Страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1057. Расшифруйте фамилию выдающегося математика и педагога, который много лет работал с одаренной молодежью, был одним из руководителей первых московских олимпиад юных математиков и школьного математического кружка при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Номер примера соответствует месту, на котором стоит буква в слове.

1) $ \frac{13}{30} \cdot \frac{18}{65}; $

2) $ \frac{5}{24} \cdot \frac{9}{20}; $

3) $ \frac{4}{9} \cdot 6; $

4) $ \frac{27}{35} \cdot \frac{14}{45}; $

5) $ \frac{5}{42} \cdot \frac{7}{25}; $

6) $ \frac{3}{25} \cdot \frac{5}{36}; $

7) $ 1\frac{6}{11} \cdot 1\frac{21}{34}; $

8) $ 2\frac{7}{8} \cdot 2\frac{2}{23}; $

9) $ 1\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{20}; $

10) $ 1\frac{4}{15} \cdot 1\frac{7}{38}; $

Ответ: $ \frac{1}{60} $ $ \frac{1}{30} $ $ \frac{1}{20} $ $ \frac{3}{32} $ $ \frac{3}{25} $ $ \frac{6}{25} $ $ 1\frac{1}{2} $ $ 2\frac{1}{2} $ $ 2\frac{2}{3} $ $ 6 $

Буква: Г О О О К М В О Л Р

Чтобы расшифровать фамилию, необходимо решить 10 примеров. Результат каждого примера соответствует определённой букве из таблицы. Номер примера указывает на порядковый номер буквы в фамилии.

1)
Выполним умножение дробей: $\frac{13}{30} \cdot \frac{18}{65}$.
Сократим числитель и знаменатель на общие множители: 13 и 65 делятся на 13, 18 и 30 делятся на 6.
$\frac{13 \cdot 18}{30 \cdot 65} = \frac{(13:13) \cdot (18:6)}{(30:6) \cdot (65:13)} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \frac{3}{25}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква К.
Ответ: $\frac{3}{25}$

2)
Выполним умножение дробей: $\frac{5}{24} \cdot \frac{9}{20}$.
Сократим дроби: 5 и 20 делятся на 5, 9 и 24 делятся на 3.
$\frac{5 \cdot 9}{24 \cdot 20} = \frac{(5:5) \cdot (9:3)}{(24:3) \cdot (20:5)} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 4} = \frac{3}{32}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква О.
Ответ: $\frac{3}{32}$

3)
Выполним умножение дроби на число: $\frac{4}{9} \cdot 6$.
Представим 6 как дробь $\frac{6}{1}$ и сократим: 6 и 9 делятся на 3.
$\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{1} = \frac{4 \cdot (6:3)}{(9:3) \cdot 1} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква Л.
Ответ: $2\frac{2}{3}$

4)
Выполним умножение дробей: $\frac{27}{35} \cdot \frac{14}{45}$.
Сократим дроби: 27 и 45 делятся на 9, 14 и 35 делятся на 7.
$\frac{27 \cdot 14}{35 \cdot 45} = \frac{(27:9) \cdot (14:7)}{(35:7) \cdot (45:9)} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{6}{25}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква М.
Ответ: $\frac{6}{25}$

5)
Выполним умножение дробей: $\frac{5}{42} \cdot \frac{7}{25}$.
Сократим дроби: 5 и 25 делятся на 5, 7 и 42 делятся на 7.
$\frac{5 \cdot 7}{42 \cdot 25} = \frac{(5:5) \cdot (7:7)}{(42:7) \cdot (25:5)} = \frac{1 \cdot 1}{6 \cdot 5} = \frac{1}{30}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква О.
Ответ: $\frac{1}{30}$

6)
Выполним умножение дробей: $\frac{3}{25} \cdot \frac{5}{36}$.
Сократим дроби: 3 и 36 делятся на 3, 5 и 25 делятся на 5.
$\frac{3 \cdot 5}{25 \cdot 36} = \frac{(3:3) \cdot (5:5)}{(25:5) \cdot (36:3)} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 12} = \frac{1}{60}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква Г.
Ответ: $\frac{1}{60}$

