Страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1072. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $3\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9} - 2\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9}$;

2) $7\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{8} + 7\frac{1}{5} \cdot 1\frac{5}{8}$;

3) $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{3}{5} \cdot 1\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$;

4) $4\frac{7}{9} \cdot 1\frac{13}{14} - 3\frac{7}{12} \cdot 1\frac{13}{14} + 1\frac{13}{14} \cdot 1\frac{13}{18}$.

1) $3\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9} - 2\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9}$

Наиболее удобным способом будет вынесение общего множителя $\frac{7}{9}$ за скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$.

$3\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{9} - 2\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9} = (3\frac{5}{14} - 2\frac{3}{14}) \cdot \frac{7}{9}$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$3\frac{5}{14} - 2\frac{3}{14} = (3-2) + (\frac{5}{14} - \frac{3}{14}) = 1 + \frac{2}{14} = 1\frac{2}{14} = 1\frac{1}{7}$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$1\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 9} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

2) $7\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{8} + 7\frac{1}{5} \cdot 1\frac{5}{8}$

Вынесем общий множитель $7\frac{1}{5}$ за скобки, используя распределительный закон умножения относительно сложения $a \cdot c + a \cdot d = a \cdot (c+d)$.

$7\frac{1}{5} \cdot (2\frac{1}{8} + 1\frac{5}{8})$

Сначала выполним сложение в скобках:

$2\frac{1}{8} + 1\frac{5}{8} = (2+1) + (\frac{1}{8} + \frac{5}{8}) = 3 + \frac{6}{8} = 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$

Теперь умножим результат на общий множитель. Для этого переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{36}{5}$

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

$\frac{36}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{36 \cdot 15}{5 \cdot 4} = \frac{(4 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 3)}{5 \cdot 4} = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: $27$

3) $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{3}{5} \cdot 1\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$

Вынесем общий множитель $1\frac{3}{5}$ за скобки:

$(\frac{3}{4} + 1\frac{3}{8} - 1\frac{1}{2}) \cdot 1\frac{3}{5}$

Выполним действия в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$

$1\frac{1}{2} = 1\frac{4}{8}$

$(\frac{6}{8} + 1\frac{3}{8}) - 1\frac{4}{8} = 1\frac{9}{8} - 1\frac{4}{8} = \frac{5}{8}$

Теперь умножим результат на общий множитель:

$\frac{5}{8} \cdot 1\frac{3}{5} = \frac{5}{8} \cdot \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5} = 1$

Ответ: $1$

4) $4\frac{7}{9} \cdot 1\frac{13}{14} - 3\frac{7}{12} \cdot 1\frac{13}{14} + 1\frac{13}{14} \cdot 1\frac{13}{18}$

Вынесем общий множитель $1\frac{13}{14}$ за скобки:

$(4\frac{7}{9} - 3\frac{7}{12} + 1\frac{13}{18}) \cdot 1\frac{13}{14}$

Выполним действия в скобках. Найдем общий знаменатель для дробей 9, 12, 18. НОК(9, 12, 18) = 36.

$4\frac{7}{9} = 4\frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = 4\frac{28}{36}$

$3\frac{7}{12} = 3\frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 3\frac{21}{36}$

$1\frac{13}{18} = 1\frac{13 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 1\frac{26}{36}$

Подставим в скобки:

$4\frac{28}{36} - 3\frac{21}{36} + 1\frac{26}{36} = (4-3+1) + (\frac{28-21+26}{36}) = 2 + \frac{33}{36} = 2\frac{33}{36} = 2\frac{11}{12}$

Теперь умножим результат на общий множитель. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{35}{12}$

$1\frac{13}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 13}{14} = \frac{27}{14}$

$\frac{35}{12} \cdot \frac{27}{14} = \frac{35 \cdot 27}{12 \cdot 14} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 9)}{(4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 2} = \frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}$

Ответ: $5\frac{5}{8}$

1073. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) $4\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} + \frac{5}{8} \cdot 3\frac{5}{9};$

