Страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1123. Сравните:

1) $\frac{26}{63}$ и $\frac{17}{56}$;

2) $\frac{31}{42}$ и $\frac{19}{24}$;

3) $\frac{2003}{2004}$ и $\frac{2004}{2005}$.

1) Сравнить дроби $\frac{26}{63}$ и $\frac{17}{56}$.

Для сравнения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 63 и 56.

Разложим знаменатели на простые множители:

$63 = 3^2 \cdot 7$

$56 = 2^3 \cdot 7$

НОК(63, 56) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 504, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{26}{63}$ дополнительный множитель равен $504 / 63 = 8$.

$\frac{26}{63} = \frac{26 \cdot 8}{63 \cdot 8} = \frac{208}{504}$

Для дроби $\frac{17}{56}$ дополнительный множитель равен $504 / 56 = 9$.

$\frac{17}{56} = \frac{17 \cdot 9}{56 \cdot 9} = \frac{153}{504}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{208}{504}$ и $\frac{153}{504}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Так как $208 > 153$, то $\frac{208}{504} > \frac{153}{504}$.

Следовательно, $\frac{26}{63} > \frac{17}{56}$.

Ответ: $\frac{26}{63} > \frac{17}{56}$.

2) Сравнить дроби $\frac{31}{42}$ и $\frac{19}{24}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 42 и 24.

Разложим на простые множители:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$24 = 2^3 \cdot 3$

НОК(42, 24) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Приведем дроби к знаменателю 168.

Для дроби $\frac{31}{42}$ дополнительный множитель равен $168 / 42 = 4$.

$\frac{31}{42} = \frac{31 \cdot 4}{42 \cdot 4} = \frac{124}{168}$

Для дроби $\frac{19}{24}$ дополнительный множитель равен $168 / 24 = 7$.

$\frac{19}{24} = \frac{19 \cdot 7}{24 \cdot 7} = \frac{133}{168}$

Сравниваем полученные дроби: так как $124 < 133$, то $\frac{124}{168} < \frac{133}{168}$.

Следовательно, $\frac{31}{42} < \frac{19}{24}$.

Ответ: $\frac{31}{42} < \frac{19}{24}$.

3) Сравнить дроби $\frac{2003}{2004}$ и $\frac{2004}{2005}$.

Обе дроби являются правильными (числитель меньше знаменателя) и близки к 1. В таких случаях удобно сравнить, на сколько каждая дробь меньше единицы.

Найдем разность между 1 и каждой из дробей:

$1 - \frac{2003}{2004} = \frac{2004}{2004} - \frac{2003}{2004} = \frac{1}{2004}$

$1 - \frac{2004}{2005} = \frac{2005}{2005} - \frac{2004}{2005} = \frac{1}{2005}$

Теперь нужно сравнить "недостающие" до единицы части: $\frac{1}{2004}$ и $\frac{1}{2005}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $2004 < 2005$, то $\frac{1}{2004} > \frac{1}{2005}$.

Это означает, что от дроби $\frac{2003}{2004}$ до единицы не хватает большей части, чем от дроби $\frac{2004}{2005}$. Следовательно, дробь $\frac{2003}{2004}$ меньше, чем дробь $\frac{2004}{2005}$.

Таким образом, $\frac{2003}{2004} < \frac{2004}{2005}$.

Ответ: $\frac{2003}{2004} < \frac{2004}{2005}$.

1124. Найдите значение выражения:

$4 \frac{4}{9} \cdot 1 \frac{1}{32} \cdot 1 \frac{1}{5} - \left(2 \frac{11}{14} - 2 \frac{2}{35}\right) \cdot 4 \frac{2}{3}$

Для нахождения значения выражения выполним действия в правильном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

Исходное выражение: $4\frac{4}{9} \cdot 1\frac{1}{32} \cdot 1\frac{1}{5} - \left(2\frac{11}{14} - 2\frac{2}{35}\right) \cdot 4\frac{2}{3}$