7)
Выполним умножение смешанных чисел: $1\frac{6}{11} \cdot 1\frac{21}{34}$.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{6}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{17}{11}$
$1\frac{21}{34} = \frac{1 \cdot 34 + 21}{34} = \frac{55}{34}$
Перемножим и сократим дроби: 17 и 34 делятся на 17, 55 и 11 делятся на 11.
$\frac{17}{11} \cdot \frac{55}{34} = \frac{(17:17) \cdot (55:11)}{(11:11) \cdot (34:17)} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква О.
Ответ: $2\frac{1}{2}$

8)
Выполним умножение смешанных чисел: $2\frac{7}{8} \cdot 2\frac{2}{23}$.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{23}{8}$
$2\frac{2}{23} = \frac{2 \cdot 23 + 2}{23} = \frac{48}{23}$
Перемножим и сократим дроби: 23 и 23 сокращаются, 48 и 8 делятся на 8.
$\frac{23}{8} \cdot \frac{48}{23} = \frac{23 \cdot 48}{8 \cdot 23} = \frac{48}{8} = 6$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква Р.
Ответ: $6$

9)
Выполним умножение смешанного числа на дробь: $1\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{20}$.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Перемножим и сократим дроби: 3 и 3 сокращаются, 4 и 20 делятся на 4.
$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{20} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
Данного ответа нет в таблице. Вероятно, в условии примера допущена опечатка. Для составления фамилии предполагается, что на этом месте должна быть буква О, которой соответствуют ответы $\frac{1}{30}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{3}{32}$ или $2\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

10)
Выполним умножение смешанных чисел: $1\frac{4}{15} \cdot 1\frac{7}{38}$.
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 4}{15} = \frac{19}{15}$
$1\frac{7}{38} = \frac{1 \cdot 38 + 7}{38} = \frac{45}{38}$
Перемножим и сократим дроби: 19 и 38 делятся на 19, 45 и 15 делятся на 15.
$\frac{19}{15} \cdot \frac{45}{38} = \frac{(19:19) \cdot (45:15)}{(15:15) \cdot (38:19)} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Согласно таблице, этому ответу соответствует буква В.
Ответ: $1\frac{1}{2}$

Соберем буквы в соответствии с номерами примеров:

1. К
2. О
3. Л
4. М
5. О
6. Г
7. О
8. Р
9. О (предположительно, из-за опечатки в условии)
10. В

Таким образом, расшифрованная фамилия выдающегося математика и педагога — Колмогоров.

1058. Найдите значение выражения:

1) $ \left( \frac{11}{18} - \frac{4}{9} \right) \cdot \frac{3}{16}; $

2) $ \frac{11}{18} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{16}; $

3) $ 1\frac{3}{5} \cdot \left( \frac{3}{4} + 1\frac{3}{8} \right); $

4) $ 1\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} + 1\frac{3}{8}; $

5) $ 1\frac{3}{25} \cdot 2\frac{1}{7} - 2\frac{1}{9} \cdot \frac{27}{190}; $

6) $ \left( 8 - 2\frac{1}{7} \cdot 3\frac{1}{9} \right) \cdot \frac{27}{44}. $

1) $(\frac{11}{18} - \frac{4}{9}) \cdot \frac{3}{16}$
Сначала выполняем вычитание в скобках, приводя дроби к общему знаменателю 18:
$\frac{11}{18} - \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{11}{18} - \frac{8}{18} = \frac{11 - 8}{18} = \frac{3}{18}$
Сокращаем полученную дробь: $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.
Теперь выполняем умножение:
$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{16} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 16} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

2) $\frac{11}{18} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{16}$
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение:
$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$ (сокращаем 4 и 16 на 4, а 3 и 9 на 3).
Теперь выполняем вычитание, приводя дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{11}{18} - \frac{1}{12} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{22}{36} - \frac{3}{36} = \frac{19}{36}$.
Ответ: $\frac{19}{36}$

