Страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1107. Продали $m$ порций мороженого, $\frac{5}{8}$ которых составляло эскимо. Составьте выражение для нахождения количества порций эскимо и вычислите его значение при $m = 120$.

Составление выражения для нахождения количества порций эскимо

По условию задачи, общее количество проданных порций мороженого равно $m$. Количество порций эскимо составляет $\frac{5}{8}$ от общего количества. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. Следовательно, выражение для нахождения количества порций эскимо будет выглядеть так:

$m \cdot \frac{5}{8}$

Ответ: $m \cdot \frac{5}{8}$

Вычисление значения выражения при m = 120

Теперь необходимо найти значение полученного выражения, подставив в него $m = 120$:

$120 \cdot \frac{5}{8}$

Для удобства вычислений сначала разделим 120 на знаменатель 8, а затем умножим на числитель 5.

1. Делим 120 на 8:

$120 \div 8 = 15$

2. Умножаем полученный результат на 5:

$15 \cdot 5 = 75$

Таким образом, было продано 75 порций эскимо.

Ответ: 75

1108.В саду растёт $a$ кустов роз, $\frac{3}{14}$ которых составляют розовые. Составьте выражение для нахождения количества кустов розовых роз и вычислите его значение при $a = 210$.

Составление выражения для нахождения количества кустов розовых роз

По условию задачи, общее количество кустов роз в саду равно $a$. Количество кустов розовых роз составляет $\frac{3}{14}$ от общего числа.

Чтобы найти часть от целого числа, необходимо это число умножить на дробь, выражающую эту часть. В данном случае, чтобы найти количество кустов розовых роз, нужно общее количество кустов $a$ умножить на дробь $\frac{3}{14}$.

Выражение для нахождения количества кустов розовых роз: $a \cdot \frac{3}{14}$.

Ответ: $a \cdot \frac{3}{14}$.

Вычисление значения выражения при a = 210

Теперь подставим в полученное выражение значение $a = 210$ и вычислим количество кустов.

$210 \cdot \frac{3}{14} = \frac{210 \cdot 3}{14}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель. Число 210 и 14 делятся на 14.

$210 : 14 = 15$

Тогда выражение примет вид:

$\frac{210 \cdot 3}{14} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 3}{14} = 15 \cdot 3 = 45$

Таким образом, при $a = 210$ в саду растет 45 кустов розовых роз.

Ответ: 45.

1109. В дом отдыха привезли 1440 кг апельсинов и мандаринов. Апельсины составляли $\frac{7}{12}$ массы привезённых фруктов. Сколько килограммов мандаринов привезли в дом отдыха?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1

1. Найдем массу апельсинов. Для этого общую массу всех фруктов умножим на долю, которую составляют апельсины:

$1440 \cdot \frac{7}{12} = \frac{1440 \cdot 7}{12} = 120 \cdot 7 = 840$ кг.

Таким образом, масса апельсинов составляет 840 кг.

2. Теперь найдем массу мандаринов. Для этого из общей массы фруктов вычтем массу апельсинов:

$1440 - 840 = 600$ кг.

Ответ: в дом отдыха привезли 600 кг мандаринов.

Способ 2

1. Примем всю массу фруктов за 1. Найдем, какую часть от общей массы составляют мандарины. Для этого из 1 вычтем долю апельсинов:

$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.

Таким образом, мандарины составляют $\frac{5}{12}$ от общей массы фруктов.

2. Теперь найдем массу мандаринов. Для этого общую массу фруктов умножим на долю, которую составляют мандарины:

$1440 \cdot \frac{5}{12} = \frac{1440 \cdot 5}{12} = 120 \cdot 5 = 600$ кг.

Ответ: в дом отдыха привезли 600 кг мандаринов.

1110. Построили 192 коттеджа, из них $ \frac{7}{16} $ — двухэтажные, а остальные — трёхэтажные. Сколько построили трёхэтажных коттеджей?

Для решения задачи можно пойти двумя путями.

Способ 1: Найти количество двухэтажных коттеджей и вычесть его из общего числа.

1. Сначала найдём, сколько было построено двухэтажных коттеджей. Для этого общее количество коттеджей (192) нужно умножить на их долю ($\frac{7}{16}$):
$192 \cdot \frac{7}{16} = \frac{192 \cdot 7}{16} = 12 \cdot 7 = 84$ (двухэтажных коттеджа).