1. Сначала выполним вычитание в скобках: $2\frac{11}{14} - 2\frac{2}{35}$. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.$2\frac{11}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 11}{14} = \frac{28 + 11}{14} = \frac{39}{14}$$2\frac{2}{35} = \frac{2 \cdot 35 + 2}{35} = \frac{70 + 2}{35} = \frac{72}{35}$Теперь найдем разность, приведя дроби к общему знаменателю 70 (НОК(14, 35) = 70):$\frac{39}{14} - \frac{72}{35} = \frac{39 \cdot 5}{14 \cdot 5} - \frac{72 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{195}{70} - \frac{144}{70} = \frac{195 - 144}{70} = \frac{51}{70}$

2. Далее выполним умножение результата из скобок на $4\frac{2}{3}$.Преобразуем $4\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.$\frac{51}{70} \cdot \frac{14}{3} = \frac{51 \cdot 14}{70 \cdot 3}$Сократим дробь: 51 и 3 на 3, 70 и 14 на 14.$\frac{\cancel{51}^{17} \cdot \cancel{14}^1}{\cancel{70}^5 \cdot \cancel{3}^1} = \frac{17 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{17}{5}$

3. Теперь вычислим первую часть выражения: $4\frac{4}{9} \cdot 1\frac{1}{32} \cdot 1\frac{1}{5}$.Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:$4\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{40}{9}$$1\frac{1}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 1}{32} = \frac{33}{32}$$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$Перемножим дроби, предварительно сокращая:$\frac{40}{9} \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{6}{5} = \frac{40 \cdot 33 \cdot 6}{9 \cdot 32 \cdot 5} = \frac{(\cancel{5} \cdot \cancel{8}) \cdot (3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 3)}{(\cancel{3} \cdot \cancel{3}) \cdot (4 \cdot \cancel{8}) \cdot \cancel{5}} = \frac{11 \cdot 2}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}$

4. Выполним последнее действие — вычитание результатов шагов 3 и 2.$\frac{11}{2} - \frac{17}{5}$Приведем дроби к общему знаменателю 10:$\frac{11 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{17 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{55}{10} - \frac{34}{10} = \frac{55 - 34}{10} = \frac{21}{10}$Представим результат в виде смешанного числа:$\frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$

Ответ: $2\frac{1}{10}$

1125. Что больше и на сколько: разность чисел $1\frac{1}{9}$ и $\frac{3}{8}$ или их произведение?

Чтобы ответить на вопрос, что больше — разность или произведение чисел $1\frac{1}{9}$ и $\frac{3}{8}$, и на сколько, необходимо выполнить последовательно несколько вычислений.

1. Найдем разность чисел

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{9}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$

Теперь найдем разность между $\frac{10}{9}$ и $\frac{3}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 9 и 8 является 72.

$\frac{10}{9} - \frac{3}{8} = \frac{10 \cdot 8}{9 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{80}{72} - \frac{27}{72} = \frac{80 - 27}{72} = \frac{53}{72}$

Таким образом, разность чисел равна $\frac{53}{72}$.

2. Найдем произведение чисел

Теперь умножим $\frac{10}{9}$ на $\frac{3}{8}$:

$\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{30}{72}$

Мы можем сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$\frac{30 \div 6}{72 \div 6} = \frac{5}{12}$

Таким образом, произведение чисел равно $\frac{5}{12}$.

3. Сравним разность и произведение и найдем, на сколько одно больше другого

Нам нужно сравнить разность, равную $\frac{53}{72}$, и произведение, равное $\frac{5}{12}$.

Для сравнения приведем вторую дробь к знаменателю 72:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 6}{12 \cdot 6} = \frac{30}{72}$

Теперь сравним дроби $\frac{53}{72}$ и $\frac{30}{72}$. Поскольку у них одинаковые знаменатели, мы сравниваем их числители. Так как $53 > 30$, то $\frac{53}{72} > \frac{30}{72}$.

Это означает, что разность чисел больше их произведения.

Чтобы узнать, на сколько разность больше, вычтем из разности произведение:

$\frac{53}{72} - \frac{30}{72} = \frac{53 - 30}{72} = \frac{23}{72}$

Ответ: разность чисел больше их произведения на $\frac{23}{72}$.

1126. В России есть 116 естественно-научных музеев и музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства. Сколько музеев каждого из этих двух видов, если музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства в 3 раза меньше, чем естественно-научных музеев?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим за $x$ количество музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства. Согласно условию, их в 3 раза меньше, чем естественно-научных музеев. Это значит, что естественно-научных музеев в 3 раза больше, то есть их количество составляет $3x$.

