Страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1040. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(9\frac{3}{7} + 2\frac{9}{16}) - 5\frac{3}{7}$;$

2) $(4\frac{5}{8} + 1\frac{6}{11}) - \frac{6}{11}$;$

3) $10 - \frac{5}{14} - (3\frac{5}{14} + 2\frac{9}{34})$;$

4) $7\frac{1}{7} - (2\frac{6}{13} + 3\frac{1}{7})$.$

1) $(9\frac{3}{7} + 2\frac{9}{16}) - 5\frac{3}{7}$
Чтобы упростить вычисление, воспользуемся сочетательным свойством сложения и вычитания. Раскроем скобки и сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями:
$(9\frac{3}{7} + 2\frac{9}{16}) - 5\frac{3}{7} = (9\frac{3}{7} - 5\frac{3}{7}) + 2\frac{9}{16}$
Вычислим разность в скобках:
$9\frac{3}{7} - 5\frac{3}{7} = (9-5) + (\frac{3}{7} - \frac{3}{7}) = 4 + 0 = 4$
Теперь прибавим оставшееся число:
$4 + 2\frac{9}{16} = 6\frac{9}{16}$
Ответ: $6\frac{9}{16}$.

2) $(4\frac{5}{8} + 1\frac{6}{11}) - \frac{6}{11}$
Раскроем скобки и сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисления:
$(4\frac{5}{8} + 1\frac{6}{11}) - \frac{6}{11} = 4\frac{5}{8} + (1\frac{6}{11} - \frac{6}{11})$
Вычислим разность в скобках:
$1\frac{6}{11} - \frac{6}{11} = 1 + (\frac{6}{11} - \frac{6}{11}) = 1 + 0 = 1$
Теперь выполним сложение:
$4\frac{5}{8} + 1 = 5\frac{5}{8}$
Ответ: $5\frac{5}{8}$.

3) $10\frac{5}{14} - (3\frac{5}{14} + 2\frac{9}{34})$
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные:
$10\frac{5}{14} - (3\frac{5}{14} + 2\frac{9}{34}) = 10\frac{5}{14} - 3\frac{5}{14} - 2\frac{9}{34}$
Сгруппируем первые два числа, так как у них одинаковые знаменатели:
$(10\frac{5}{14} - 3\frac{5}{14}) - 2\frac{9}{34}$
Вычислим разность в скобках:
$10\frac{5}{14} - 3\frac{5}{14} = (10-3) + (\frac{5}{14} - \frac{5}{14}) = 7 + 0 = 7$
Теперь выполним оставшееся вычитание:
$7 - 2\frac{9}{34} = 6\frac{34}{34} - 2\frac{9}{34} = (6-2) + (\frac{34-9}{34}) = 4\frac{25}{34}$
Ответ: $4\frac{25}{34}$.

4) $7\frac{1}{7} - (2\frac{6}{13} + 3\frac{1}{7})$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:
$7\frac{1}{7} - (2\frac{6}{13} + 3\frac{1}{7}) = 7\frac{1}{7} - 2\frac{6}{13} - 3\frac{1}{7}$
Перегруппируем слагаемые для удобства вычислений, объединив числа с одинаковыми знаменателями:
$(7\frac{1}{7} - 3\frac{1}{7}) - 2\frac{6}{13}$
Вычислим разность в скобках:
$7\frac{1}{7} - 3\frac{1}{7} = (7-3) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{7}) = 4 + 0 = 4$
Теперь выполним конечное вычитание:
$4 - 2\frac{6}{13} = 3\frac{13}{13} - 2\frac{6}{13} = (3-2) + (\frac{13-6}{13}) = 1\frac{7}{13}$
Ответ: $1\frac{7}{13}$.

1041. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(12\frac{19}{24} + 5\frac{19}{28}) - 3\frac{19}{24}$;

2) $6\frac{4}{9} - (1\frac{7}{24} + 4\frac{4}{9})$.