2) $2\frac{11}{15} \cdot 1\frac{1}{19} - 1\frac{1}{19} \cdot \frac{3}{10} - 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{19}$

1) $4\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}+3\frac{5}{9}\cdot\frac{5}{8}$
Наиболее удобный способ решения данного примера — это использование распределительного свойства умножения. Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $\frac{5}{8}$. Вынесем его за скобки:
$4\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}+3\frac{5}{9}\cdot\frac{5}{8} = (4\frac{4}{9}+3\frac{5}{9})\cdot\frac{5}{8}$
Теперь выполним действие в скобках. Для сложения смешанных чисел сложим их целые и дробные части по отдельности:
$4\frac{4}{9}+3\frac{5}{9} = (4+3) + (\frac{4}{9}+\frac{5}{9}) = 7 + \frac{4+5}{9} = 7 + \frac{9}{9} = 7 + 1 = 8$
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$8 \cdot \frac{5}{8} = \frac{8 \cdot 5}{8} = 5$
Ответ: 5

2) $2\frac{11}{15}\cdot1\frac{1}{19}-1\frac{1}{19}\cdot\frac{3}{10}-1\frac{1}{6}\cdot1\frac{1}{19}$
В этом выражении также удобно применить распределительное свойство умножения. Общим множителем для всех трех членов является $1\frac{1}{19}$. Вынесем его за скобки:
$(2\frac{11}{15}-\frac{3}{10}-1\frac{1}{6})\cdot1\frac{1}{19}$
Сначала вычислим значение выражения в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 15, 10 и 6 равно 30.
$2\frac{11}{15} = 2\frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 2\frac{22}{30}$
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
$1\frac{1}{6} = 1\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = 1\frac{5}{30}$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$2\frac{22}{30} - \frac{9}{30} - 1\frac{5}{30} = 2\frac{13}{30} - 1\frac{5}{30} = (2-1) + (\frac{13-5}{30}) = 1 + \frac{8}{30} = 1\frac{8}{30}$
Сократим дробную часть полученного числа: $1\frac{8}{30} = 1\frac{4}{15}$.
Теперь умножим результат на общий множитель $1\frac{1}{19}$. Для удобства умножения переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{19}{15}$
$1\frac{1}{19} = \frac{1 \cdot 19 + 1}{19} = \frac{20}{19}$
Выполним умножение:
$\frac{19}{15} \cdot \frac{20}{19} = \frac{19 \cdot 20}{15 \cdot 19}$
Сократим дробь на 19:
$\frac{20}{15}$
Теперь сократим дробь на 5:
$\frac{20 \div 5}{15 \div 5} = \frac{4}{3}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

1074. Упростите выражение:

1) $ \frac{7}{27}m \cdot \frac{9}{28}n; $

2) $ 20x \cdot \frac{11}{35}y; $

3) $ 3\frac{4}{15}x \cdot 1\frac{17}{28}y \cdot \frac{4}{7}z. $

1) Чтобы упростить выражение $\frac{7}{27}m \cdot \frac{9}{28}n$, нужно перемножить числовые коэффициенты и буквенные множители.
$(\frac{7}{27} \cdot \frac{9}{28}) \cdot (m \cdot n) = \frac{7 \cdot 9}{27 \cdot 28} mn$
Сократим дробь. Число 7 в числителе и 28 в знаменателе делятся на 7. Число 9 в числителе и 27 в знаменателе делятся на 9.
$\frac{7 \cdot 9}{27 \cdot 28} mn = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} mn = \frac{1}{12} mn$
Ответ: $\frac{1}{12}mn$.

2) Чтобы упростить выражение $20x \cdot \frac{11}{35}y$, перемножим числовые коэффициенты.
$(20 \cdot \frac{11}{35}) \cdot (x \cdot y) = \frac{20 \cdot 11}{35} xy$
Сократим дробь. Числа 20 и 35 делятся на 5.
$\frac{(4 \cdot 5) \cdot 11}{(7 \cdot 5)} xy = \frac{4 \cdot 11}{7} xy = \frac{44}{7} xy$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{44}{7} xy = 6\frac{2}{7} xy$
Ответ: $6\frac{2}{7}xy$.

