Страница 274 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая из следующих десятичных дробей равна дроби $ \frac{25}{100\,000} $:

1) 0,0025; 2) 0,25000; 3) 0,00025; 4) 0,20005?

1.

Для того чтобы перевести обыкновенную дробь $\frac{25}{100000}$ в десятичную, необходимо определить, сколько знаков должно быть после запятой. Количество знаков после запятой в десятичной дроби равно количеству нулей в знаменателе исходной дроби, если знаменатель является степенью десяти.

В знаменателе числа 100 000 находится пять нулей. Следовательно, в итоговой десятичной дроби должно быть пять цифр после запятой. Мы берем числитель, число 25, и записываем его так, чтобы после запятой было пять знаков. Для этого нужно добавить перед числом 25 три нуля.

Таким образом, получаем: $\frac{25}{100000} = 0,00025$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1) 0,0025

2) 0,25000

3) 0,00025

4) 0,20005

Наш результат 0,00025 соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

2. Сравните числа:

1) 3710 и 3709;

2) 43 672 и 43 701.

1) Чтобы сравнить числа 3710 и 3709, нужно сравнить их по разрядам, начиная со старшего (слева направо). Оба числа имеют одинаковое количество разрядов — четыре.
Цифра в разряде тысяч у обоих чисел совпадает: 3 = 3.
Цифра в разряде сотен у обоих чисел совпадает: 7 = 7.
Цифра в разряде десятков у числа 3710 равна 1, а у числа 3709 — 0.
Поскольку $1 > 0$, то число, содержащее цифру 1 в этом разряде, больше.
Следовательно, $3710 > 3709$.
Ответ: $3710 > 3709$.

2) Чтобы сравнить числа 43 672 и 43 701, нужно сравнить их по разрядам, начиная со старшего. Оба числа имеют одинаковое количество разрядов — пять.
Цифра в разряде десятков тысяч у обоих чисел совпадает: 4 = 4.
Цифра в разряде тысяч у обоих чисел совпадает: 3 = 3.
Цифра в разряде сотен у числа 43 672 равна 6, а у числа 43 701 — 7.
Поскольку $6 < 7$, то число, содержащее цифру 6 в этом разряде, меньше.
Следовательно, $43 672 < 43 701$.
Ответ: $43 672 < 43 701$.

3. Евгений плывёт по речке, скорость течения которой составляет $20 \text{ м}/\text{мин}$. Двигается ли Евгений в каком-либо направлении и если да, то с какой скоростью, если его собственная скорость равна:

1) $25 \text{ м}/\text{мин}$ и он плывёт по течению;

2) $25 \text{ м}/\text{мин}$ и он плывёт против течения;

3) $20 \text{ м}/\text{мин}$ и он плывёт против течения;

4) $15 \text{ м}/\text{мин}$ и он плывёт против течения?

Для решения этой задачи необходимо определить результирующую скорость Евгения относительно берега в каждом из четырех случаев. Скорость течения реки, обозначим её как $v_{теч}$, составляет 20 м/мин. Собственную скорость Евгения обозначим как $v_{соб}$.

- Когда пловец движется по течению, его скорость относительно берега $v$ равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v = v_{соб} + v_{теч}$.
- Когда пловец движется против течения, его скорость относительно берега $v$ равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v = v_{соб} - v_{теч}$.

Проанализируем каждый случай:

1) 25 м/мин и он плывёт по течению

Евгений плывёт по течению, поэтому его скорость относительно берега равна сумме скоростей:
$v = v_{соб} + v_{теч} = 25 \text{ м/мин} + 20 \text{ м/мин} = 45 \text{ м/мин}$.
Так как итоговая скорость больше нуля, Евгений движется в направлении течения.
Ответ: да, движется по течению со скоростью 45 м/мин.

2) 25 м/мин и он плывёт против течения

Евгений плывёт против течения, поэтому его скорость относительно берега равна разности скоростей:
$v = v_{соб} - v_{теч} = 25 \text{ м/мин} - 20 \text{ м/мин} = 5 \text{ м/мин}$.
Результат положительный, это означает, что собственная скорость Евгения больше скорости течения, и он движется против течения.
Ответ: да, движется против течения со скоростью 5 м/мин.

