Номер 1048, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 1048, страница 234.

Условие.

1048. Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы натуральное число имело ровно три различных делителя, оно должно быть квадратом простого числа. Разберемся, почему это так.

Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя: 1 и само себя ($n$). Если у числа есть ровно три делителя, то они должны быть вида $1, p, n$, где $p$ — это третий делитель.

Поскольку $p$ является делителем $n$, то $n$ должно быть кратно $p$. Это означает, что $n = p \cdot k$ для некоторого целого числа $k$. Делителями $n$ являются $1, p, k, n$. Так как у числа всего три делителя, то $k$ не может быть новым делителем и должно совпадать с одним из уже имеющихся. Очевидно, что $k \ne 1$ (иначе $n=p$ и делителей было бы два), значит, $k=p$. Отсюда следует, что $n = p \cdot p = p^2$.

Теперь рассмотрим делители числа $n=p^2$: это $1, p, p^2$. Чтобы их было ровно три, необходимо, чтобы число $p$ было простым. Если бы $p$ было составным (например, $p = a \cdot b$, где $a,b \ne 1,p$), то $a$ и $b$ также были бы делителями $n$, и общее число делителей стало бы больше трех.

Таким образом, искомые числа — это квадраты простых чисел.

Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя.
Для решения этой задачи возьмем первые пять простых чисел и возведем их в квадрат:
1. Квадрат числа 2: $2^2 = 4$. Делители числа 4: 1, 2, 4. (3 делителя)
2. Квадрат числа 3: $3^2 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. (3 делителя)
3. Квадрат числа 5: $5^2 = 25$. Делители числа 25: 1, 5, 25. (3 делителя)
4. Квадрат числа 7: $7^2 = 49$. Делители числа 49: 1, 7, 49. (3 делителя)
5. Квадрат числа 11: $11^2 = 121$. Делители числа 121: 1, 11, 121. (3 делителя)
Ответ: 4, 9, 25, 49, 121.

Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?
Да, можно. Как было установлено выше, числа, имеющие ровно три делителя, являются квадратами простых чисел. В математике доказано (теорема Евклида), что множество простых чисел бесконечно. Поскольку каждому простому числу $p$ соответствует единственное число $p^2$, которое имеет ровно три делителя, то из бесконечности множества простых чисел следует бесконечность множества их квадратов.
Ответ: Да, таких чисел бесконечно много.