3) Чтобы упростить выражение $3\frac{4}{15}x \cdot 1\frac{17}{28}y \cdot \frac{4}{7}z$, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$3\frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{49}{15}$
$1\frac{17}{28} = \frac{1 \cdot 28 + 17}{28} = \frac{45}{28}$
Теперь перемножим полученные коэффициенты.
$(\frac{49}{15} \cdot \frac{45}{28} \cdot \frac{4}{7}) \cdot (x \cdot y \cdot z) = \frac{49 \cdot 45 \cdot 4}{15 \cdot 28 \cdot 7} xyz$
Сократим полученную дробь.
$\frac{49 \cdot 45 \cdot 4}{15 \cdot 28 \cdot 7} xyz = \frac{(7 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 15) \cdot 4}{15 \cdot (4 \cdot 7) \cdot 7} xyz$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (7, 15, 4 и еще одна 7).
$\frac{\cancel{49}^1 \cdot \cancel{45}^3 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{15}_1 \cdot \cancel{28}_4 \cdot \cancel{7}_1} xyz = \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1} xyz = 3xyz$
Можно выполнить сокращение по шагам:
$\frac{49}{7} = 7$; $\frac{45}{15} = 3$; $\frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.
Тогда произведение коэффициентов равно $7 \cdot 3 \cdot \frac{1}{7} = 3$.
Ответ: $3xyz$.

1075. Упростите выражение:

1) $\frac{5}{8}a \cdot \frac{4}{15}b;$

2) $6\frac{3}{4}x \cdot 1\frac{11}{45}y;$

3) $\frac{13}{24}d \cdot 32c.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{5}{8}a \cdot \frac{4}{15}b$, нужно перемножить числовые коэффициенты и переменные.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15}$. Для этого умножим числители и знаменатели:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15}$

Теперь сократим полученную дробь. Числитель 5 и знаменатель 15 делятся на 5. Числитель 4 и знаменатель 8 делятся на 4:

$\frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}_2 \cdot \cancel{15}_3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Далее умножим переменные: $a \cdot b = ab$.

В результате получаем:

$\frac{1}{6}ab$

Ответ: $\frac{1}{6}ab$.

2) Чтобы упростить выражение $6\frac{3}{4}x \cdot 1\frac{11}{45}y$, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{24 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

$1\frac{11}{45} = \frac{1 \cdot 45 + 11}{45} = \frac{45 + 11}{45} = \frac{56}{45}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{27}{4}x \cdot \frac{56}{45}y$.

Перемножим числовые коэффициенты: $\frac{27}{4} \cdot \frac{56}{45}$.

$\frac{27 \cdot 56}{4 \cdot 45}$

Сократим дробь. Числитель 27 и знаменатель 45 делятся на 9. Числитель 56 и знаменатель 4 делятся на 4:

$\frac{\cancel{27}^3 \cdot \cancel{56}^{14}}{\cancel{4}_1 \cdot \cancel{45}_5} = \frac{3 \cdot 14}{1 \cdot 5} = \frac{42}{5}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{42}{5} = 8\frac{2}{5}$

Перемножим переменные: $x \cdot y = xy$.

В результате получаем:

$8\frac{2}{5}xy$

Ответ: $8\frac{2}{5}xy$.

3) Чтобы упростить выражение $\frac{13}{24}d \cdot 32c$, перемножим числовые коэффициенты и переменные.

Перемножим числовые коэффициенты, представив целое число 32 как дробь $\frac{32}{1}$:

$\frac{13}{24} \cdot 32 = \frac{13}{24} \cdot \frac{32}{1} = \frac{13 \cdot 32}{24}$

Сократим дробь. Числитель 32 и знаменатель 24 делятся на 8:

$\frac{13 \cdot \cancel{32}^4}{\cancel{24}_3} = \frac{13 \cdot 4}{3} = \frac{52}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{52}{3} = 17\frac{1}{3}$

Перемножим переменные и запишем их в алфавитном порядке: $d \cdot c = cd$.