1) Чтобы найти значение выражения $(12\frac{19}{24} + 5\frac{19}{28}) - 3\frac{19}{24}$, удобнее всего сначала раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые так, чтобы числа с одинаковыми знаменателями оказались рядом. Это возможно благодаря сочетательному и переместительному свойствам сложения и вычитания.
$(12\frac{19}{24} + 5\frac{19}{28}) - 3\frac{19}{24} = 12\frac{19}{24} + 5\frac{19}{28} - 3\frac{19}{24} = (12\frac{19}{24} - 3\frac{19}{24}) + 5\frac{19}{28}$.
Теперь выполним вычитание в скобках. Поскольку дробные части у этих чисел одинаковы, они при вычитании дают ноль, и нам остается вычесть только целые части:
$12\frac{19}{24} - 3\frac{19}{24} = (12 - 3) + (\frac{19}{24} - \frac{19}{24}) = 9 + 0 = 9$.
Далее к полученному результату прибавим оставшееся слагаемое:
$9 + 5\frac{19}{28} = 14\frac{19}{28}$.
Ответ: $14\frac{19}{28}$.

2) В выражении $6\frac{4}{9} - (1\frac{7}{24} + 4\frac{4}{9})$ также выберем удобный порядок вычислений. Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$6\frac{4}{9} - (1\frac{7}{24} + 4\frac{4}{9}) = 6\frac{4}{9} - 1\frac{7}{24} - 4\frac{4}{9}$.
Сгруппируем числа с одинаковыми знаменателями:
$(6\frac{4}{9} - 4\frac{4}{9}) - 1\frac{7}{24}$.
Вычислим значение в скобках. Дробные части одинаковы, поэтому вычитаем целые части:
$6\frac{4}{9} - 4\frac{4}{9} = (6 - 4) + (\frac{4}{9} - \frac{4}{9}) = 2 + 0 = 2$.
Теперь из полученного результата вычтем оставшееся число:
$2 - 1\frac{7}{24}$.
Чтобы выполнить вычитание, представим 2 как смешанное число со знаменателем 24:
$2 = 1 + 1 = 1 + \frac{24}{24} = 1\frac{24}{24}$.
Теперь вычитаем:
$1\frac{24}{24} - 1\frac{7}{24} = (1-1) + (\frac{24}{24} - \frac{7}{24}) = 0 + \frac{24 - 7}{24} = \frac{17}{24}$.
Ответ: $\frac{17}{24}$.

1042. Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

1) $\frac{61}{62}$ и $\frac{62}{63}$;

2) $\frac{1003}{1007}$ и $\frac{103}{107}$

1) Чтобы сравнить дроби $\frac{61}{62}$ и $\frac{62}{63}$, не приводя их к общему знаменателю, можно сравнить, насколько каждая из них отличается от единицы. Этот метод удобен, когда числитель и знаменатель дроби близки друг к другу.

Найдем, на сколько первая дробь меньше единицы:
$1 - \frac{61}{62} = \frac{62}{62} - \frac{61}{62} = \frac{1}{62}$

Найдем, на сколько вторая дробь меньше единицы:
$1 - \frac{62}{63} = \frac{63}{63} - \frac{62}{63} = \frac{1}{63}$

Теперь нам нужно сравнить полученные разности: $\frac{1}{62}$ и $\frac{1}{63}$. Это дроби с одинаковыми числителями. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $62 < 63$, то $\frac{1}{62} > \frac{1}{63}$.

Это означает, что от единицы для получения дроби $\frac{61}{62}$ отнимается большее число, чем для получения дроби $\frac{62}{63}$. Следовательно, первая дробь меньше второй.

Таким образом, $\frac{61}{62} < \frac{62}{63}$.
Ответ: $\frac{61}{62} < \frac{62}{63}$.

2) Для сравнения дробей $\frac{1003}{1007}$ и $\frac{103}{107}$ применим тот же метод. Сравним, на сколько каждая из этих дробей меньше единицы.

Найдем разность для первой дроби:
$1 - \frac{1003}{1007} = \frac{1007}{1007} - \frac{1003}{1007} = \frac{4}{1007}$

Найдем разность для второй дроби:
$1 - \frac{103}{107} = \frac{107}{107} - \frac{103}{107} = \frac{4}{107}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{4}{1007}$ и $\frac{4}{107}$. У них одинаковые числители (равны 4). Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $1007 > 107$, то $\frac{4}{1007} < \frac{4}{107}$.

