Номер 1123, страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 40. Нахождение дроби от числа. Упражнения - номер 1123, страница 250.

Условие.

1123. Сравните:

1) $\frac{26}{63}$ и $\frac{17}{56}$;

2) $\frac{31}{42}$ и $\frac{19}{24}$;

3) $\frac{2003}{2004}$ и $\frac{2004}{2005}$.

Решение.

Решение 2.

1) Сравнить дроби $\frac{26}{63}$ и $\frac{17}{56}$.

Для сравнения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 63 и 56.

Разложим знаменатели на простые множители:

$63 = 3^2 \cdot 7$

$56 = 2^3 \cdot 7$

НОК(63, 56) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 504, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.

Для дроби $\frac{26}{63}$ дополнительный множитель равен $504 / 63 = 8$.

$\frac{26}{63} = \frac{26 \cdot 8}{63 \cdot 8} = \frac{208}{504}$

Для дроби $\frac{17}{56}$ дополнительный множитель равен $504 / 56 = 9$.

$\frac{17}{56} = \frac{17 \cdot 9}{56 \cdot 9} = \frac{153}{504}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{208}{504}$ и $\frac{153}{504}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Так как $208 > 153$, то $\frac{208}{504} > \frac{153}{504}$.

Следовательно, $\frac{26}{63} > \frac{17}{56}$.

Ответ: $\frac{26}{63} > \frac{17}{56}$.

2) Сравнить дроби $\frac{31}{42}$ и $\frac{19}{24}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей 42 и 24.

Разложим на простые множители:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$24 = 2^3 \cdot 3$

НОК(42, 24) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Приведем дроби к знаменателю 168.

Для дроби $\frac{31}{42}$ дополнительный множитель равен $168 / 42 = 4$.

$\frac{31}{42} = \frac{31 \cdot 4}{42 \cdot 4} = \frac{124}{168}$

Для дроби $\frac{19}{24}$ дополнительный множитель равен $168 / 24 = 7$.

$\frac{19}{24} = \frac{19 \cdot 7}{24 \cdot 7} = \frac{133}{168}$

Сравниваем полученные дроби: так как $124 < 133$, то $\frac{124}{168} < \frac{133}{168}$.

Следовательно, $\frac{31}{42} < \frac{19}{24}$.

Ответ: $\frac{31}{42} < \frac{19}{24}$.

3) Сравнить дроби $\frac{2003}{2004}$ и $\frac{2004}{2005}$.

Обе дроби являются правильными (числитель меньше знаменателя) и близки к 1. В таких случаях удобно сравнить, на сколько каждая дробь меньше единицы.

Найдем разность между 1 и каждой из дробей:

$1 - \frac{2003}{2004} = \frac{2004}{2004} - \frac{2003}{2004} = \frac{1}{2004}$

$1 - \frac{2004}{2005} = \frac{2005}{2005} - \frac{2004}{2005} = \frac{1}{2005}$

Теперь нужно сравнить "недостающие" до единицы части: $\frac{1}{2004}$ и $\frac{1}{2005}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $2004 < 2005$, то $\frac{1}{2004} > \frac{1}{2005}$.

Это означает, что от дроби $\frac{2003}{2004}$ до единицы не хватает большей части, чем от дроби $\frac{2004}{2005}$. Следовательно, дробь $\frac{2003}{2004}$ меньше, чем дробь $\frac{2004}{2005}$.

Таким образом, $\frac{2003}{2004} < \frac{2004}{2005}$.

Ответ: $\frac{2003}{2004} < \frac{2004}{2005}$.