В результате получаем:

$17\frac{1}{3}cd$

Ответ: $17\frac{1}{3}cd$.

1076. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{3}a + \frac{5}{8}a + \frac{1}{6}a;$

2) $\frac{4}{5}b - \frac{2}{3}b + \frac{4}{15}b;$

3) $\frac{7}{12}y - \frac{3}{16}y + \frac{5}{24}y.$

1) $\frac{2}{3}a + \frac{5}{8}a + \frac{1}{6}a$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо сложить коэффициенты при переменной $a$. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$(\frac{2}{3} + \frac{5}{8} + \frac{1}{6})a$

Теперь сложим дроби в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 3, 8 и 6 является 24.

Приведем каждую дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$

Теперь выполним сложение полученных дробей:

$\frac{16}{24} + \frac{15}{24} + \frac{4}{24} = \frac{16 + 15 + 4}{24} = \frac{35}{24}$

Так как полученная дробь неправильная, выделим из нее целую часть:

$\frac{35}{24} = 1\frac{11}{24}$

Подставим полученный коэффициент обратно в выражение:

$1\frac{11}{24}a$

Ответ: $1\frac{11}{24}a$.

2) $\frac{4}{5}b - \frac{2}{3}b + \frac{4}{15}b$

Вынесем общий множитель $b$ за скобки, чтобы сложить и вычесть коэффициенты:

$(\frac{4}{5} - \frac{2}{3} + \frac{4}{15})b$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3 и 15 — это 15.

Приведем дроби к знаменателю 15:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

Третья дробь $\frac{4}{15}$ уже имеет нужный знаменатель.

Теперь выполним действия с дробями в скобках:

$\frac{12}{15} - \frac{10}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12 - 10 + 4}{15} = \frac{6}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5}$

Подставим упрощенный коэффициент обратно в выражение:

$\frac{2}{5}b$

Ответ: $\frac{2}{5}b$.

3) $\frac{7}{12}y - \frac{3}{16}y + \frac{5}{24}y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$(\frac{7}{12} - \frac{3}{16} + \frac{5}{24})y$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 12, 16 и 24. Для этого разложим их на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

НОК(12, 16, 24) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$. Общий знаменатель — 48.

Приведем дроби к знаменателю 48:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{28}{48}$

$\frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{9}{48}$

$\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{10}{48}$

Выполним действия с дробями:

$\frac{28}{48} - \frac{9}{48} + \frac{10}{48} = \frac{28 - 9 + 10}{48} = \frac{19 + 10}{48} = \frac{29}{48}$

Дробь $\frac{29}{48}$ является несократимой, так как числитель 29 — простое число, а 48 на 29 не делится.

Подставим полученный коэффициент обратно в выражение:

$\frac{29}{48}y$

Ответ: $\frac{29}{48}y$.

1077. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $ \frac{3}{8}x + \frac{4}{9}x - \frac{5}{12}x $, если $ x = 3\frac{3}{29} $;

2) $ 3\frac{3}{5}y - 2\frac{1}{3}y - \frac{1}{15}y $, если $ y = 10 $.

1) Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{3}{8}x + \frac{4}{9}x - \frac{5}{12}x = (\frac{3}{8} + \frac{4}{9} - \frac{5}{12})x$

Чтобы сложить и вычесть дроби в скобках, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8, 9 и 12 равен 72.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{32}{72}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 6}{12 \cdot 6} = \frac{30}{72}$

Теперь выполним действия в скобках:

$(\frac{27}{72} + \frac{32}{72} - \frac{30}{72})x = \frac{27 + 32 - 30}{72}x = \frac{59 - 30}{72}x = \frac{29}{72}x$

Теперь подставим значение $x = 3\frac{3}{29}$ в упрощенное выражение. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$x = 3\frac{3}{29} = \frac{3 \cdot 29 + 3}{29} = \frac{87 + 3}{29} = \frac{90}{29}$

Найдем значение выражения:

$\frac{29}{72}x = \frac{29}{72} \cdot \frac{90}{29} = \frac{29 \cdot 90}{72 \cdot 29} = \frac{90}{72}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 90 и 72 это 18:

$\frac{90}{72} = \frac{90 \div 18}{72 \div 18} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$.