Это означает, что от единицы для получения дроби $\frac{1003}{1007}$ отнимается меньшее число, чем для получения дроби $\frac{103}{107}$. Следовательно, первая дробь больше второй.

Таким образом, $\frac{1003}{1007} > \frac{103}{107}$.
Ответ: $\frac{1003}{1007} > \frac{103}{107}$.

1043. Какое натуральное число является корнем уравнения:

1) $a + \frac{1}{a} = 7\frac{1}{7}$;

2) $b - \frac{1}{b} = 14\frac{14}{15}$?

1) Дано уравнение $a + \frac{1}{a} = 7 \frac{1}{7}$.

Заметим, что правую часть уравнения, смешанное число, можно представить в виде суммы его целой и дробной частей:

$7 \frac{1}{7} = 7 + \frac{1}{7}$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$a + \frac{1}{a} = 7 + \frac{1}{7}$

Поскольку по условию задачи требуется найти натуральное число, можно предположить, что целые и дробные части в левой и правой частях уравнения соответственно равны. То есть, $a = 7$.

Проверим подстановкой: если $a=7$, то левая часть уравнения равна $7 + \frac{1}{7}$, что в точности равно правой части. Число 7 является натуральным.

Ответ: 7

2) Дано уравнение $b - \frac{1}{b} = 14 \frac{14}{15}$.

Преобразуем правую часть уравнения так, чтобы она имела вид, схожий с левой частью. Для этого представим $14$ как $15 - 1$:

$14 \frac{14}{15} = 14 + \frac{14}{15} = (15 - 1) + \frac{14}{15} = 15 - 1 + \frac{14}{15}$

Теперь объединим $-1$ и $\frac{14}{15}$:

$15 - (1 - \frac{14}{15}) = 15 - (\frac{15}{15} - \frac{14}{15}) = 15 - \frac{1}{15}$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$b - \frac{1}{b} = 15 - \frac{1}{15}$

Сравнивая левую и правую части, можно сделать вывод, что $b = 15$.

Проверим подстановкой: если $b=15$, то левая часть уравнения равна $15 - \frac{1}{15}$, что равно $14 \frac{14}{15}$. Число 15 является натуральным.

Ответ: 15

1044. При каких наименьших натуральных значениях $a$ и $b$ верно равенство:

1) $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{a}{2} - \frac{b}{3}$;

2) $\frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{a}{3} - \frac{b}{5}$?

1) Рассмотрим равенство $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{a}{2} - \frac{b}{3}$.
Сначала преобразуем обе части уравнения. Левая часть равна $\frac{1}{6}$.
В правой части приведем дроби к общему знаменателю $6$:
$\frac{a}{2} - \frac{b}{3} = \frac{3a}{6} - \frac{2b}{6} = \frac{3a - 2b}{6}$.
Теперь равенство выглядит так: $\frac{1}{6} = \frac{3a - 2b}{6}$.
Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители: $1 = 3a - 2b$.
Нам нужно найти наименьшие натуральные значения $a$ и $b$ (то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$), которые удовлетворяют этому уравнению. Выразим $3a$: $3a = 2b + 1$.
Будем подставлять наименьшие натуральные значения для $a$, начиная с $1$, и проверять, получается ли для $b$ натуральное число.
Пусть $a=1$:
$3 \cdot 1 = 2b + 1$
$3 = 2b + 1$
$2b = 2$
$b = 1$
Мы получили пару натуральных чисел $(a, b) = (1, 1)$. Так как $1$ является наименьшим натуральным числом, то найденные значения $a=1$ и $b=1$ являются наименьшими.
Ответ: $a=1, b=1$.

