Номер 1122, страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 40. Нахождение дроби от числа. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1122, страница 249.

1122.Количество отсутствующих в классе учащихся составило $\frac{1}{6}$ количества присутствующих. После того как один ученик вышел из класса, количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ количества присутствующих. Сколько всего учащихся в этом классе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество присутствующих в классе учащихся, а $y$ — первоначальное количество отсутствующих.

Исходя из первого условия, что количество отсутствующих составило $\frac{1}{6}$ количества присутствующих, мы можем составить первое уравнение:

$y = \frac{1}{6}x$

Затем один ученик вышел из класса. Это означает, что число присутствующих уменьшилось на 1, а число отсутствующих увеличилось на 1. Новое количество присутствующих стало $x - 1$, а новое количество отсутствующих — $y + 1$. Общее количество учеников в классе при этом не изменилось.

Согласно второму условию, новое количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ нового количества присутствующих. Составим второе уравнение:

$y + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = \frac{1}{6}x \\ y + 1 = \frac{1}{5}(x - 1) \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{6}x + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30, чтобы избавиться от дробей:

$30 \cdot (\frac{1}{6}x + 1) = 30 \cdot \frac{1}{5}(x - 1)$

$5x + 30 = 6(x - 1)$

Раскроем скобки:

$5x + 30 = 6x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$30 + 6 = 6x - 5x$

$x = 36$

Таким образом, первоначально в классе присутствовало 36 учащихся.

Теперь найдем первоначальное количество отсутствующих, используя первое уравнение:

$y = \frac{1}{6}x = \frac{1}{6} \cdot 36 = 6$

Итак, сначала отсутствовало 6 учащихся.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество присутствующих и отсутствующих:

Общее количество учащихся = $x + y = 36 + 6 = 42$

Проверим результат:
1. Изначально: 36 присутствующих, 6 отсутствующих. Отношение отсутствующих к присутствующим: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Условие выполняется.
2. После выхода одного ученика: $36 - 1 = 35$ присутствующих, $6 + 1 = 7$ отсутствующих. Отношение отсутствующих к присутствующим: $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$. Второе условие также выполняется.

Ответ: всего в классе 42 учащихся.