2) Упростим данное выражение, вынеся за скобки общий множитель $y$:

$3\frac{3}{5}y - 2\frac{1}{3}y - \frac{1}{15}y = (3\frac{3}{5} - 2\frac{1}{3} - \frac{1}{15})y$

Для выполнения действий в скобках, переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь выражение в скобках выглядит так: $\frac{18}{5} - \frac{7}{3} - \frac{1}{15}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 15:

$\frac{18}{5} = \frac{18 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{54}{15}$

$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{35}{15}$

Выполним вычитание:

$(\frac{54}{15} - \frac{35}{15} - \frac{1}{15})y = \frac{54 - 35 - 1}{15}y = \frac{18}{15}y$

Сократим коэффициент $\frac{18}{15}$ на 3:

$\frac{18}{15}y = \frac{6}{5}y$

Теперь подставим значение $y = 10$ в упрощенное выражение:

$\frac{6}{5} \cdot 10 = \frac{6 \cdot 10}{5} = \frac{60}{5} = 12$

Ответ: $12$.

1078. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a$, если $a=1\frac{5}{7}$;

2) $\frac{4}{7}b+\frac{5}{21}b-\frac{2}{3}b$, если $b=2\frac{1}{3}$.

1) Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}a - \frac{1}{4}a = a \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4})$

Теперь выполним действия с дробями в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 12:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $\frac{7}{12}a$.

Теперь найдем значение этого выражения, если $a = 1\frac{5}{7}$. Представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$a = 1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение и вычислим:

$\frac{7}{12}a = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} = 1$

Ответ: 1

2) Упростим выражение $\frac{4}{7}b + \frac{5}{21}b - \frac{2}{3}b$. Вынесем $b$ за скобки:

$b \cdot (\frac{4}{7} + \frac{5}{21} - \frac{2}{3})$

Выполним действия с дробями в скобках. Общий знаменатель для дробей равен 21:

$\frac{4}{7} + \frac{5}{21} - \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3}{21} + \frac{5}{21} - \frac{2 \cdot 7}{21} = \frac{12+5-14}{21} = \frac{3}{21}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

Упрощенное выражение: $\frac{1}{7}b$.

Найдем значение выражения, если $b = 2\frac{1}{3}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$b = 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Подставим значение $b$ в упрощенное выражение и вычислим:

$\frac{1}{7}b = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

1079. Раскройте скобки:

1) $6 \cdot (\frac{2}{3}a + \frac{5}{12}b);$

2) $\frac{1}{3} \cdot (\frac{9}{11}m - \frac{6}{7}n);$

3) $12 \cdot (\frac{3}{4}x + \frac{13}{18}y - \frac{1}{24}z).$

1) Чтобы раскрыть скобки, применяется распределительный закон умножения. Нужно умножить множитель перед скобками (число 6) на каждое слагаемое внутри скобок.

$6 \cdot (\frac{2}{3}a + \frac{5}{12}b) = 6 \cdot \frac{2}{3}a + 6 \cdot \frac{5}{12}b$

Теперь вычислим каждое произведение отдельно:

Для первого слагаемого: $6 \cdot \frac{2}{3}a = \frac{6 \cdot 2}{3}a = \frac{12}{3}a = 4a$

Для второго слагаемого: $6 \cdot \frac{5}{12}b = \frac{6 \cdot 5}{12}b = \frac{30}{12}b$. Сократим дробь на 6: $\frac{30 \div 6}{12 \div 6}b = \frac{5}{2}b$.

