Номер 1043, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 1043, страница 234.

Условие.

1043. Какое натуральное число является корнем уравнения:

1) $a + \frac{1}{a} = 7\frac{1}{7}$;

2) $b - \frac{1}{b} = 14\frac{14}{15}$?

Решение.

Решение 2.

1) Дано уравнение $a + \frac{1}{a} = 7 \frac{1}{7}$.

Заметим, что правую часть уравнения, смешанное число, можно представить в виде суммы его целой и дробной частей:

$7 \frac{1}{7} = 7 + \frac{1}{7}$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$a + \frac{1}{a} = 7 + \frac{1}{7}$

Поскольку по условию задачи требуется найти натуральное число, можно предположить, что целые и дробные части в левой и правой частях уравнения соответственно равны. То есть, $a = 7$.

Проверим подстановкой: если $a=7$, то левая часть уравнения равна $7 + \frac{1}{7}$, что в точности равно правой части. Число 7 является натуральным.

Ответ: 7

2) Дано уравнение $b - \frac{1}{b} = 14 \frac{14}{15}$.

Преобразуем правую часть уравнения так, чтобы она имела вид, схожий с левой частью. Для этого представим $14$ как $15 - 1$:

$14 \frac{14}{15} = 14 + \frac{14}{15} = (15 - 1) + \frac{14}{15} = 15 - 1 + \frac{14}{15}$

Теперь объединим $-1$ и $\frac{14}{15}$:

$15 - (1 - \frac{14}{15}) = 15 - (\frac{15}{15} - \frac{14}{15}) = 15 - \frac{1}{15}$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$b - \frac{1}{b} = 15 - \frac{1}{15}$

Сравнивая левую и правую части, можно сделать вывод, что $b = 15$.

Проверим подстановкой: если $b=15$, то левая часть уравнения равна $15 - \frac{1}{15}$, что равно $14 \frac{14}{15}$. Число 15 является натуральным.

Ответ: 15