2. Теперь, зная общее количество коттеджей и количество двухэтажных, найдём количество трёхэтажных коттеджей, вычтя из общего числа количество двухэтажных:
$192 - 84 = 108$ (трёхэтажных коттеджей).

Ответ: 108.

Способ 2: Найти долю трёхэтажных коттеджей и вычислить их количество.

1. Примем общее количество коттеджей за 1. Если доля двухэтажных коттеджей составляет $\frac{7}{16}$, то доля трёхэтажных будет равна разности:
$1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

2. Теперь найдём количество трёхэтажных коттеджей, умножив общее количество коттеджей (192) на их долю ($\frac{9}{16}$):
$192 \cdot \frac{9}{16} = \frac{192 \cdot 9}{16} = 12 \cdot 9 = 108$ (трёхэтажных коттеджей).

Ответ: 108.

1111. Учебники составляют $ \frac{1}{3} $ всех книг школьной библиотеки, а учебники по математике $ \frac{6}{25} $ всех учебников. Какую часть всех книг, имеющихся в библиотеке, составляют учебники по математике?

Чтобы определить, какую часть от всех книг в библиотеке составляют учебники по математике, необходимо найти произведение двух долей: доли всех учебников от общего количества книг и доли учебников по математике от общего количества учебников.

Из условия задачи известно:

• Доля всех учебников от общего числа книг составляет $\frac{1}{3}$.
• Доля учебников по математике от общего числа учебников составляет $\frac{6}{25}$.

Для нахождения искомой части, умножим эти две дроби:

$\frac{1}{3} \times \frac{6}{25} = \frac{1 \times 6}{3 \times 25} = \frac{6}{75}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 6 и 75 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{6 \div 3}{75 \div 3} = \frac{2}{25}$

Следовательно, учебники по математике составляют $\frac{2}{25}$ всех книг, имеющихся в библиотеке.

Ответ: $\frac{2}{25}$

1112. Каштаны составляют $ \frac{5}{18} $ всех деревьев, растущих в парке, а дубы — $ \frac{9}{10} $ количества каштанов. Какую часть всех деревьев в парке составляют дубы?

Чтобы определить, какую часть всех деревьев в парке составляют дубы, необходимо найти произведение доли каштанов от всех деревьев и доли дубов от количества каштанов.

По условию, каштаны составляют $ \frac{5}{18} $ всех деревьев. Дубы составляют $ \frac{9}{10} $ от количества каштанов.

Вычислим долю дубов от общего числа деревьев, перемножив эти дроби:

$ \frac{5}{18} \cdot \frac{9}{10} $

Чтобы упростить вычисление, сократим дроби перед умножением. Числитель первой дроби (5) и знаменатель второй (10) можно сократить на 5. Знаменатель первой дроби (18) и числитель второй (9) можно сократить на 9.

$ \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{18}^2} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{10}^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} $

Теперь перемножим полученные дроби:

$ \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} $

Следовательно, дубы составляют $ \frac{1}{4} $ всех деревьев, растущих в парке.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

1113. Трое рабочих изготовили 216 деталей. Первый рабочий изготовил $ \frac{7}{18} $ этих деталей, второй $ \frac{13}{36} $. Сколько деталей изготовил третий рабочий?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Последовательное вычисление количества деталей

1. Вычислим количество деталей, изготовленных первым рабочим.
Чтобы найти количество деталей, нужно общее количество (216) умножить на долю первого рабочего ($\frac{7}{18}$).
$216 \cdot \frac{7}{18} = \frac{216}{18} \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$ детали.

2. Вычислим количество деталей, изготовленных вторым рабочим.
Аналогично, умножим общее количество деталей (216) на долю второго рабочего ($\frac{13}{36}$).
$216 \cdot \frac{13}{36} = \frac{216}{36} \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78$ деталей.

3. Вычислим количество деталей, изготовленных третьим рабочим.
Для этого из общего количества деталей (216) вычтем сумму деталей, изготовленных первым и вторым рабочими.
$216 - (84 + 78) = 216 - 162 = 54$ детали.