Объединяем полученные результаты:

$4a + \frac{5}{2}b$

Ответ: $4a + \frac{5}{2}b$

2) Умножим множитель $\frac{1}{3}$ на каждый член выражения в скобках, учитывая знак.

$\frac{1}{3} \cdot (\frac{9}{11}m - \frac{6}{7}n) = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{11}m - \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}n$

Выполним умножение дробей:

Для первого члена: $\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{11}m = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 11}m = \frac{9}{33}m$. Сократим дробь на 3: $\frac{9 \div 3}{33 \div 3}m = \frac{3}{11}m$.

Для второго члена: $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}n = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 7}n = \frac{6}{21}n$. Сократим дробь на 3: $\frac{6 \div 3}{21 \div 3}n = \frac{2}{7}n$.

Запишем итоговое выражение:

$\frac{3}{11}m - \frac{2}{7}n$

Ответ: $\frac{3}{11}m - \frac{2}{7}n$

3) Умножим число 12 на каждый из трех членов выражения в скобках.

$12 \cdot (\frac{3}{4}x + \frac{13}{18}y - \frac{1}{24}z) = 12 \cdot \frac{3}{4}x + 12 \cdot \frac{13}{18}y - 12 \cdot \frac{1}{24}z$

Вычислим каждое произведение:

Для первого члена: $12 \cdot \frac{3}{4}x = \frac{12 \cdot 3}{4}x = \frac{36}{4}x = 9x$.

Для второго члена: $12 \cdot \frac{13}{18}y = \frac{12 \cdot 13}{18}y$. Сократим 12 и 18 на 6: $\frac{(12 \div 6) \cdot 13}{(18 \div 6)}y = \frac{2 \cdot 13}{3}y = \frac{26}{3}y$.

Для третьего члена: $12 \cdot \frac{1}{24}z = \frac{12}{24}z$. Сократим дробь на 12: $\frac{12 \div 12}{24 \div 12}z = \frac{1}{2}z$.

Объединяем все части:

$9x + \frac{26}{3}y - \frac{1}{2}z$

Ответ: $9x + \frac{26}{3}y - \frac{1}{2}z$

1080. Раскройте скобки:

1) $14 \cdot \left(\frac{1}{2}m + \frac{3}{7}n\right)$;

2) $\frac{1}{6} \cdot \left(\frac{12}{17}b - \frac{18}{23}c\right)$;

3) $8 \cdot \left(\frac{1}{4}p - \frac{5}{24}q + \frac{7}{12}t\right).$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $14 \cdot (\frac{1}{2}m + \frac{3}{7}n)$, воспользуемся распределительным свойством умножения. Умножим множитель $14$ на каждый член суммы в скобках.
$14 \cdot (\frac{1}{2}m + \frac{3}{7}n) = 14 \cdot \frac{1}{2}m + 14 \cdot \frac{3}{7}n$
Выполним умножение для первого члена:
$14 \cdot \frac{1}{2}m = \frac{14}{2}m = 7m$
Выполним умножение для второго члена:
$14 \cdot \frac{3}{7}n = \frac{14 \cdot 3}{7}n = \frac{42}{7}n = 6n$
Сложим полученные результаты:
$7m + 6n$
Ответ: $7m + 6n$

2) Раскроем скобки в выражении $\frac{1}{6} \cdot (\frac{12}{17}b - \frac{18}{23}c)$, умножив дробь $\frac{1}{6}$ на каждый член в скобках.
$\frac{1}{6} \cdot (\frac{12}{17}b - \frac{18}{23}c) = \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{17}b - \frac{1}{6} \cdot \frac{18}{23}c$
Умножим дроби для первого члена, сократив $6$ и $12$:
$\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{17}b = \frac{1 \cdot 12}{6 \cdot 17}b = \frac{2}{17}b$
Умножим дроби для второго члена, сократив $6$ и $18$:
$\frac{1}{6} \cdot \frac{18}{23}c = \frac{1 \cdot 18}{6 \cdot 23}c = \frac{3}{23}c$
Запишем итоговое выражение:
$\frac{2}{17}b - \frac{3}{23}c$
Ответ: $\frac{2}{17}b - \frac{3}{23}c$