3) 20 м/мин и он плывёт против течения

Евгений плывёт против течения. Вычисляем его скорость относительно берега:
$v = v_{соб} - v_{теч} = 20 \text{ м/мин} - 20 \text{ м/мин} = 0 \text{ м/мин}$.
Собственная скорость Евгения равна скорости течения, поэтому он не перемещается относительно берега, то есть остаётся на одном месте.
Ответ: нет, не двигается (его скорость относительно берега равна 0 м/мин).

4) 15 м/мин и он плывёт против течения?

Евгений плывёт против течения. Находим его скорость относительно берега:
$v = v_{соб} - v_{теч} = 15 \text{ м/мин} - 20 \text{ м/мин} = -5 \text{ м/мин}$.
Собственная скорость Евгения меньше скорости течения. Отрицательный результат означает, что течение реки преодолевает его усилия, и Евгения сносит назад, то есть по течению. Скорость его движения относительно берега составляет 5 м/мин.
Ответ: да, движется по течению со скоростью 5 м/мин.

1231.Запишите десятичную дробь:

1) с двумя цифрами после запятой, равную числу $0.4$;

2) с четырьмя цифрами после запятой, равную числу $3.26$;

3) с тремя цифрами после запятой, равную числу $42$;

4) с двумя цифрами после запятой, равную числу $18.50000$.

1) с двумя цифрами после запятой, равную числу 0,4;

Основное свойство десятичной дроби гласит, что значение дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить нули. Число 0,4 имеет одну цифру после запятой. Чтобы получить равное ему число с двумя цифрами после запятой, нужно дописать справа один ноль. $0,4 = 0,40$.

Ответ: 0,40.

2) с четырьмя цифрами после запятой, равную числу 3,26;

Число 3,26 имеет две цифры после запятой. Чтобы получить равное ему число с четырьмя цифрами после запятой, необходимо дописать справа в дробной части два нуля. $3,26 = 3,2600$.

Ответ: 3,2600.

3) с тремя цифрами после запятой, равную числу 42;

Любое целое число можно представить в виде десятичной дроби. Для этого нужно поставить после него запятую и приписать необходимое количество нулей. Чтобы представить число 42 в виде дроби с тремя цифрами после запятой, допишем запятую и три нуля. $42 = 42,000$.

Ответ: 42,000.

4) с двумя цифрами после запятой, равную числу 18,50000.

Число 18,50000 имеет пять цифр после запятой. Чтобы получить равное ему число с двумя цифрами после запятой, необходимо отбросить три последних нуля в дробной части. $18,50000 = 18,50$.

Ответ: 18,50.

1232. Запишите несколько десятичных дробей, равных данной:

1) $5.400$;

2) $12.5080$;

3) $0.980$.

Основное свойство десятичной дроби заключается в том, что её значение не изменится, если в конце дробной части приписать или отбросить любое количество нулей. Воспользуемся этим свойством для нахождения нескольких десятичных дробей, равных данным.

1) Для числа 5,400. В конце дробной части этого числа есть два нуля, которые можно отбросить. Также можно дописать любое количество нулей в конец.
Отбросим один ноль: $5,400 = 5,40$.
Отбросим два нуля: $5,400 = 5,4$.
Допишем один ноль: $5,400 = 5,4000$.
Таким образом, мы можем записать несколько равных дробей.
Ответ: 5,4; 5,40; 5,4000.

2) Для числа 12,5080. В конце дробной части этого числа есть один ноль, который можно отбросить. Важно не путать его с нулём, стоящим между цифрами 5 и 8, который отбрасывать нельзя, так как он не является конечным.
Отбросим один ноль в конце: $12,5080 = 12,508$.
Допишем один ноль в конец: $12,5080 = 12,50800$.
Допишем два нуля в конец: $12,5080 = 12,508000$.
Таким образом, мы можем записать несколько равных дробей.
Ответ: 12,508; 12,50800; 12,508000.

