Страница 262 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1196. В школе имеется три пятых класса. В 5 «А» и 5 «Б» классах учится соответственно $\frac{7}{20}$ и $\frac{5}{16}$ всех пятиклассников, а в 5 «В» классе — 27 учащихся. Сколько всего пятиклассников в этой школе?

Пусть $x$ — общее количество всех пятиклассников в школе.

В 5 «А» классе учится $\frac{7}{20}$ всех пятиклассников, а в 5 «Б» классе — $\frac{5}{16}$ всех пятиклассников.

1. Сначала найдем, какая часть всех пятиклассников учится в 5 «А» и 5 «Б» классах вместе. Для этого сложим дроби:

$\frac{7}{20} + \frac{5}{16}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 20 и 16 равно 80.

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 4}{20 \cdot 4} = \frac{28}{80}$

$\frac{5}{16} = \frac{5 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{25}{80}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{28}{80} + \frac{25}{80} = \frac{28+25}{80} = \frac{53}{80}$

Таким образом, в 5 «А» и 5 «Б» классах вместе учится $\frac{53}{80}$ всех пятиклассников.

2. Примем общее количество пятиклассников за 1 (целое). Найдем, какая часть всех учащихся приходится на 5 «В» класс. Для этого вычтем из 1 долю учеников 5 «А» и 5 «Б» классов:

$1 - \frac{53}{80} = \frac{80}{80} - \frac{53}{80} = \frac{27}{80}$

Следовательно, на 5 «В» класс приходится $\frac{27}{80}$ всех пятиклассников.

3. По условию задачи, в 5 «В» классе учится 27 человек. Это означает, что $\frac{27}{80}$ от общего числа пятиклассников равны 27. Чтобы найти общее число учеников (целое) по его части, нужно значение этой части (27) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{27}{80}$):

$x = 27 : \frac{27}{80} = 27 \cdot \frac{80}{27} = 80$

Всего в трех пятых классах учится 80 учеников.

Ответ: 80 пятиклассников.

1197. Готовясь к олимпиаде по математике, Максим в субботу и воскресенье решал задачи. В субботу он решил $\frac{7}{18}$ всех задач, а в воскресенье — $\frac{2}{9}$ всех задач и остальные 14 задач. Сколько всего задач решил Максим за два дня?

Пусть $x$ — это общее количество задач, которое решил Максим за два дня.

В субботу он решил $\frac{7}{18}$ всех задач, то есть $\frac{7}{18}x$.

В воскресенье он решил $\frac{2}{9}$ всех задач и еще 14, то есть $(\frac{2}{9}x + 14)$.

Так как за два дня он решил все задачи, мы можем составить уравнение, приравняв общее количество задач к сумме задач, решенных в субботу и воскресенье:

$x = \frac{7}{18}x + \frac{2}{9}x + 14$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю 18:

$x = \frac{7}{18}x + \frac{4}{18}x + 14$

Сложим дроби в правой части уравнения:

$x = \frac{11}{18}x + 14$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения, изменив его знак:

$x - \frac{11}{18}x = 14$

Выполним вычитание в левой части (учитывая, что $x = \frac{18}{18}x$):

$\frac{18}{18}x - \frac{11}{18}x = 14$

$\frac{7}{18}x = 14$

Теперь найдем $x$. Для этого нужно разделить 14 на дробь $\frac{7}{18}$ (что равносильно умножению на обратную дробь $\frac{18}{7}$):

$x = 14 \div \frac{7}{18} = 14 \times \frac{18}{7}$

$x = \frac{14 \times 18}{7} = 2 \times 18 = 36$

Таким образом, Максим решил за два дня 36 задач.

Ответ: 36 задач.

1198. Готовясь к олимпиаде по английскому языку, Галина занималась переводом текста. За один день она перевела $ \frac{5}{12} $ всех страниц и ещё 10 страниц, после чего ей осталось перевести $ \frac{3}{8} $ страниц текста. Сколько всего страниц составляет текст?

Пусть $x$ — это общее количество страниц в тексте.

Согласно условию, за один день Галина перевела $ \frac{5}{12} $ всех страниц и ещё 10 страниц. Это можно записать как $ \frac{5}{12}x + 10 $ страниц.

После этого ей осталось перевести $ \frac{3}{8} $ всех страниц, то есть $ \frac{3}{8}x $ страниц.

Общее количество страниц равно сумме переведенных и оставшихся страниц. Составим уравнение:
$ (\frac{5}{12}x + 10) + \frac{3}{8}x = x $

Теперь решим это уравнение. Перенесём все слагаемые с $x$ в одну часть уравнения:
$ x - \frac{5}{12}x - \frac{3}{8}x = 10 $

Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 8 — это 24.
$ \frac{24}{24}x - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2}x - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3}x = 10 $
$ \frac{24}{24}x - \frac{10}{24}x - \frac{9}{24}x = 10 $

Выполним вычитание:
$ \frac{24 - 10 - 9}{24}x = 10 $
$ \frac{5}{24}x = 10 $

Теперь найдём $x$:
$ x = 10 \div \frac{5}{24} $
$ x = 10 \cdot \frac{24}{5} $
$ x = \frac{10 \cdot 24}{5} = 2 \cdot 24 = 48 $

Таким образом, всего в тексте 48 страниц.

