Номер 1069, страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1069, страница 242.

1069. Найдите значение выражения:

1) $4\frac{2}{3} \cdot 6 - 1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} + 2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51};$

2) $\left(\frac{5}{12} + \frac{13}{20}\right)^2 \cdot 1\frac{13}{32}$

1) $4\frac{2}{3} \cdot 6 - 1\frac{23}{42} \cdot 3\frac{1}{13} + 2\frac{1}{8} \cdot 1\frac{29}{51}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций: сначала выполняются умножения, затем вычитание и сложение слева направо.

Первое действие (умножение):

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.

$\frac{14}{3} \cdot 6 = \frac{14 \cdot 6}{3} = 14 \cdot 2 = 28$.

Второе действие (умножение):

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{23}{42} = \frac{1 \cdot 42 + 23}{42} = \frac{65}{42}$

$3\frac{1}{13} = \frac{3 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{40}{13}$

$\frac{65}{42} \cdot \frac{40}{13} = \frac{65 \cdot 40}{42 \cdot 13} = \frac{(5 \cdot 13) \cdot 40}{42 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 40}{42} = \frac{200}{42} = \frac{100}{21}$.

Третье действие (умножение):

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$

$1\frac{29}{51} = \frac{1 \cdot 51 + 29}{51} = \frac{80}{51}$

$\frac{17}{8} \cdot \frac{80}{51} = \frac{17 \cdot 80}{8 \cdot 51} = \frac{17 \cdot (8 \cdot 10)}{8 \cdot (3 \cdot 17)} = \frac{10}{3}$.

Четвертое действие (вычитание и сложение):

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$28 - \frac{100}{21} + \frac{10}{3}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 21:

$28 = \frac{28 \cdot 21}{21} = \frac{588}{21}$

$\frac{10}{3} = \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{70}{21}$

Выполним вычисления:

$\frac{588}{21} - \frac{100}{21} + \frac{70}{21} = \frac{588 - 100 + 70}{21} = \frac{488 + 70}{21} = \frac{558}{21}$

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $5+5+8=18$, делится на 3, значит, и число 558 делится на 3.

$\frac{558 \div 3}{21 \div 3} = \frac{186}{7}$

Выделим целую часть:

$186 \div 7 = 26$ (остаток 4). Таким образом, $\frac{186}{7} = 26\frac{4}{7}$.

Ответ: $26\frac{4}{7}$

2) $(\frac{5}{12} + \frac{13}{20})^2 \cdot 1\frac{13}{32}$

Решим выражение по действиям: сначала выполним сложение в скобках, затем возведение в степень, и в конце умножение.

Первое действие (сложение в скобках):

$\frac{5}{12} + \frac{13}{20}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 20. НОК(12, 20) = 60.

$\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{13 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{25}{60} + \frac{39}{60} = \frac{25+39}{60} = \frac{64}{60}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{64 \div 4}{60 \div 4} = \frac{16}{15}$

Второе действие (возведение в квадрат):

$(\frac{16}{15})^2 = \frac{16^2}{15^2} = \frac{256}{225}$

Третье действие (умножение):

$\frac{256}{225} \cdot 1\frac{13}{32}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{13}{32} = \frac{1 \cdot 32 + 13}{32} = \frac{45}{32}$

Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{256}{225} \cdot \frac{45}{32} = \frac{256 \cdot 45}{225 \cdot 32}$

Так как $256 = 8 \cdot 32$ и $225 = 5 \cdot 45$, то:

$\frac{8 \cdot 32 \cdot 45}{5 \cdot 45 \cdot 32} = \frac{8}{5}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$

Ответ: $1\frac{3}{5}$