3) Для числа 0,980. В конце дробной части этого числа есть один ноль, который можно отбросить. Также можно дописать нули в конец.
Отбросим один ноль: $0,980 = 0,98$.
Допишем один ноль: $0,980 = 0,9800$.
Допишем два нуля: $0,980 = 0,98000$.
Таким образом, мы можем записать несколько равных дробей.
Ответ: 0,98; 0,9800; 0,98000.

1233. Уравняйте количество цифр после запятой в данных дробях:

1) 2,16; 18,5; 0,476; 1,4;

2) 8,1; 19,64; 5,345; 0,9872.

1) Чтобы уравнять количество цифр после запятой в данных дробях, нужно найти дробь с наибольшим количеством цифр после запятой. В наборе $2,16$; $18,5$; $0,476$; $1,4$ это дробь $0,476$, у которой 3 цифры после запятой. Теперь необходимо дополнить остальные дроби справа нулями так, чтобы у них тоже стало по 3 цифры после запятой. Значение дроби при этом не изменится.
$2,16 = 2,160$ (добавили один ноль)
$18,5 = 18,500$ (добавили два ноля)
$0,476$ (остается без изменений)
$1,4 = 1,400$ (добавили два ноля)
Ответ: $2,160$; $18,500$; $0,476$; $1,400$.

2) В наборе дробей $8,1$; $19,64$; $5,345$; $0,9872$ наибольшее количество цифр после запятой у дроби $0,9872$, у которой их 4. Приведем все дроби к этому количеству знаков после запятой.
$8,1 = 8,1000$ (добавили три ноля)
$19,64 = 19,6400$ (добавили два ноля)
$5,345 = 5,3450$ (добавили один ноль)
$0,9872$ (остается без изменений)
Ответ: $8,1000$; $19,6400$; $5,3450$; $0,9872$.

1234. Сравните числа:

1) $9,4$ и $9,6$;

2) $5,5$ и $4,8$;

3) $6,3$ и $6,31$;

4) $3,29$ и $3,316$;

5) $0,3$ и $0,08$;

6) $7,2$ и $7,094$.

1) 9,4 и 9,6
Для сравнения двух десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. Целые части чисел 9,4 и 9,6 равны 9. Затем сравнивают их дробные части поразрядно, начиная со старшего разряда (десятых). В разряде десятых у числа 9,4 стоит цифра 4, а у числа 9,6 – цифра 6. Так как $4 < 6$, то и число $9,4 < 9,6$.
Ответ: $9,4 < 9,6$.

2) 5,5 и 4,8
Сначала сравниваем целые части данных чисел. У числа 5,5 целая часть равна 5, а у числа 4,8 – 4. Так как $5 > 4$, то дальнейшее сравнение дробных частей не требуется. Следовательно, $5,5 > 4,8$.
Ответ: $5,5 > 4,8$.

3) 6,3 и 6,31
Сравниваем целые части: они равны 6. Сравниваем разряд десятых: они также равны 3. Чтобы сравнить дальше, уравняем количество цифр после запятой, добавив ноль в конец дроби 6,3. Получим 6,30. Теперь сравниваем числа 6,30 и 6,31. В разряде сотых у первого числа стоит 0, а у второго – 1. Так как $0 < 1$, то $6,30 < 6,31$, а значит $6,3 < 6,31$.
Ответ: $6,3 < 6,31$.

4) 3,29 и 3,316
Сравниваем целые части: они равны 3. Переходим к сравнению разряда десятых. У числа 3,29 в разряде десятых стоит цифра 2, а у числа 3,316 – цифра 3. Так как $2 < 3$, то $3,29 < 3,316$.
Ответ: $3,29 < 3,316$.

5) 0,3 и 0,08
Сравниваем целые части: они равны 0. Сравниваем разряд десятых. У числа 0,3 в разряде десятых стоит цифра 3, а у числа 0,08 – цифра 0. Так как $3 > 0$, то $0,3 > 0,08$.
Ответ: $0,3 > 0,08$.

