Номер 1046, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 1046, страница 234.

Условие.

1046. Вычислите значение выражения $\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{19 \cdot 20}$.

Решение.

Решение 2.

Для вычисления значения данного выражения заметим, что каждый его член можно представить в виде разности двух дробей. Общий вид члена ряда таков: $ \frac{1}{n(n+1)} $.

Воспользуемся тождеством:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Проверим его: $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1) - 1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $.

Теперь применим это тождество к каждому слагаемому в исходной сумме:

$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $

$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $

... (и так далее для всех промежуточных членов)

$ \frac{1}{19 \cdot 20} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20} $

Теперь подставим эти разности обратно в исходное выражение:

$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) $

Раскрыв скобки, мы видим, что все промежуточные дроби взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{3} $ сокращается с $ +\frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{4} $ с $ +\frac{1}{4} $ и так далее, до $ -\frac{1}{19} $ и $ +\frac{1}{19} $. Этот эффект называется телескопическим суммированием.

В результате от всей суммы остаются только первый и последний члены:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{20} $

Приведем эти дроби к общему знаменателю 20 и выполним вычитание:

$ \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10 - 1}{20} = \frac{9}{20} $

Ответ: $ \frac{9}{20} $