Страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1116. За три недели продали 324 коробки конфет. За первую неделю продали $\frac{5}{18}$ этого количества, за вторую $\frac{15}{26}$ остатка. Сколько коробок конфет продали за третью неделю?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Рассчитаем, сколько коробок конфет было продано за первую неделю.

Согласно условию, за первую неделю продали $ \frac{5}{18} $ от общего количества. Найдем это значение:

$ 324 \cdot \frac{5}{18} = \frac{324 \cdot 5}{18} = 18 \cdot 5 = 90 $ (коробок).

2. Определим остаток коробок после первой недели продаж.

Вычтем из общего количества коробок то, что продали за первую неделю:

$ 324 - 90 = 234 $ (коробки).

3. Рассчитаем, сколько коробок конфет было продано за вторую неделю.

За вторую неделю продали $ \frac{15}{26} $ от остатка. Найдем это количество:

$ 234 \cdot \frac{15}{26} = \frac{234 \cdot 15}{26} = 9 \cdot 15 = 135 $ (коробок).

4. Найдем, сколько коробок конфет продали за третью неделю.

Для этого из общего количества коробок вычтем сумму коробок, проданных за первую и вторую недели:

$ 324 - (90 + 135) = 324 - 225 = 99 $ (коробок).

Также можно было найти остаток после второй недели, который и будет равен количеству коробок, проданных за третью неделю:

$ 234 - 135 = 99 $ (коробок).

Ответ: 99 коробок конфет.

1117. С поля площадью $14\frac{2}{7}$ га собрали урожай сахарной свёклы по 280 ц с каждого гектара. На сахарный завод отвезли $\frac{9}{16}$ урожая. Сколько центнеров сахара произвёл завод из этой свёклы, если выход сахара составляет $\frac{1}{6}$ массы переработанной свёклы?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить три действия:

1. Найти общий урожай сахарной свёклы, собранный со всего поля.
2. Рассчитать массу свёклы, которую отвезли на сахарный завод для переработки.
3. Определить, сколько сахара было произведено из этой массы свёклы.

1. Найдём общий урожай сахарной свёклы.

Площадь поля составляет $14\frac{2}{7}$ га. Урожайность — 280 центнеров (ц) с каждого гектара. Чтобы найти общий урожай, необходимо умножить площадь поля на урожайность.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$14\frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{98 + 2}{7} = \frac{100}{7}$ га.

Теперь вычислим общий урожай:
$\frac{100}{7} \times 280 = 100 \times \frac{280}{7} = 100 \times 40 = 4000$ ц.
Таким образом, с поля было собрано 4000 центнеров сахарной свёклы.

2. Найдём массу свёклы, отправленной на завод.

На сахарный завод было отвезено $\frac{9}{16}$ всего собранного урожая. Чтобы найти эту массу, умножим общий урожай на данную дробь:

$4000 \times \frac{9}{16} = \frac{4000 \times 9}{16}$.
Сократим 4000 и 16 на 16: $4000 \div 16 = 250$.
$250 \times 9 = 2250$ ц.
Следовательно, на завод было отправлено 2250 центнеров свёклы.

3. Найдём количество произведённого сахара.

По условию, выход сахара составляет $\frac{1}{6}$ от массы переработанной свёклы. Найдём массу произведённого сахара, умножив массу свёклы, поступившей на завод, на $\frac{1}{6}$:

$2250 \times \frac{1}{6} = \frac{2250}{6} = 375$ ц.

Ответ: завод произвёл 375 центнеров сахара.

1118. С поля площадью $11\frac{1}{4}$ га собрали урожай семян подсолнечника по $21\frac{1}{3}$ ц с каждого гектара. На масло переработали $\frac{33}{40}$ собранной массы семян. Сколько центнеров масла получили, если его выход составляет $\frac{1}{3}$ массы переработанных семян?

Для решения задачи выполним последовательно три действия.

1. Вычислим общую массу урожая семян подсолнечника.

Для этого умножим площадь поля на урожайность с одного гектара. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей.

Площадь поля: $11\frac{1}{4} \text{ га} = \frac{11 \times 4 + 1}{4} = \frac{45}{4} \text{ га}$.

Урожайность: $21\frac{1}{3} \text{ ц/га} = \frac{21 \times 3 + 1}{3} = \frac{64}{3} \text{ ц/га}$.

Теперь найдем общую массу собранных семян:

$\frac{45}{4} \times \frac{64}{3} = \frac{45 \times 64}{4 \times 3} = 15 \times 16 = 240 \text{ центнеров}$.