3) Для раскрытия скобок в выражении $8 \cdot (\frac{1}{4}p - \frac{5}{24}q + \frac{7}{12}t)$ умножим число $8$ на каждый член в скобках.
$8 \cdot (\frac{1}{4}p - \frac{5}{24}q + \frac{7}{12}t) = 8 \cdot \frac{1}{4}p - 8 \cdot \frac{5}{24}q + 8 \cdot \frac{7}{12}t$
Вычислим значение каждого произведения, сокращая дроби:
$8 \cdot \frac{1}{4}p = \frac{8}{4}p = 2p$
$8 \cdot \frac{5}{24}q = \frac{8 \cdot 5}{24}q = \frac{5}{3}q$
$8 \cdot \frac{7}{12}t = \frac{8 \cdot 7}{12}t = \frac{2 \cdot 7}{3}t = \frac{14}{3}t$
Объединим полученные результаты:
$2p - \frac{5}{3}q + \frac{14}{3}t$
Ответ: $2p - \frac{5}{3}q + \frac{14}{3}t$

1081. Длина прямоугольного параллелепипеда равна $8\frac{1}{3}$ см, что на $\frac{5}{6}$ см больше его ширины и в $3\frac{3}{5}$ раза меньше его высоты. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда.

Для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда необходимо найти все три его измерения: длину, ширину и высоту. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Согласно условию, длина параллелепипеда $a = 8\frac{1}{3}$ см.

1. Найдём ширину параллелепипеда.

В условии сказано, что длина на $\frac{5}{6}$ см больше его ширины. Это означает, что ширина меньше длины на $\frac{5}{6}$ см. Вычислим ширину $b$:

$b = a - \frac{5}{6} = 8\frac{1}{3} - \frac{5}{6}$

Для выполнения вычитания представим смешанное число в виде неправильной дроби и приведём дроби к общему знаменателю, который равен 6:

$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$

$b = \frac{25}{3} - \frac{5}{6} = \frac{25 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6} = \frac{50}{6} - \frac{5}{6} = \frac{45}{6}$

Сократим полученную дробь:

$b = \frac{45 \div 3}{6 \div 3} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ см.

Таким образом, ширина параллелепипеда равна $7\frac{1}{2}$ см.

2. Найдём высоту параллелепипеда.

Из условия известно, что длина в $3\frac{3}{5}$ раза меньше его высоты. Следовательно, высота $c$ в $3\frac{3}{5}$ раза больше длины. Вычислим высоту:

$c = a \cdot 3\frac{3}{5} = 8\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{5}$

Представим смешанные числа в виде неправильных дробей для выполнения умножения:

$8\frac{1}{3} = \frac{25}{3}$

$3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$

Теперь перемножим дроби, предварительно сократив их:

$c = \frac{25}{3} \cdot \frac{18}{5} = \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{18}^6}{\cancel{5}_1} = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Таким образом, высота параллелепипеда равна $30$ см.

3. Вычислим объём прямоугольного параллелепипеда.

Объём $V$ вычисляется по формуле, как произведение трёх его измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

Подставим найденные значения длины, ширины и высоты:

$V = 8\frac{1}{3} \cdot 7\frac{1}{2} \cdot 30$

Используем их представления в виде неправильных дробей для удобства расчёта:

$V = \frac{25}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot 30 = \frac{25 \cdot 15 \cdot 30}{3 \cdot 2} = \frac{25 \cdot 15 \cdot 30}{6}$

Сократим выражение и выполним умножение:

$V = 25 \cdot \frac{15}{3} \cdot \frac{30}{2} = 25 \cdot 5 \cdot 15 = 125 \cdot 15 = 1875$ см³.

Ответ: объём прямоугольного параллелепипеда равен $1875$ см³.