Номер 1048, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: голубой, зелёный

ISBN: 978-5-09-105796-6

Популярные ГДЗ в 5 классе

Упражнения. § 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1048, страница 234.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1048 (с. 234)
Условие. №1048 (с. 234)
скриншот условия
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 234, номер 1048, Условие

1048. Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?

Решение. №1048 (с. 234)
Математика, 5 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, страница 234, номер 1048, Решение
Решение 2. №1048 (с. 234)

Для того чтобы натуральное число имело ровно три различных делителя, оно должно быть квадратом простого числа. Разберемся, почему это так.

Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя: 1 и само себя ($n$). Если у числа есть ровно три делителя, то они должны быть вида $1, p, n$, где $p$ — это третий делитель.

Поскольку $p$ является делителем $n$, то $n$ должно быть кратно $p$. Это означает, что $n = p \cdot k$ для некоторого целого числа $k$. Делителями $n$ являются $1, p, k, n$. Так как у числа всего три делителя, то $k$ не может быть новым делителем и должно совпадать с одним из уже имеющихся. Очевидно, что $k \ne 1$ (иначе $n=p$ и делителей было бы два), значит, $k=p$. Отсюда следует, что $n = p \cdot p = p^2$.

Теперь рассмотрим делители числа $n=p^2$: это $1, p, p^2$. Чтобы их было ровно три, необходимо, чтобы число $p$ было простым. Если бы $p$ было составным (например, $p = a \cdot b$, где $a,b \ne 1,p$), то $a$ и $b$ также были бы делителями $n$, и общее число делителей стало бы больше трех.

Таким образом, искомые числа — это квадраты простых чисел.

Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя.
Для решения этой задачи возьмем первые пять простых чисел и возведем их в квадрат:
1. Квадрат числа 2: $2^2 = 4$. Делители числа 4: 1, 2, 4. (3 делителя)
2. Квадрат числа 3: $3^2 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. (3 делителя)
3. Квадрат числа 5: $5^2 = 25$. Делители числа 25: 1, 5, 25. (3 делителя)
4. Квадрат числа 7: $7^2 = 49$. Делители числа 49: 1, 7, 49. (3 делителя)
5. Квадрат числа 11: $11^2 = 121$. Делители числа 121: 1, 11, 121. (3 делителя)
Ответ: 4, 9, 25, 49, 121.

Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?
Да, можно. Как было установлено выше, числа, имеющие ровно три делителя, являются квадратами простых чисел. В математике доказано (теорема Евклида), что множество простых чисел бесконечно. Поскольку каждому простому числу $p$ соответствует единственное число $p^2$, которое имеет ровно три делителя, то из бесконечности множества простых чисел следует бесконечность множества их квадратов.
Ответ: Да, таких чисел бесконечно много.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 5 класс, для упражнения номер 1048 расположенного на странице 234 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №1048 (с. 234), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться