Номер 1051, страница 235 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 1051, страница 235.

Условие.

1051. Серёжа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмёт последний камешек, если игру начинает Серёжа?

Решение.

Решение 2.

Это классическая задача на теорию игр, которая решается с помощью анализа выигрышных и проигрышных позиций. Выигрывает тот игрок, который своим ходом оставляет противнику проигрышную позицию.

В данной игре ключевым является число 4, так как оно равно сумме минимального и максимального количества камешков, которые можно взять за ход ($1+3=4$). Стратегия победы заключается в том, чтобы после своего хода оставлять количество камешков, кратное 4.

Рассмотрим, как это работает. Пусть игрок №2 (Саша) придерживается этой стратегии.

• Если игрок №1 (Серёжа) берет 1 камешек, Саша берет 3. Вместе они берут $1+3=4$ камешка.
• Если Серёжа берет 3 камешка, Саша берет 1. Вместе они берут $3+1=4$ камешка.

Таким образом, Саша всегда может сделать так, чтобы за пару ходов (свой и Серёжи) общее количество камешков в кучке уменьшилось ровно на 4.

Изначально в кучке 100 камешков. Число 100 кратно 4 ($100 = 4 \times 25$). Это означает, что начальная позиция является проигрышной для того, кто начинает игру (Серёжи), при условии, что второй игрок (Саша) будет играть оптимально.

Ход игры будет выглядеть следующим образом:

1. Серёжа начинает и берет 1 или 3 камешка. В кучке остается 99 или 97 камешков.
2. Саша своим ходом дополняет количество взятых камешков до 4. Если Серёжа взял 1, Саша берет 3. Если Серёжа взял 3, Саша берет 1. В любом случае после хода Саши в кучке останется 96 камешков ($100-4=96$).
3. Этот цикл повторяется. После каждого хода Саши количество камешков будет кратно 4: $96, 92, 88, \dots, 8, 4$.
4. В конце концов, наступает момент, когда в кучке остается 4 камешка, и ход переходит к Серёже.
5. Серёжа вынужден взять 1 или 3 камешка, оставляя 3 или 1 камешек соответственно.
6. Саша забирает оставшиеся 3 или 1 камешек и таким образом забирает последний камешек в кучке.

Следовательно, победит Саша.

Ответ: Саша.