Страница 271 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1224. Начертите координатный луч, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 10 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам 0,3; 0,7; 0,9; 1,1; 1,5; 2,1.

Для решения задачи необходимо начертить координатный луч. Согласно условию, за единичный отрезок принимается отрезок, длина которого в 10 раз больше стороны клетки тетради.

Примем длину стороны одной клетки тетради за условную единицу измерения. Тогда длина единичного отрезка (расстояние от 0 до 1) на нашем луче будет равна 10 клеткам.

Это позволяет легко определить положение десятичных дробей. Поскольку 10 клеток соответствуют числу 1, то 1 клетка будет соответствовать одной десятой, то есть числу $0,1$.

Теперь определим положение каждой из заданных точек на луче, отсчитывая расстояние в клетках от начальной точки (0).

Точка 0,3

Чтобы найти положение точки, соответствующей числу 0,3, нужно умножить это число на количество клеток в единичном отрезке: $0,3 \cdot 10 = 3$. Следовательно, эту точку нужно отметить на расстоянии 3 клеток от начала луча.

Точка 0,7

Аналогично, положение этой точки: $0,7 \cdot 10 = 7$. Точка находится на расстоянии 7 клеток от начала.

Точка 0,9

Положение точки: $0,9 \cdot 10 = 9$. Точка находится на расстоянии 9 клеток от начала.

Точка 1,1

Положение точки: $1,1 \cdot 10 = 11$. Точка находится на расстоянии 11 клеток от начала (или на 1 клетку правее отметки 1).

Точка 1,5

Положение точки: $1,5 \cdot 10 = 15$. Точка находится на расстоянии 15 клеток от начала (или на 5 клеток правее отметки 1).

Точка 2,1

Положение точки: $2,1 \cdot 10 = 21$. Точка находится на расстоянии 21 клетки от начала (или на 1 клетку правее отметки 2).

Ниже представлен итоговый координатный луч с отмеченными точками.

Ответ:

На координатном луче, где единичный отрезок равен 10 клеткам, отмечены точки: 0,3 (на расстоянии 3 клеток от 0), 0,7 (7 клеток), 0,9 (9 клеток), 1,1 (11 клеток), 1,5 (15 клеток) и 2,1 (21 клетка). Графическое представление луча показано выше.

1225. Начертите координатный луч, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 10 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, которые соответствуют числам $0,1$; $0,6$; $0,8$; $1,4$; $1,9$; $2,2$.

Для решения задачи необходимо сначала построить координатный луч с заданным масштабом, а затем отметить на нем указанные точки.

1. Построение координатного луча

В условии сказано, что единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) должен быть в 10 раз больше стороны клетки тетради. Это означает, что для построения мы:

1. Чертим луч, отмечаем на нем начальную точку О, которая соответствует координате 0.
2. Отступаем от точки О на 10 клеток вправо и ставим отметку «1».
3. Отступаем от отметки «1» еще на 10 клеток вправо и ставим отметку «2», и так далее.

2. Отметка точек на луче

Чтобы найти положение каждой точки на луче, нужно ее координату умножить на длину единичного отрезка, которая равна 10 клеткам. Результат покажет, сколько клеток нужно отсчитать от начала (от точки 0).

• Точка с координатой 0,1:
  Расстояние от 0: $0,1 \cdot 10 = 1$ клетка.
• Точка с координатой 0,6:
  Расстояние от 0: $0,6 \cdot 10 = 6$ клеток.
• Точка с координатой 0,8:
  Расстояние от 0: $0,8 \cdot 10 = 8$ клеток.
• Точка с координатой 1,4:
  Расстояние от 0: $1,4 \cdot 10 = 14$ клеток (или 4 клетки вправо от отметки «1»).
• Точка с координатой 1,9:
  Расстояние от 0: $1,9 \cdot 10 = 19$ клеток (или 1 клетка влево от отметки «2»).
• Точка с координатой 2,2:
  Расстояние от 0: $2,2 \cdot 10 = 22$ клетки (или 2 клетки вправо от отметки «2»).

