Номер 1046, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: голубой, зелёный
ISBN: 978-5-09-105796-6
Популярные ГДЗ в 5 классе
Упражнения. § 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1046, страница 234.
№1046 (с. 234)
Условие. №1046 (с. 234)
скриншот условия

1046. Вычислите значение выражения $\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{19 \cdot 20}$.
Решение. №1046 (с. 234)

Решение 2. №1046 (с. 234)
Для вычисления значения данного выражения заметим, что каждый его член можно представить в виде разности двух дробей. Общий вид члена ряда таков: $ \frac{1}{n(n+1)} $.
Воспользуемся тождеством:
$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $
Проверим его: $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1) - 1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} $.
Теперь применим это тождество к каждому слагаемому в исходной сумме:
$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $
$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $
... (и так далее для всех промежуточных членов)
$ \frac{1}{19 \cdot 20} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20} $
Теперь подставим эти разности обратно в исходное выражение:
$ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{19} - \frac{1}{20}) $
Раскрыв скобки, мы видим, что все промежуточные дроби взаимно уничтожаются: $ -\frac{1}{3} $ сокращается с $ +\frac{1}{3} $, $ -\frac{1}{4} $ с $ +\frac{1}{4} $ и так далее, до $ -\frac{1}{19} $ и $ +\frac{1}{19} $. Этот эффект называется телескопическим суммированием.
В результате от всей суммы остаются только первый и последний члены:
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{20} $
Приведем эти дроби к общему знаменателю 20 и выполним вычитание:
$ \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{1}{20} = \frac{10}{20} - \frac{1}{20} = \frac{10 - 1}{20} = \frac{9}{20} $
Ответ: $ \frac{9}{20} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 5 класс, для упражнения номер 1046 расположенного на странице 234 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №1046 (с. 234), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.