Сумма музеев обоих видов равна 116. Составим уравнение:

$x + 3x = 116$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x = 116$

2. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{116}{4}$

$x = 29$

Таким образом, количество музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства равно 29.

3. Теперь найдем количество естественно-научных музеев, которое в 3 раза больше:

$3 \times 29 = 87$

Итак, количество естественно-научных музеев равно 87.

Проверим полученные результаты: $29 + 87 = 116$. Общее количество музеев совпадает с условием задачи.

Ответ: в России 87 естественно-научных музеев и 29 музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства.

1127. В России всего есть 160 государственных природных заповедников и национальных парков. Сколько в России природных заповедников и сколько национальных парков, если заповедников на 49 больше, чем парков?

Для решения этой задачи введем переменную.

Пусть $x$ — количество национальных парков в России.
Согласно условию, природных заповедников на 49 больше, чем национальных парков. Следовательно, количество заповедников можно выразить как $x + 49$.

Общее количество заповедников и национальных парков составляет 160. Составим уравнение, сложив количество парков и количество заповедников:
$x + (x + 49) = 160$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:
1. Раскроем скобки:
$x + x + 49 = 160$
2. Сложим подобные слагаемые:
$2x + 49 = 160$
3. Перенесем число 49 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 160 - 49$
$2x = 111$
4. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{111}{2}$
$x = 55.5$
Таким образом, количество национальных парков составляет 55,5.

Теперь, зная количество национальных парков, найдем количество природных заповедников:
Количество заповедников = $x + 49 = 55.5 + 49 = 104.5$.
Следовательно, количество природных заповедников составляет 104,5.

Выполним проверку:
Сумма парков и заповедников: $55.5 + 104.5 = 160$.
Разница между количеством заповедников и парков: $104.5 - 55.5 = 49$.
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: в России 104,5 природных заповедников и 55,5 национальных парков.

1128. Андрей возводил натуральное число в четвёртую степень и в результате получил число 700...04. Не ошибся ли Андрей?

Для того чтобы определить, мог ли Андрей получить такое число, проанализируем, на какую цифру может оканчиваться четвертая степень любого натурального числа.

Пусть $N$ — натуральное число. Нам нужно выяснить, какие значения может принимать последняя цифра числа $A = N^4$. Последняя цифра результата $N^4$ зависит только от последней цифры числа $N$. Рассмотрим все возможные последние цифры для $N$ от 0 до 9:

• Если число $N$ оканчивается на 0, то $N^4$ оканчивается на $0^4 = 0$.
• Если число $N$ оканчивается на 1, то $N^4$ оканчивается на $1^4 = 1$.
• Если число $N$ оканчивается на 2, то $N^4$ оканчивается на $2^4 = 16$, то есть на 6.
• Если число $N$ оканчивается на 3, то $N^4$ оканчивается на $3^4 = 81$, то есть на 1.
• Если число $N$ оканчивается на 4, то $N^4$ оканчивается на $4^4 = 256$, то есть на 6.
• Если число $N$ оканчивается на 5, то $N^4$ оканчивается на $5^4 = 625$, то есть на 5.
• Если число $N$ оканчивается на 6, то $N^4$ оканчивается на $6^4 = 1296$, то есть на 6.
• Если число $N$ оканчивается на 7, то $N^4$ оканчивается на $7^4 = 2401$, то есть на 1.
• Если число $N$ оканчивается на 8, то $N^4$ оканчивается на $8^4 = 4096$, то есть на 6.
• Если число $N$ оканчивается на 9, то $N^4$ оканчивается на $9^4 = 6561$, то есть на 1.

Таким образом, четвертая степень любого натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 5 или 6.

В условии задачи сказано, что у Андрея получилось число 700...04. Это число оканчивается на цифру 4. Поскольку цифра 4 не входит в перечень возможных последних цифр для четвертой степени натурального числа, можно сделать вывод, что такое число не может быть результатом возведения натурального числа в четвертую степень.

Следовательно, Андрей допустил ошибку в своих вычислениях.

Ответ: Да, Андрей ошибся.