тысячных: у первого числа там стоит цифра 5, а у второго — 0. Поскольку $5 > 0$, то число $20,34506$ больше, чем $20,34056$.

Таким образом, для получения наибольшего числа нужно вычеркнуть первые два нуля после запятой и нуль, стоящий между цифрами 4 и 5.

Ответ: Нужно зачеркнуть два нуля, стоящие сразу после запятой, и нуль, находящийся между цифрами 4 и 5.

1255. Верно ли выполнено округление:

1) $2,853 \approx 2,8;$

2) $3,298 \approx 3,30;$

3) $6473 \approx 6000;$

4) $2149 \approx 2200?$

Для проверки правильности округления необходимо применить правила округления чисел.

1) $2,853 \approx 2,8$

Округление производится до десятых. Смотрим на цифру, стоящую в следующем разряде (сотых) — это 5. По правилу округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу.
Значит, цифру 8 в разряде десятых нужно увеличить на 1. Получаем 2,9.
$2,853 \approx 2,9$.
Таким образом, округление $2,853 \approx 2,8$ выполнено неверно.
Ответ: неверно.

2) $3,298 \approx 3,30$

Округление производится до сотых. Смотрим на цифру в разряде тысячных — это 8. Так как $8 \ge 5$, цифру в разряде сотых (9) нужно увеличить на 1.
$9+1=10$, поэтому в разряд сотых записываем 0, а к разряду десятых (2) прибавляем 1. Получаем 3.
$3,298 \approx 3,30$. Ноль в конце сохраняется, чтобы показать точность округления до сотых.
Таким образом, округление выполнено верно.
Ответ: верно.

3) $6473 \approx 6000$

Округление производится до тысяч. Смотрим на цифру в разряде сотен — это 4. По правилу округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все последующие цифры заменяют нулями.
Так как $4 < 5$, цифру в разряде тысяч (6) оставляем без изменений.
$6473 \approx 6000$.
Таким образом, округление выполнено верно.
Ответ: верно.

4) $2149 \approx 2200$

Округление производится до сотен. Смотрим на цифру в разряде десятков — это 4.
Так как $4 < 5$, цифру в разряде сотен (1) нужно оставить без изменений, а последующие цифры заменить нулями.
$2149 \approx 2100$.
Таким образом, округление $2149 \approx 2200$ выполнено неверно.
Ответ: неверно.

1256. Округлите:

1) до десятых: $9,374$; $0,5298$; $54,06$; $74,95$;

2) до сотых: $13,405$; $28,2018$; $26,399$;

3) до единиц: $18,25$; $3,099$; $9,73$; $239,81$;

4) до тысячных: $0,5261$; $9,9999$; $1,58762$.

1) до десятых: 9,374; 0,5298; 54,06; 74,95;

Чтобы округлить число до десятых, необходимо оставить только одну цифру после запятой, отбросив остальные. При этом нужно посмотреть на первую из отбрасываемых цифр (на цифру в разряде сотых). Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру (в разряде десятых) мы не меняем. Если же эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

• Округляем $9,374$. Цифра в разряде сотых – 7. Так как $7 \geq 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (3) на 1. Получаем $9,4$.

• Округляем $0,5298$. Цифра в разряде сотых – 2. Так как $2 < 5$, оставляем цифру в разряде десятых (5) без изменений. Получаем $0,5$.

• Округляем $54,06$. Цифра в разряде сотых – 6. Так как $6 \geq 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (0) на 1. Получаем $54,1$.

• Округляем $74,95$. Цифра в разряде сотых – 5. Так как $5 \geq 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых (9) на 1. $9+1=10$, поэтому в разряде десятых пишем 0, а к целой части прибавляем 1. $74+1=75$. Получаем $75,0$.

Ответ: $9,4$; $0,5$; $54,1$; $75,0$.

2) до сотых: 13,405; 28,2018; 26,399;

Чтобы округлить число до сотых, оставляем две цифры после запятой. Смотрим на третью цифру после запятой (тысячные). Если она 5 или больше, то вторую цифру после запятой (сотые) увеличиваем на 1. Если меньше 5, оставляем без изменений.

• Округляем $13,405$. Цифра в разряде тысячных – 5. Так как $5 \geq 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (0) на 1. Получаем $13,41$.

• Округляем $28,2018$. Цифра в разряде тысячных – 1. Так как $1 < 5$, оставляем цифру в разряде сотых (0) без изменений. Получаем $28,20$.

• Округляем $26,399$. Цифра в разряде тысячных – 9. Так как $9 \geq 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых (9) на 1. $9+1=10$, поэтому в разряде сотых пишем 0, а к цифре в разряде десятых прибавляем 1. $3+1=4$. Получаем $26,40$.

Ответ: $13,41$; $28,20$; $26,40$.

3) до единиц: 18,25; 3,099; 9,73; 239,81;

Чтобы округлить число до единиц (до целого), нужно отбросить дробную часть. Смотрим на первую цифру после запятой (десятые). Если она 5 или больше, то целую часть увеличиваем на 1. Если меньше 5, оставляем целую часть без изменений.

• Округляем $18,25$. Цифра в разряде десятых – 2. Так как $2 < 5$, целую часть (18) оставляем без изменений. Получаем $18$.

• Округляем $3,099$. Цифра в разряде десятых – 0. Так как $0 < 5$, целую часть (3) оставляем без изменений. Получаем $3$.

• Округляем $9,73$. Цифра в разряде десятых – 7. Так как $7 \geq 5$, целую часть (9) увеличиваем на 1. $9+1=10$. Получаем $10$.

• Округляем $239,81$. Цифра в разряде десятых – 8. Так как $8 \geq 5$, целую часть (239) увеличиваем на 1. $239+1=240$. Получаем $240$.

Ответ: $18$; $3$; $10$; $240$.

4) до тысячных: 0,5261; 9,9999; 1,58762.

Чтобы округлить число до тысячных, оставляем три цифры после запятой. Смотрим на четвертую цифру после запятой (десятитысячные). Если она 5 или больше, то третью цифру после запятой (тысячные) увеличиваем на 1. Если меньше 5, оставляем без изменений.

• Округляем $0,5261$. Цифра в разряде десятитысячных – 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде тысячных (6) оставляем без изменений. Получаем $0,526$.

• Округляем $9,9999$. Цифра в разряде десятитысячных – 9. Так как $9 \geq 5$, то цифру в разряде тысячных (9) увеличиваем на 1. Это вызывает цепной перенос в старшие разряды: $9,999+0,001=10$. Результат записываем с точностью до тысячных: $10,000$.

• Округляем $1,58762$. Цифра в разряде десятитысячных – 6. Так как $6 \geq 5$, то цифру в разряде тысячных (7) увеличиваем на 1. Получаем $1,588$.

Ответ: $0,526$; $10,000$; $1,588$.