Номер 1076, страница 243 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1076, страница 243.

1076. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{3}a + \frac{5}{8}a + \frac{1}{6}a;$

2) $\frac{4}{5}b - \frac{2}{3}b + \frac{4}{15}b;$

3) $\frac{7}{12}y - \frac{3}{16}y + \frac{5}{24}y.$

1) $\frac{2}{3}a + \frac{5}{8}a + \frac{1}{6}a$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо сложить коэффициенты при переменной $a$. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$(\frac{2}{3} + \frac{5}{8} + \frac{1}{6})a$

Теперь сложим дроби в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 3, 8 и 6 является 24.

Приведем каждую дробь к знаменателю 24, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$

Теперь выполним сложение полученных дробей:

$\frac{16}{24} + \frac{15}{24} + \frac{4}{24} = \frac{16 + 15 + 4}{24} = \frac{35}{24}$

Так как полученная дробь неправильная, выделим из нее целую часть:

$\frac{35}{24} = 1\frac{11}{24}$

Подставим полученный коэффициент обратно в выражение:

$1\frac{11}{24}a$

Ответ: $1\frac{11}{24}a$.

2) $\frac{4}{5}b - \frac{2}{3}b + \frac{4}{15}b$

Вынесем общий множитель $b$ за скобки, чтобы сложить и вычесть коэффициенты:

$(\frac{4}{5} - \frac{2}{3} + \frac{4}{15})b$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3 и 15 — это 15.

Приведем дроби к знаменателю 15:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

Третья дробь $\frac{4}{15}$ уже имеет нужный знаменатель.

Теперь выполним действия с дробями в скобках:

$\frac{12}{15} - \frac{10}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12 - 10 + 4}{15} = \frac{6}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5}$

Подставим упрощенный коэффициент обратно в выражение:

$\frac{2}{5}b$

Ответ: $\frac{2}{5}b$.

3) $\frac{7}{12}y - \frac{3}{16}y + \frac{5}{24}y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$(\frac{7}{12} - \frac{3}{16} + \frac{5}{24})y$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 12, 16 и 24. Для этого разложим их на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

НОК(12, 16, 24) = $2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$. Общий знаменатель — 48.

Приведем дроби к знаменателю 48:

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{28}{48}$

$\frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{9}{48}$

$\frac{5}{24} = \frac{5 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{10}{48}$

Выполним действия с дробями:

$\frac{28}{48} - \frac{9}{48} + \frac{10}{48} = \frac{28 - 9 + 10}{48} = \frac{19 + 10}{48} = \frac{29}{48}$

Дробь $\frac{29}{48}$ является несократимой, так как числитель 29 — простое число, а 48 на 29 не делится.

Подставим полученный коэффициент обратно в выражение:

$\frac{29}{48}y$

Ответ: $\frac{29}{48}y$.