2) Рассмотрим равенство $\frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{a}{3} - \frac{b}{5}$.
Преобразуем левую часть: $\frac{4}{15}$.
В правой части приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$\frac{a}{3} - \frac{b}{5} = \frac{5a}{15} - \frac{3b}{15} = \frac{5a - 3b}{15}$.
Приравниваем обе части: $\frac{4}{15} = \frac{5a - 3b}{15}$.
Отсюда следует равенство числителей: $4 = 5a - 3b$.
Нам нужно найти наименьшие натуральные значения $a$ и $b$. Выразим $5a$: $5a = 3b + 4$.
Будем подставлять наименьшие натуральные значения для $a$, начиная с $1$, и искать соответствующее натуральное значение $b$.
Пусть $a=1$:
$5 \cdot 1 = 3b + 4$
$5 = 3b + 4$
$3b = 1$
$b = \frac{1}{3}$. Это значение не является натуральным числом.
Пусть $a=2$:
$5 \cdot 2 = 3b + 4$
$10 = 3b + 4$
$3b = 6$
$b = 2$
Мы получили пару натуральных чисел $(a, b) = (2, 2)$. Поскольку мы проверяли значения $a$ последовательно, начиная с наименьшего, $a=2$ — это наименьшее натуральное значение $a$, для которого $b$ также является натуральным числом. Следовательно, это и есть искомые наименьшие значения.
Ответ: $a=2, b=2$.

1045. На сколько увеличится значение дроби, если её числитель увеличить на знаменатель?

Пусть дана произвольная дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \neq 0$).

Согласно условию задачи, числитель дроби увеличивается на значение знаменателя. Новый числитель будет равен $a + b$. Знаменатель при этом остаётся без изменений.

Новая дробь будет иметь вид: $ \frac{a+b}{b} $.

Чтобы найти, на сколько увеличилось значение дроби, необходимо найти разность между новой дробью и исходной:

$ \frac{a+b}{b} - \frac{a}{b} $

Поскольку знаменатели у дробей одинаковые, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$ \frac{(a+b)-a}{b} = \frac{a+b-a}{b} = \frac{b}{b} = 1 $

Таким образом, значение дроби увеличится на 1, независимо от её первоначального вида.

Ответ: на 1

1046. Вычислите значение выражения $\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{19 \cdot 20}$.

Для вычисления значения данного выражения заметим, что каждый его член можно представить в виде разности двух дробей. Общий вид члена ряда таков: $ \frac{1}{n(n+1)} $.

Воспользуемся тождеством:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Проверим его: $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1) - 1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $.

Теперь применим это тождество к каждому слагаемому в исходной сумме:

$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $

$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $

... (и так далее для всех промежуточных членов)

$ \frac{1}{19 \cdot 20} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20} $

Теперь подставим эти разности обратно в исходное выражение:

$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) $

Раскрыв скобки, мы видим, что все промежуточные дроби взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{3} $ сокращается с $ +\frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{4} $ с $ +\frac{1}{4} $ и так далее, до $ -\frac{1}{19} $ и $ +\frac{1}{19} $. Этот эффект называется телескопическим суммированием.

В результате от всей суммы остаются только первый и последний члены:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{20} $

Приведем эти дроби к общему знаменателю 20 и выполним вычитание:

$ \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10 - 1}{20} = \frac{9}{20} $

Ответ: $ \frac{9}{20} $

1047. Вычислите значение выражения $\frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{29 \cdot 31}$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей. Этот метод подходит для так называемых телескопических сумм, в которых большинство слагаемых при суммировании взаимно уничтожаются.

Исходное выражение: $ \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{29 \cdot 31} $.

Каждый член этой суммы имеет вид $ \frac{2}{n(n+2)} $. Заметим, что числитель ($2$) равен разности множителей в знаменателе ($(n+2) - n = 2$). Это позволяет представить каждую такую дробь как разность двух более простых дробей по формуле $ \frac{k}{a \cdot (a+k)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+k} $.

В нашем случае $ k=2 $. Применим это правило к каждому слагаемому в исходной сумме:

$ \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} $

$ \frac{2}{5 \cdot 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} $

... и так далее, до последнего слагаемого:

$ \frac{2}{29 \cdot 31} = \frac{1}{29} - \frac{1}{31} $.

Теперь подставим эти разложения обратно в сумму и обозначим ее как S:

$ S = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{29} - \frac{1}{31}\right) $.