Координатный луч с отмеченными точками будет выглядеть так:

Ответ: Необходимо начертить координатный луч, на котором единичный отрезок (от 0 до 1) равен 10 клеткам. Точка 0,1 будет расположена на расстоянии 1 клетки от начала, 0,6 — на расстоянии 6 клеток, 0,8 — на расстоянии 8 клеток, 1,4 — на расстоянии 14 клеток, 1,9 — на расстоянии 19 клеток, а 2,2 — на расстоянии 22 клеток от начала координат.

1226. Во сколько раз $\frac{5}{6}$ мин меньше, чем 4 мин 10 с?

Чтобы найти, во сколько раз одна величина меньше другой, нужно большую величину разделить на меньшую. Для этого сначала необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести всё в секунды.

1. Переведем $\frac{5}{6}$ минуты в секунды. Мы знаем, что в 1 минуте 60 секунд.

$\frac{5}{6} \text{ мин} = \frac{5}{6} \times 60 \text{ с} = 5 \times 10 \text{ с} = 50 \text{ с}$

2. Теперь переведем 4 минуты 10 секунд в секунды.

$4 \text{ мин } 10 \text{ с} = (4 \times 60) \text{ с} + 10 \text{ с} = 240 \text{ с} + 10 \text{ с} = 250 \text{ с}$

3. Теперь, когда обе величины выражены в секундах, найдем их отношение, разделив большую величину на меньшую.

$\frac{250 \text{ с}}{50 \text{ с}} = 5$

Ответ: в 5 раз.

1227.Во сколько раз 5 ч 50 мин больше, чем $\frac{7}{12}$ ч?

Чтобы определить, во сколько раз одна величина больше другой, необходимо первую величину разделить на вторую. Для удобства вычислений приведем обе временные величины к одной единице измерения — минутам.

1. Сначала переведем 5 ч 50 мин в минуты.В одном часе 60 минут, поэтому:$5 \text{ ч} = 5 \times 60 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$.Теперь добавим оставшиеся 50 минут:$300 \text{ мин} + 50 \text{ мин} = 350 \text{ мин}$.

2. Затем переведем $\frac{7}{12}$ ч в минуты.Для этого умножим значение в часах на 60:$\frac{7}{12} \text{ ч} = \frac{7}{12} \times 60 \text{ мин}$.Сократим 12 и 60 ( $60 \div 12 = 5$ ):$7 \times 5 \text{ мин} = 35 \text{ мин}$.

3. На последнем шаге найдем отношение полученных величин, разделив большее значение на меньшее:$\frac{350 \text{ мин}}{35 \text{ мин}} = 10$.

Таким образом, 5 ч 50 мин больше, чем $\frac{7}{12}$ ч, в 10 раз.

Ответ: в 10 раз.

1228. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы образовалось верное неравенство:

1) $346* < 3463;$

2) $4*40 > 4735?$

1) Рассмотрим неравенство $346* < 3463$.
Чтобы неравенство было верным, число слева должно быть меньше числа справа. При сравнении чисел по разрядам слева направо мы видим, что первые три цифры (3, 4 и 6) у обоих чисел совпадают. Следовательно, сравнение зависит от последней цифры — разряда единиц.
Чтобы число $346*$ было меньше, чем $3463$, цифра, стоящая на месте звёздочки, должна быть меньше цифры 3.
Цифры, которые меньше 3: 0, 1, 2.
Проверим:
$3460 < 3463$ (верно)
$3461 < 3463$ (верно)
$3462 < 3463$ (верно)
Если подставить 3, получится $3463 = 3463$, что не удовлетворяет знаку строгого неравенства. Цифры больше 3 также не подходят.
Ответ: 0, 1, 2.

2) Рассмотрим неравенство $4*40 > 4735$.
Чтобы неравенство было верным, число слева должно быть больше числа справа. Сравниваем числа по разрядам слева направо. Первая цифра (разряд тысяч) у обоих чисел одинакова — 4.
Следовательно, нужно сравнить следующие цифры — в разряде сотен. В левом числе это звёздочка, в правом — 7.
- Если цифра на месте звёздочки будет больше 7, то всё число слева гарантированно будет больше числа справа, независимо от последующих цифр. Это цифры 8 и 9.
$4840 > 4735$ (верно)
$4940 > 4735$ (верно)
- Если цифра на месте звёздочки будет равна 7, то нужно сравнить следующие разряды. Получим $4740 > 4735$. Сравниваем разряд десятков: $4 > 3$. Следовательно, всё число слева больше, и неравенство верно. Значит, цифра 7 тоже подходит.
- Если цифра на месте звёздочки будет меньше 7, то всё число слева будет меньше числа справа. Например, $4640 < 4735$. Это не удовлетворяет условию.
Таким образом, подходят цифры 7, 8 и 9.
Ответ: 7, 8, 9.

