Номер 1067, страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 39. Умножение обыкновенных дробей. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1067, страница 242.

1067. Найдите значение степени:

1) $(\frac{1}{3})^5$;

2) $(\frac{3}{7})^3$;

3) $(1\frac{2}{5})^2$;

4) $(3\frac{1}{4})^2$.

1) Для того чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Используем формулу $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5}$
Вычисляем числитель: $1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Вычисляем знаменатель: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
Таким образом, получаем: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$.
Ответ: $\frac{1}{243}$.

2) Аналогично первому пункту, возводим числитель и знаменатель в указанную степень.
$(\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3}$
Вычисляем числитель: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Вычисляем знаменатель: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
В результате получаем: $(\frac{3}{7})^3 = \frac{27}{343}$.
Ответ: $\frac{27}{343}$.

3) В данном случае основание степени является смешанным числом. Сначала необходимо преобразовать его в неправильную дробь.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$.
Теперь возводим полученную неправильную дробь в квадрат:
$(\frac{7}{5})^2 = \frac{7^2}{5^2} = \frac{49}{25}$.
Для удобства можно преобразовать результат обратно в смешанное число, выделив целую часть:
$\frac{49}{25} = 1\frac{24}{25}$.
Ответ: $1\frac{24}{25}$.

4) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{12 + 1}{4} = \frac{13}{4}$.
Теперь возведем полученную дробь в квадрат:
$(\frac{13}{4})^2 = \frac{13^2}{4^2} = \frac{169}{16}$.
Преобразуем результат в смешанное число:
$\frac{169}{16} = 10\frac{9}{16}$ (так как $16 \cdot 10 = 160$, и $169 - 160 = 9$).
Ответ: $10\frac{9}{16}$.