Номер 1044, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1044, страница 234.

1044. При каких наименьших натуральных значениях $a$ и $b$ верно равенство:

1) $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{a}{2} - \frac{b}{3}$;

2) $\frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{a}{3} - \frac{b}{5}$?

1) Рассмотрим равенство $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{a}{2} - \frac{b}{3}$.
Сначала преобразуем обе части уравнения. Левая часть равна $\frac{1}{6}$.
В правой части приведем дроби к общему знаменателю $6$:
$\frac{a}{2} - \frac{b}{3} = \frac{3a}{6} - \frac{2b}{6} = \frac{3a - 2b}{6}$.
Теперь равенство выглядит так: $\frac{1}{6} = \frac{3a - 2b}{6}$.
Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители: $1 = 3a - 2b$.
Нам нужно найти наименьшие натуральные значения $a$ и $b$ (то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$), которые удовлетворяют этому уравнению. Выразим $3a$: $3a = 2b + 1$.
Будем подставлять наименьшие натуральные значения для $a$, начиная с $1$, и проверять, получается ли для $b$ натуральное число.
Пусть $a=1$:
$3 \cdot 1 = 2b + 1$
$3 = 2b + 1$
$2b = 2$
$b = 1$
Мы получили пару натуральных чисел $(a, b) = (1, 1)$. Так как $1$ является наименьшим натуральным числом, то найденные значения $a=1$ и $b=1$ являются наименьшими.
Ответ: $a=1, b=1$.

2) Рассмотрим равенство $\frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{a}{3} - \frac{b}{5}$.
Преобразуем левую часть: $\frac{4}{15}$.
В правой части приведем дроби к общему знаменателю $15$:
$\frac{a}{3} - \frac{b}{5} = \frac{5a}{15} - \frac{3b}{15} = \frac{5a - 3b}{15}$.
Приравниваем обе части: $\frac{4}{15} = \frac{5a - 3b}{15}$.
Отсюда следует равенство числителей: $4 = 5a - 3b$.
Нам нужно найти наименьшие натуральные значения $a$ и $b$. Выразим $5a$: $5a = 3b + 4$.
Будем подставлять наименьшие натуральные значения для $a$, начиная с $1$, и искать соответствующее натуральное значение $b$.
Пусть $a=1$:
$5 \cdot 1 = 3b + 4$
$5 = 3b + 4$
$3b = 1$
$b = \frac{1}{3}$. Это значение не является натуральным числом.
Пусть $a=2$:
$5 \cdot 2 = 3b + 4$
$10 = 3b + 4$
$3b = 6$
$b = 2$
Мы получили пару натуральных чисел $(a, b) = (2, 2)$. Поскольку мы проверяли значения $a$ последовательно, начиная с наименьшего, $a=2$ — это наименьшее натуральное значение $a$, для которого $b$ также является натуральным числом. Следовательно, это и есть искомые наименьшие значения.
Ответ: $a=2, b=2$.