Итак, всего было собрано 240 центнеров семян подсолнечника.

2. Найдем массу семян, которую переработали на масло.

По условию, на масло пошла часть урожая, равная $\frac{33}{40}$ от общей массы. Вычислим эту массу:

$240 \times \frac{33}{40} = \frac{240}{40} \times 33 = 6 \times 33 = 198 \text{ центнеров}$.

Таким образом, на переработку отправили 198 центнеров семян.

3. Рассчитаем, сколько центнеров масла получили.

Выход масла составляет $\frac{1}{3}$ от массы переработанных семян. Найдем массу полученного масла:

$198 \times \frac{1}{3} = \frac{198}{3} = 66 \text{ центнеров}$.

Ответ: получили 66 центнеров масла.

1119. Казак Данила сварил кулеш. Сам съел $\frac{1}{4}$ казана, казаку Чубу дал $\frac{1}{3}$ остатка, казаку Белоусу — $\frac{1}{2}$ нового остатка, а казаку Ворону — остальное. После обеда казаки никак не могли выяснить, кому из них досталось больше кулеша. Помогите им разобраться.

Чтобы выяснить, кому из казаков досталось больше кулеша, нужно рассчитать долю каждого от общего объема казана. Примем весь объем кулеша за 1.

1. Казак Данила съел $\frac{1}{4}$ казана. После этого в казане осталось: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ кулеша.

2. Казак Чуб получил $\frac{1}{3}$ от остатка. Его доля от всего казана составляет: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. После этого в казане осталось: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ кулеша.

3. Казак Белоус получил $\frac{1}{2}$ от нового остатка. Его доля от всего казана составляет: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. После этого в казане осталось: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ кулеша.

4. Казак Ворон получил все остальное, что составляет $\frac{1}{4}$ от всего казана.

Теперь сравним доли каждого казака:

• Данила: $\frac{1}{4}$
• Чуб: $\frac{1}{4}$
• Белоус: $\frac{1}{4}$
• Ворон: $\frac{1}{4}$

Как видим, доли всех казаков равны.

Ответ: Всем казакам досталось кулеша поровну.

1120.От шнура длиной 10 м сначала отрезали $\frac{1}{5}$ его длины, затем — $\frac{1}{25}$ начальной длины, а потом — $\frac{1}{19}$ того, что осталось. Сколько метров шнура осталось после этих трёх операций?

Для того чтобы найти, сколько метров шнура осталось, выполним все действия по порядку. Начальная длина шнура — 10 м.

1. Сначала от шнура отрезали $\frac{1}{5}$ его длины. Найдем длину этого куска:
$10 \text{ м} \cdot \frac{1}{5} = \frac{10}{5} \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Теперь узнаем, какая длина шнура осталась после первого отреза:
$10 \text{ м} - 2 \text{ м} = 8 \text{ м}$.

2. Затем отрезали $\frac{1}{25}$ от начальной длины. Вычислим, сколько это в метрах:
$10 \text{ м} \cdot \frac{1}{25} = \frac{10}{25} \text{ м} = \frac{2}{5} \text{ м} = 0,4 \text{ м}$.
Вычтем эту длину из той, что осталась после первого действия:
$8 \text{ м} - 0,4 \text{ м} = 7,6 \text{ м}$.

3. Наконец, отрезали $\frac{1}{19}$ от того, что осталось. На данный момент осталось 7,6 м шнура. Найдем длину третьего отрезанного куска:
$7,6 \text{ м} \cdot \frac{1}{19} = \frac{76}{10} \text{ м} \cdot \frac{1}{19} = \frac{76}{190} \text{ м} = \frac{4}{10} \text{ м} = 0,4 \text{ м}$.
Теперь найдем окончательную длину оставшегося шнура:
$7,6 \text{ м} - 0,4 \text{ м} = 7,2 \text{ м}$.

Ответ: 7,2 м.

1121.Контрольную работу по математике писали менее 50 пятиклассников. Оценку «5» получили $\frac{1}{7}$ учащихся, писавших работу, оценку «4» — $\frac{1}{3}$ учащихся, оценку «3» — $\frac{1}{2}$ учащихся. Остальные, к сожалению, получили оценку «2». Сколько учащихся получило оценку «2»?

Пусть $N$ — общее количество пятиклассников, писавших контрольную работу. По условию задачи, $N < 50$.