Раскрыв скобки, мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками сокращаются (например, $ -\frac{1}{5} $ и $ +\frac{1}{5} $, $ -\frac{1}{7} $ и $ +\frac{1}{7} $ и т.д.). В результате такого "схлопывания" суммы остаются только первое и последнее слагаемые:

$ S = \frac{1}{3} - \frac{1}{31} $.

Осталось вычислить эту разность. Приведем дроби к общему знаменателю $ 3 \cdot 31 = 93 $:

$ S = \frac{1 \cdot 31}{93} - \frac{1 \cdot 3}{93} = \frac{31 - 3}{93} = \frac{28}{93} $.

Полученная дробь $ \frac{28}{93} $ является несократимой, так как числитель $ 28 = 2^2 \cdot 7 $ и знаменатель $ 93 = 3 \cdot 31 $ не имеют общих множителей.

Ответ: $ \frac{28}{93} $

1048. Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?

Для того чтобы натуральное число имело ровно три различных делителя, оно должно быть квадратом простого числа. Разберемся, почему это так.

Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя: 1 и само себя ($n$). Если у числа есть ровно три делителя, то они должны быть вида $1, p, n$, где $p$ — это третий делитель.

Поскольку $p$ является делителем $n$, то $n$ должно быть кратно $p$. Это означает, что $n = p \cdot k$ для некоторого целого числа $k$. Делителями $n$ являются $1, p, k, n$. Так как у числа всего три делителя, то $k$ не может быть новым делителем и должно совпадать с одним из уже имеющихся. Очевидно, что $k \ne 1$ (иначе $n=p$ и делителей было бы два), значит, $k=p$. Отсюда следует, что $n = p \cdot p = p^2$.

Теперь рассмотрим делители числа $n=p^2$: это $1, p, p^2$. Чтобы их было ровно три, необходимо, чтобы число $p$ было простым. Если бы $p$ было составным (например, $p = a \cdot b$, где $a,b \ne 1,p$), то $a$ и $b$ также были бы делителями $n$, и общее число делителей стало бы больше трех.

Таким образом, искомые числа — это квадраты простых чисел.

Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя.
Для решения этой задачи возьмем первые пять простых чисел и возведем их в квадрат:
1. Квадрат числа 2: $2^2 = 4$. Делители числа 4: 1, 2, 4. (3 делителя)
2. Квадрат числа 3: $3^2 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. (3 делителя)
3. Квадрат числа 5: $5^2 = 25$. Делители числа 25: 1, 5, 25. (3 делителя)
4. Квадрат числа 7: $7^2 = 49$. Делители числа 49: 1, 7, 49. (3 делителя)
5. Квадрат числа 11: $11^2 = 121$. Делители числа 121: 1, 11, 121. (3 делителя)
Ответ: 4, 9, 25, 49, 121.

Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?
Да, можно. Как было установлено выше, числа, имеющие ровно три делителя, являются квадратами простых чисел. В математике доказано (теорема Евклида), что множество простых чисел бесконечно. Поскольку каждому простому числу $p$ соответствует единственное число $p^2$, которое имеет ровно три делителя, то из бесконечности множества простых чисел следует бесконечность множества их квадратов.
Ответ: Да, таких чисел бесконечно много.

1049. Для ремонта квартиры купили 34 рулона обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 8 рулонов обоев?

Чтобы найти наименьшее необходимое количество пачек обойного клея, нужно общее количество купленных рулонов обоев разделить на количество рулонов, на которое рассчитана одна пачка клея.

Дано:

• Всего рулонов обоев: 34
• Рулонов на одну пачку клея: 8

Разделим общее количество рулонов на производительность одной пачки клея:
$34 \div 8 = 4.25$

Результат деления — нецелое число. Это означает, что 4 пачек клея будет недостаточно. Четыре пачки клея хватит на $4 \times 8 = 32$ рулона, а у нас 34 рулона. Для оставшихся $34 - 32 = 2$ рулонов потребуется еще одна пачка клея.

Следовательно, нужно купить $4 + 1 = 5$ пачек клея. Так как пачки клея продаются целиком, необходимо округлить полученный результат $4.25$ в большую сторону до ближайшего целого числа.

Ответ: 5.