6) 7,2 и 7,094
Сравниваем целые части: они равны 7. Сравниваем разряд десятых. У числа 7,2 в разряде десятых стоит цифра 2, а у числа 7,094 – цифра 0. Так как $2 > 0$, то $7,2 > 7,094$.
Ответ: $7,2 > 7,094$.

1235. Сравните числа:

1) 16,8 и 17,3;

2) 12.7 и 12.5;

3) 24,92 и 24,9;

4) 18.486 и 18.5;

5) 0,065 и 0,1;

6) 96.35 и 96.087.

Для сравнения десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. Если целые части равны, то сравнивают дробные части поразрядно, слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.), пока не встретится первый неравный разряд. Большей будет та дробь, у которой цифра в этом разряде больше.

1) 16,8 и 17,3
Сравниваем целые части чисел. Целая часть числа 16,8 равна 16, а целая часть числа 17,3 равна 17. Поскольку $16 < 17$, то и число $16,8$ меньше числа $17,3$.
Ответ: $16,8 < 17,3$

2) 12,7 и 12,5
Целые части чисел равны (12 = 12). Переходим к сравнению дробных частей. Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 12,7 это 7, у числа 12,5 это 5. Так как $7 > 5$, то $12,7$ больше, чем $12,5$.
Ответ: $12,7 > 12,5$

3) 24,92 и 24,9
Целые части чисел равны (24 = 24). Уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль к числу 24,9, получим 24,90. Теперь сравниваем числа 24,92 и 24,90. В разряде десятых цифры одинаковы (9=9). Сравниваем цифры в разряде сотых: $2 > 0$. Следовательно, $24,92 > 24,90$, а значит $24,92 > 24,9$.
Ответ: $24,92 > 24,9$

4) 18,486 и 18,5
Целые части чисел равны (18 = 18). Сравниваем цифры в разряде десятых. У числа 18,486 это 4, а у числа 18,5 это 5. Поскольку $4 < 5$, то $18,486 < 18,5$.
Ответ: $18,486 < 18,5$

5) 0,065 и 0,1
Целые части чисел равны (0 = 0). Сравниваем цифры в разряде десятых. У числа 0,065 это 0, а у числа 0,1 это 1. Так как $0 < 1$, то $0,065 < 0,1$.
Ответ: $0,065 < 0,1$

6) 96,35 и 96,087
Целые части чисел равны (96 = 96). Сравниваем цифры в разряде десятых. У числа 96,35 это 3, а у числа 96,087 это 0. Так как $3 > 0$, то $96,35 > 96,087$.
Ответ: $96,35 > 96,087$

1236.Запишите числа в порядке убывания: 8,5; 8,16; 8,4; 8,49; 8,05; 8,61.

Чтобы записать десятичные дроби в порядке убывания, нужно сравнить их и расположить от наибольшего к наименьшему.

Дан ряд чисел: 8,5; 8,16; 8,4; 8,49; 8,05; 8,61.

1. Сравнение начинаем с целой части (цифры до запятой). У всех чисел в данном ряду целая часть одинакова и равна 8.

2. Поскольку целые части равны, переходим к сравнению дробных частей (цифры после запятой). Для удобства сравнения приведем все числа к одинаковому числу знаков в дробной части, добавив нули справа. Максимальное количество знаков после запятой у чисел в ряду — два, поэтому приведем все числа к двум знакам после запятой:
$8,5 = 8,50$
$8,16$
$8,4 = 8,40$
$8,49$
$8,05$
$8,61$

3. Теперь у нас есть следующий ряд: 8,50; 8,16; 8,40; 8,49; 8,05; 8,61. Сравним их дробные части как целые числа: 50, 16, 40, 49, 05, 61.

4. Расположим эти числа в порядке убывания:
$61 > 50 > 49 > 40 > 16 > 05$

5. Этому порядку соответствует следующий ряд десятичных дробей:
$8,61 > 8,50 > 8,49 > 8,40 > 8,16 > 8,05$

6. Запишем исходные числа в полученном порядке, помня, что $8,50$ это $8,5$, а $8,40$ это $8,4$.