Известно, что:

• $\frac{1}{7}$ всех учащихся получили оценку «5»;
• $\frac{1}{3}$ всех учащихся получили оценку «4»;
• $\frac{1}{2}$ всех учащихся получили оценку «3».

Поскольку количество учеников для каждой оценки должно быть целым числом, общее количество учащихся $N$ должно делиться нацело на знаменатели дробей, то есть на $7$, $3$ и $2$.

1. Нахождение общего количества учащихся

Чтобы найти такое число $N$, нужно найти общее кратное для чисел $7$, $3$ и $2$. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК). Так как эти числа являются взаимно простыми, их НОК равно их произведению:

$НОК(7, 3, 2) = 7 \cdot 3 \cdot 2 = 42$.

Это означает, что общее число учащихся $N$ должно быть кратно $42$. По условию, учащихся было менее $50$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям (кратно $42$ и меньше $50$), — это само число $42$.

Таким образом, контрольную работу писали $42$ учащихся.

2. Расчет количества учащихся, получивших оценку «2»

Существует два способа найти ответ.

Способ 1: через вычисление количества учеников для каждой оценки.

Найдем, сколько учащихся получили оценки «5», «4» и «3»:

• Количество получивших «5»: $42 \cdot \frac{1}{7} = 6$ учащихся.
• Количество получивших «4»: $42 \cdot \frac{1}{3} = 14$ учащихся.
• Количество получивших «3»: $42 \cdot \frac{1}{2} = 21$ учащийся.

Сложим количество этих учащихся: $6 + 14 + 21 = 41$ учащийся.

Остальные, по условию, получили «2». Найдем их количество, вычтя из общего числа учащихся сумму тех, кто получил другие оценки:

$42 - 41 = 1$ учащийся.

Способ 2: через вычисление доли учеников.

Найдем, какую часть от общего числа составляют ученики, получившие оценки «5», «4» и «3»:

$\frac{1}{7} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $42$:

$\frac{6}{42} + \frac{14}{42} + \frac{21}{42} = \frac{6 + 14 + 21}{42} = \frac{41}{42}$

Остальные учащиеся получили оценку «2». Их доля составляет:

$1 - \frac{41}{42} = \frac{42}{42} - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}$

Теперь найдем количество учащихся, составляющих $\frac{1}{42}$ от общего числа $42$:

$42 \cdot \frac{1}{42} = 1$ учащийся.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.

1122.Количество отсутствующих в классе учащихся составило $\frac{1}{6}$ количества присутствующих. После того как один ученик вышел из класса, количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ количества присутствующих. Сколько всего учащихся в этом классе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество присутствующих в классе учащихся, а $y$ — первоначальное количество отсутствующих.

Исходя из первого условия, что количество отсутствующих составило $\frac{1}{6}$ количества присутствующих, мы можем составить первое уравнение:

$y = \frac{1}{6}x$

Затем один ученик вышел из класса. Это означает, что число присутствующих уменьшилось на 1, а число отсутствующих увеличилось на 1. Новое количество присутствующих стало $x - 1$, а новое количество отсутствующих — $y + 1$. Общее количество учеников в классе при этом не изменилось.

Согласно второму условию, новое количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ нового количества присутствующих. Составим второе уравнение:

$y + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = \frac{1}{6}x \\ y + 1 = \frac{1}{5}(x - 1) \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{6}x + 1 = \frac{1}{5}(x - 1)$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30, чтобы избавиться от дробей:

$30 \cdot (\frac{1}{6}x + 1) = 30 \cdot \frac{1}{5}(x - 1)$

$5x + 30 = 6(x - 1)$

Раскроем скобки:

$5x + 30 = 6x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$30 + 6 = 6x - 5x$

$x = 36$

Таким образом, первоначально в классе присутствовало 36 учащихся.

Теперь найдем первоначальное количество отсутствующих, используя первое уравнение:

$y = \frac{1}{6}x = \frac{1}{6} \cdot 36 = 6$

Итак, сначала отсутствовало 6 учащихся.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество присутствующих и отсутствующих:

Общее количество учащихся = $x + y = 36 + 6 = 42$

Проверим результат:
1. Изначально: 36 присутствующих, 6 отсутствующих. Отношение отсутствующих к присутствующим: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Условие выполняется.
2. После выхода одного ученика: $36 - 1 = 35$ присутствующих, $6 + 1 = 7$ отсутствующих. Отношение отсутствующих к присутствующим: $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$. Второе условие также выполняется.

Ответ: всего в классе 42 учащихся.