3) $1\frac{3}{5} \cdot (\frac{3}{4} + 1\frac{3}{8})$
Сначала выполняем сложение в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и приводим к общему знаменателю 8:
$\frac{3}{4} + 1\frac{3}{8} = \frac{3}{4} + \frac{11}{8} = \frac{6}{8} + \frac{11}{8} = \frac{17}{8}$.
Теперь выполняем умножение, предварительно преобразовав $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь $\frac{8}{5}$:
$\frac{8}{5} \cdot \frac{17}{8} = \frac{8 \cdot 17}{5 \cdot 8} = \frac{17}{5}$.
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$.
Ответ: $3\frac{2}{5}$

4) $1\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} + 1\frac{3}{8}$
Сначала выполняем умножение, преобразовав $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь $\frac{8}{5}$:
$\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$.
Теперь выполняем сложение. Преобразуем $1\frac{3}{8}$ в неправильную дробь $\frac{11}{8}$ и приводим к общему знаменателю 40:
$\frac{6}{5} + \frac{11}{8} = \frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{48}{40} + \frac{55}{40} = \frac{103}{40}$.
Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{103}{40} = 2\frac{23}{40}$.
Ответ: $2\frac{23}{40}$

5) $1\frac{3}{25} \cdot 2\frac{1}{7} - 2\frac{1}{9} \cdot \frac{27}{190}$
Выполняем первое умножение, преобразовав смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{3}{25} \cdot 2\frac{1}{7} = \frac{28}{25} \cdot \frac{15}{7} = \frac{28 \cdot 15}{25 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{12}{5}$.
Выполняем второе умножение:
$2\frac{1}{9} \cdot \frac{27}{190} = \frac{19}{9} \cdot \frac{27}{190} = \frac{19 \cdot 27}{9 \cdot 190} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 10} = \frac{3}{10}$.
Выполняем вычитание:
$\frac{12}{5} - \frac{3}{10} = \frac{24}{10} - \frac{3}{10} = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$.
Ответ: $2\frac{1}{10}$

6) $(8 - 2\frac{1}{7} \cdot 3\frac{1}{9}) \cdot \frac{27}{44}$
Сначала выполняем умножение в скобках, преобразовав смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{7} \cdot 3\frac{1}{9} = \frac{15}{7} \cdot \frac{28}{9} = \frac{15 \cdot 28}{7 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{20}{3}$.
Теперь выполняем вычитание в скобках:
$8 - \frac{20}{3} = \frac{24}{3} - \frac{20}{3} = \frac{4}{3}$.
Выполняем итоговое умножение:
$\frac{4}{3} \cdot \frac{27}{44} = \frac{4 \cdot 27}{3 \cdot 44} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 11} = \frac{9}{11}$.
Ответ: $\frac{9}{11}$

1059. Найдите значение выражения:

1) $15\frac{4}{9} - 4\frac{4}{9} \cdot 3\frac{3}{8};$

2) $\frac{81}{88} \cdot \left(6 - 1\frac{13}{15} \cdot 1\frac{19}{21}\right);$

3) $\left(5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8}\right)\left(\frac{5}{6} + \frac{3}{14}\right);$

4) $5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{5}{6} + \frac{3}{14}\right).$

1) Найдем значение выражения $15\frac{4}{9} - 4\frac{4}{9} \cdot 3\frac{3}{8}$.
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполним умножение, а затем вычитание. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$4\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{40}{9}$
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$
1. Выполним умножение: $4\frac{4}{9} \cdot 3\frac{3}{8} = \frac{40}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{40 \cdot 27}{9 \cdot 8}$
Сократим дробь: $40$ и $8$ на $8$, $27$ и $9$ на $9$.
$\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 15$
2. Выполним вычитание: $15\frac{4}{9} - 15 = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) Найдем значение выражения $\frac{81}{88} \cdot \left(6 - 1\frac{13}{15} \cdot 1\frac{19}{21}\right)$.
Сначала выполним действия в скобках: умножение, затем вычитание. После этого результат умножим на $\frac{81}{88}$.
1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и выполним умножение в скобках: $1\frac{13}{15} \cdot 1\frac{19}{21} = \frac{1 \cdot 15 + 13}{15} \cdot \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{28}{15} \cdot \frac{40}{21}$
Сократим дроби перед умножением: $28$ и $21$ на $7$, $40$ и $15$ на $5$.
$\frac{4}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{9}$
2. Выполним вычитание в скобках: $6 - \frac{32}{9} = \frac{6 \cdot 9}{9} - \frac{32}{9} = \frac{54 - 32}{9} = \frac{22}{9}$
3. Выполним умножение: $\frac{81}{88} \cdot \frac{22}{9}$
Сократим дроби: $81$ и $9$ на $9$, $88$ и $22$ на $22$.
$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{1} = \frac{9}{4}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$
Ответ: $2\frac{1}{4}$