1229. В числах стёрли несколько цифр и вместо них поставили звёздочки.

Сравните эти числа:

1) 35 *** и 32 ***;

2) 98* и **52.

1) Сравним числа 35*** и 32***.

При сравнении многозначных чисел с одинаковым количеством разрядов, их сравнивают поразрядно, начиная со старших разрядов (слева направо). Оба числа в данном случае — пятизначные.

Цифра в разряде десятков тысяч у обоих чисел одинакова и равна 3.

Переходим к следующему разряду — разряду тысяч. У первого числа в этом разряде стоит цифра 5, а у второго — 2.

Поскольку $5 > 2$, то первое число (35***) всегда будет больше второго (32***), независимо от того, какие цифры скрыты за звёздочками.

Для проверки можно взять крайние случаи: наименьшее возможное значение для первого числа — 35000, а наибольшее для второго — 32999. Как мы видим, $35000 > 32999$.

Ответ: $35*** > 32***$.

2) Сравним числа 98* и **52.

Для сравнения этих чисел определим количество разрядов в каждом из них. Звёздочка (*) заменяет одну любую цифру от 0 до 9.

Число 98* — это трёхзначное число, так как оно состоит из трёх цифр. Его значение может быть от 980 до 989.

Число **52 — это четырёхзначное число, так как оно состоит из четырёх цифр. Первая цифра в записи натурального числа не может быть нулём, поэтому наименьшее возможное значение для этого числа — 1052.

При сравнении чисел с разным количеством разрядов, всегда больше то число, у которого разрядов (цифр) больше.

Следовательно, любое четырёхзначное число (**52) всегда будет больше любого трёхзначного числа (98*).

Ответ: $98* < **52$.

1230. Как поделить поровну 7 яблок между 12 друзьями, если каждое яблоко можно разрезать не более чем на 4 части?

Для того чтобы поровну разделить 7 яблок между 12 друзьями, нужно сначала определить, какая доля яблока достанется каждому.

Доля каждого друга составляет $ \frac{7}{12} $ яблока.

По условию, каждое яблоко можно разрезать не более чем на 4 части. Это означает, что мы можем получать куски размером в половину ($ \frac{1}{2} $), треть ($ \frac{1}{3} $) или четверть ($ \frac{1}{4} $) яблока.

Представим долю каждого друга в виде суммы таких частей. Наиболее удобный способ получить знаменатель 12 — это использовать дроби со знаменателями 3 и 4:

$ \frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} $

Сократив дроби, получим:

$ \frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $

Это означает, что каждый из 12 друзей должен получить один кусок размером в треть яблока и один кусок размером в четверть яблока.

Чтобы реализовать это, поступим следующим образом:

• Возьмем 4 яблока и каждое из них разрежем на 3 равные части. В результате получится 12 кусков, каждый из которых составляет $ \frac{1}{3} $ яблока.
• Возьмем оставшиеся 3 яблока ($7 - 4 = 3$) и каждое из них разрежем на 4 равные части. В результате получится 12 кусков, каждый из которых составляет $ \frac{1}{4} $ яблока.

Теперь у нас есть 12 кусков по $ \frac{1}{3} $ яблока и 12 кусков по $ \frac{1}{4} $ яблока. Мы можем дать каждому из 12 друзей по одному куску каждого вида. Таким образом, все яблоки будут разделены поровну, и условие о количестве разрезов будет выполнено.

Ответ: 4 яблока нужно разрезать на 3 равные части каждое, а 3 оставшихся яблока — на 4 равные части каждое. Затем каждому из 12 друзей дать по одному куску от яблок, разрезанных натрое, и по одному куску от яблок, разрезанных начетверо.