Проверим решение:
1. Сколько страниц Галина перевела: $ \frac{5}{12} \cdot 48 + 10 = 5 \cdot 4 + 10 = 20 + 10 = 30 $ страниц.
2. Сколько страниц осталось: $ 48 - 30 = 18 $ страниц.
3. Какую часть текста составляют оставшиеся страницы: $ \frac{18}{48} = \frac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{3}{8} $. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 48 страниц.

1199. Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников в его школе, великий древнегреческий учёный Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть проводит время в молчаливых размышлениях, кроме того, есть ещё три женщины».

Сколько учеников было в школе Пифагора?

Пифагор (ок. 570 — ок. 490 до н. э.)

Древнегреческому философу и математику приписывают систематическое введение в математику доказательных рассуждений, создание учений о подобных фигурах, о чётных, нечётных, простых и составных числах, о пропорциях, доказательство теоремы, носящей его имя.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. Пусть $x$ — это общее количество учеников в школе Пифагора.

Согласно условию, ученики делятся на следующие группы:

• Половина изучает математику, что составляет $\frac{1}{2}x$ учеников.
• Четверть изучает музыку, что составляет $\frac{1}{4}x$ учеников.
• Седьмая часть проводит время в размышлениях, что составляет $\frac{1}{7}x$ учеников.
• Кроме них, есть ещё 3 женщины.

Сумма всех этих частей должна быть равна общему количеству учеников $x$. Составим уравнение:

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3 = x$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:

$3 = x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28. Представим $x$ как $\frac{28x}{28}$ и остальные дроби с этим же знаменателем:

$3 = \frac{28x}{28} - \frac{14x}{28} - \frac{7x}{28} - \frac{4x}{28}$

Теперь объединим все дроби в правой части:

$3 = \frac{28x - 14x - 7x - 4x}{28}$

$3 = \frac{(28 - 14 - 7 - 4)x}{28}$

$3 = \frac{3x}{28}$

Теперь найдем $x$. Умножим обе части уравнения на 28:

$3 \cdot 28 = 3x$

$84 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{84}{3}$

$x = 28$

Таким образом, в школе Пифагора было 28 учеников.

Проверим решение:

• Изучают математику: $\frac{1}{2} \cdot 28 = 14$
• Изучают музыку: $\frac{1}{4} \cdot 28 = 7$
• Проводят время в размышлениях: $\frac{1}{7} \cdot 28 = 4$
• Женщины: 3

Сложим все части: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$. Результат совпадает с общим количеством учеников.

Ответ: В школе Пифагора было 28 учеников.

1200. Буратино потратил $\frac{13}{28}$ своих денег на покупку учебников, а на покупку конфет $\frac{11}{18}$ оставшихся денег. После этого у него осталось 35 сольдо. Сколько сольдо было у Буратино сначала?

Обозначим начальную сумму денег у Буратино через $x$ сольдо.

Сначала Буратино потратил $ \frac{13}{28} $ своих денег на учебники. Вычислим, какая часть денег у него осталась. Для этого из всей суммы, которую принимаем за единицу, вычтем потраченную часть:
$1 - \frac{13}{28} = \frac{28}{28} - \frac{13}{28} = \frac{15}{28}$
Таким образом, после покупки учебников у Буратино осталось $ \frac{15}{28} $ от начальной суммы денег.

Затем он потратил на конфеты $ \frac{11}{18} $ от оставшихся денег. Это значит, что после покупки конфет у него осталась часть денег, равная:
$1 - \frac{11}{18} = \frac{18}{18} - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$
Эта часть ($ \frac{7}{18} $) была посчитана от суммы, которая осталась после покупки учебников.

Теперь найдем, какая часть от изначальной суммы осталась у Буратино в самом конце. Для этого нужно умножить долю, оставшуюся после первой покупки, на долю, оставшуюся после второй покупки:
$ \frac{15}{28} \times \frac{7}{18} $
Сократим дроби перед умножением для упрощения расчетов:
$ \frac{15 \times 7}{28 \times 18} = \frac{(5 \times 3) \times 7}{(4 \times 7) \times (6 \times 3)} = \frac{5}{4 \times 6} = \frac{5}{24} $
Итак, у Буратино осталось $ \frac{5}{24} $ от его первоначальной суммы денег.

По условию задачи, эта оставшаяся сумма составляет 35 сольдо. Мы можем составить уравнение:
$ \frac{5}{24} x = 35 $
Чтобы найти $x$, нужно 35 разделить на дробь $ \frac{5}{24} $. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ x = 35 \div \frac{5}{24} = 35 \times \frac{24}{5} $
$ x = \frac{35 \times 24}{5} = (35 \div 5) \times 24 = 7 \times 24 = 168 $

Таким образом, изначально у Буратино было 168 сольдо.

Ответ: 168 сольдо.