3) Найдем значение выражения $\left(5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8}\right) \left(\frac{5}{6} + \frac{3}{14}\right)$.
Сначала выполним действия в каждой из скобок, а затем перемножим полученные результаты.
1. Выполним вычитание в первой скобке: $5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю $16$: $5\frac{1}{16} - 1\frac{2}{16} = 4\frac{17}{16} - 1\frac{2}{16} = 3\frac{15}{16}$
2. Выполним сложение во второй скобке: $\frac{5}{6} + \frac{3}{14}$
Найдем общий знаменатель, который равен $42$: $\frac{5 \cdot 7}{42} + \frac{3 \cdot 3}{42} = \frac{35}{42} + \frac{9}{42} = \frac{44}{42} = \frac{22}{21}$
3. Перемножим результаты: $3\frac{15}{16} \cdot \frac{22}{21}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $\frac{3 \cdot 16 + 15}{16} \cdot \frac{22}{21} = \frac{63}{16} \cdot \frac{22}{21}$
Сократим дроби: $63$ и $21$ на $21$, $22$ и $16$ на $2$.
$\frac{3}{8} \cdot \frac{11}{1} = \frac{33}{8}$
Преобразуем в смешанное число: $\frac{33}{8} = 4\frac{1}{8}$
Ответ: $4\frac{1}{8}$

4) Найдем значение выражения $5\frac{1}{16} - 1\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{5}{6} + \frac{3}{14}\right)$.
Сначала выполним действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Выполним сложение в скобках: $\frac{5}{6} + \frac{3}{14}$
Общий знаменатель $42$: $\frac{5 \cdot 7}{42} + \frac{3 \cdot 3}{42} = \frac{35+9}{42} = \frac{44}{42} = \frac{22}{21}$
2. Выполним умножение: $1\frac{1}{8} \cdot \frac{22}{21}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $\frac{9}{8} \cdot \frac{22}{21}$
Сократим дроби: $9$ и $21$ на $3$, $22$ и $8$ на $2$.
$\frac{3}{4} \cdot \frac{11}{7} = \frac{33}{28}$
3. Выполним вычитание: $5\frac{1}{16} - \frac{33}{28}$
Найдем общий знаменатель для $16$ и $28$. Он равен $112$.
$5\frac{1 \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{33 \cdot 4}{28 \cdot 4} = 5\frac{7}{112} - \frac{132}{112}$
Преобразуем $\frac{132}{112}$ в смешанное число: $\frac{132}{112} = 1\frac{20}{112}$.
$5\frac{7}{112} - 1\frac{20}{112} = 4\frac{112+7}{112} - 1\frac{20}{112} = 4\frac{119}{112} - 1\frac{20}{112} = 3\frac{99}{112}$
Ответ: $3\frac{99}{112}$

1060. Какой путь пройдёт поезд за $\frac{5}{6}$ ч, если его скорость составляет 66 км/ч?

Чтобы найти путь, пройденный поездом, необходимо умножить его скорость на время в пути. Формула для расчёта расстояния выглядит следующим образом:

$s = v \cdot t$

где:

• $s$ — искомый путь (расстояние),
• $v$ — скорость поезда ($66$ км/ч),
• $t$ — время в пути ($\frac{5}{6}$ ч).

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$s = 66 \cdot \frac{5}{6}$

Теперь выполним вычисление. Можно представить 66 как $\frac{66}{1}$ и перемножить дроби:

$s = \frac{66}{1} \cdot \frac{5}{6} = \frac{66 \cdot 5}{1 \cdot 6} = \frac{330}{6}$

Разделив 330 на 6, получаем:

$s = 55$ км

Также можно было сократить 66 и 6 на 6 перед умножением:

$s = \frac{66 \cdot 5}{6} = 11 \cdot 5 = 55$ км

Ответ: 55 км.