Ответ: 8,61; 8,5; 8,49; 8,4; 8,16; 8,05.

1237. (Домашняя практическая работа) Расположите числа в порядке возрастания: $9.53$ Ш, $9.2$ Р, $9.09$ Е, $9.613$ О, $9.72$ А, $9.503$ Е, $9.02$ Т, $9.6$ К, $9.711$ В.

Буквы, соответствующие данным числам, образуют фамилию первой в мире женщины-космонавта. Найдите в Интернете сведения о её полёте в космос и о последующей общественной деятельности.

Расположите числа в порядке возрастания

Для того чтобы расположить десятичные дроби в порядке возрастания, необходимо их сравнить. У всех представленных чисел одинаковая целая часть (9), поэтому для сравнения будем использовать их дробные части.

Исходный список чисел и соответствующих им букв:

• 9,53 – Ш
• 9,2 – Р
• 9,09 – Е
• 9,613 – О
• 9,72 – А
• 9,503 – Е
• 9,02 – Т
• 9,6 – К
• 9,711 – В

Для удобства сравнения приведём все дроби к одинаковому количеству знаков после запятой (к трём), дописав справа нули там, где это необходимо:

• $9,53 = 9,530$ (Ш)
• $9,2 = 9,200$ (Р)
• $9,09 = 9,090$ (Е)
• $9,613$ (О)
• $9,72 = 9,720$ (А)
• $9,503$ (Е)
• $9,02 = 9,020$ (Т)
• $9,6 = 9,600$ (К)
• $9,711$ (В)

Теперь расположим числа в порядке возрастания, сравнивая их дробные части:

$9,020 < 9,090 < 9,200 < 9,503 < 9,530 < 9,600 < 9,613 < 9,711 < 9,720$

Это соответствует следующему порядку исходных чисел:

$9,02 < 9,09 < 9,2 < 9,503 < 9,53 < 9,6 < 9,613 < 9,711 < 9,72$

Подставив соответствующие буквы, получим фамилию:

Т Е Р Е Ш К О В А

Ответ: Фамилия, образованная буквами в результате расположения чисел в порядке возрастания, — Терешкова.

Найдите в Интернете сведения о её полёте в космос и о последующей общественной деятельности

Первой в мире женщиной-космонавтом является Валентина Владимировна Терешкова.

Сведения о полёте в космос:

• Корабль и позывной: Свой исторический полёт Валентина Терешкова совершила на космическом корабле «Восток-6». Её позывной во время полёта был «Чайка».
• Дата и продолжительность: Полёт проходил с 16 по 19 июня 1963 года и продлился 2 суток 22 часа 50 минут.
• Достижения: За время полёта корабль совершил 48 витков вокруг Земли. Терешкова стала не только первой женщиной в космосе, но и единственной женщиной в истории, совершившей одиночный космический полёт.

Последующая общественная и политическая деятельность:

• После полёта Валентина Терешкова стала живой легендой и активно включилась в общественную и политическую жизнь страны и мира.
• Она получила высшее образование, окончив Военно-воздушную инженерную академию им. Н.Е. Жуковского, стала кандидатом технических наук, а позже — профессором.
• Занимала ряд ответственных постов: была депутатом Верховного Совета СССР, возглавляла Комитет советских женщин, представляла СССР в различных международных организациях.
• В современной России продолжила политическую карьеру. С 2011 года является депутатом Государственной думы Федерального собрания РФ.
• За свой подвиг и многолетнюю деятельность Валентина Терешкова удостоена звания Героя Советского Союза и награждена многочисленными орденами и медалями разных стран. Её именем названы кратер на обратной стороне Луны, малая планета, улицы и школы.

Ответ: Первой женщиной-космонавтом является Валентина Терешкова. Её полёт на корабле «Восток-6» состоялся 16-19 июня 1963 года и длился почти трое суток. После полёта она вела активную общественную и политическую деятельность: была депутатом Верховного Совета СССР, а в настоящее время является депутатом Государственной думы РФ. Она имеет множество наград, включая звание Героя Советского Союза.