Номер 1047, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1047, страница 234.

1047. Вычислите значение выражения $\frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{29 \cdot 31}$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей. Этот метод подходит для так называемых телескопических сумм, в которых большинство слагаемых при суммировании взаимно уничтожаются.

Исходное выражение: $ \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{29 \cdot 31} $.

Каждый член этой суммы имеет вид $ \frac{2}{n(n+2)} $. Заметим, что числитель ($2$) равен разности множителей в знаменателе ($(n+2) - n = 2$). Это позволяет представить каждую такую дробь как разность двух более простых дробей по формуле $ \frac{k}{a \cdot (a+k)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+k} $.

В нашем случае $ k=2 $. Применим это правило к каждому слагаемому в исходной сумме:

$ \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} $

$ \frac{2}{5 \cdot 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} $

... и так далее, до последнего слагаемого:

$ \frac{2}{29 \cdot 31} = \frac{1}{29} - \frac{1}{31} $.

Теперь подставим эти разложения обратно в сумму и обозначим ее как S:

$ S = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{29} - \frac{1}{31}\right) $.

Раскрыв скобки, мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками сокращаются (например, $ -\frac{1}{5} $ и $ +\frac{1}{5} $, $ -\frac{1}{7} $ и $ +\frac{1}{7} $ и т.д.). В результате такого "схлопывания" суммы остаются только первое и последнее слагаемые:

$ S = \frac{1}{3} - \frac{1}{31} $.

Осталось вычислить эту разность. Приведем дроби к общему знаменателю $ 3 \cdot 31 = 93 $:

$ S = \frac{1 \cdot 31}{93} - \frac{1 \cdot 3}{93} = \frac{31 - 3}{93} = \frac{28}{93} $.

Полученная дробь $ \frac{28}{93} $ является несократимой, так как числитель $ 28 = 2^2 \cdot 7 $ и знаменатель $ 93 = 3 \cdot 31 $ не имеют общих множителей.

Ответ: $ \frac{28}{93} $