Способ 2: Вычисление через дроби

1. Найдем, какую общую часть деталей изготовили первый и второй рабочие вместе.
Для этого сложим их доли. Приведем дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{13}{36}$ к общему знаменателю 36.
$\frac{7}{18} + \frac{13}{36} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} + \frac{13}{36} = \frac{14}{36} + \frac{13}{36} = \frac{27}{36}$.
Сократим полученную дробь на 9: $\frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$.

2. Найдем, какую часть деталей изготовил третий рабочий.
Все детали примем за 1 (целое). Чтобы найти долю третьего рабочего, вычтем из целого долю, изготовленную первыми двумя рабочими.
$1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

3. Вычислим количество деталей, изготовленных третьим рабочим.
Теперь умножим общее количество деталей (216) на долю третьего рабочего ($\frac{1}{4}$):
$216 \cdot \frac{1}{4} = \frac{216}{4} = 54$ детали.

Оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: 54 детали.

1114. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что, посланный с важным донесением из Москвы в Париж, он проскакал на коне 2460 км за четыре дня. В первый день он преодолел – $\frac{3}{20}$ расстояния, во второй – $\frac{4}{15}$, в третий – $\frac{7}{30}$. Сколько километров проскакал барон Мюнхгаузен в четвёртый день?

Для того чтобы найти, какое расстояние барон Мюнхгаузен проскакал в четвёртый день, нужно сначала определить, какую часть всего пути он преодолел за первые три дня. Затем найти, какая часть пути осталась на четвёртый день, и после этого вычислить это расстояние в километрах.

1. Найдём, какую часть всего расстояния барон проехал за первые три дня. Для этого сложим дроби, обозначающие части пути за каждый из дней:

$ \frac{3}{20} + \frac{4}{15} + \frac{7}{30} $

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 20, 15 и 30 является 60.

$ \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{9}{60} + \frac{16}{60} + \frac{14}{60} = \frac{9+16+14}{60} = \frac{39}{60} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{39 \div 3}{60 \div 3} = \frac{13}{20} $

Итак, за первые три дня барон Мюнхгаузен проскакал $ \frac{13}{20} $ всего пути.

2. Теперь найдём, какая часть пути осталась на четвёртый день. Весь путь примем за единицу (1):

$ 1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20} $

Таким образом, в четвёртый день барон проскакал $ \frac{7}{20} $ всего расстояния.

3. Вычислим, сколько это составляет в километрах, зная, что весь путь равен 2460 км:

$ 2460 \cdot \frac{7}{20} = \frac{2460 \cdot 7}{20} = 123 \cdot 7 = 861 $ км.

Ответ: 861 км.

1115. Волшебный Дровосек нарубил $9 \frac{3}{8}$ $m^3$ дров. В первый день он нарубил $\frac{2}{5}$ всего объёма дров, а во второй $\frac{4}{9}$ остатка. Сколько кубометров дров нарубил Волшебный Дровосек во второй день?

Для того чтобы найти, сколько кубометров дров нарубил Волшебный Дровосек во второй день, выполним вычисления по шагам.

1. Сначала найдём объём дров, нарубленный в первый день. Для этого общий объём дров, равный $9\frac{3}{8}$ м³, умножим на долю, нарубленную в первый день, то есть на $\frac{2}{5}$.

Переведём смешанное число в неправильную дробь:

$9\frac{3}{8} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{75}{8}$ м³.

Вычислим объём дров за первый день:

$\frac{75}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{75 \cdot 2}{8 \cdot 5} = \frac{150}{40} = \frac{15}{4}$ м³.

2. Теперь вычислим, какой объём дров остался после первого дня. Для этого из общего объёма вычтем объём, нарубленный в первый день:

$\frac{75}{8} - \frac{15}{4} = \frac{75}{8} - \frac{15 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{75}{8} - \frac{30}{8} = \frac{45}{8}$ м³.

3. Наконец, найдём объём дров, нарубленный во второй день. Он составляет $\frac{4}{9}$ от остатка. Умножим остаток на эту долю:

$\frac{45}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{45 \cdot 4}{8 \cdot 9}$.

Сократим множители до перемножения для удобства:

$\frac{\cancel{45}^5 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{9}^1} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}$ м³.

Представим результат в виде смешанного числа:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ м³.

Ответ: $2\frac{1}{2}$ м³.