Номер 1048, страница 234 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: голубой, зелёный
ISBN: 978-5-09-105796-6
Популярные ГДЗ в 5 классе
Упражнения. § 38. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 1048, страница 234.
№1048 (с. 234)
Условие. №1048 (с. 234)
скриншот условия

1048. Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?
Решение. №1048 (с. 234)

Решение 2. №1048 (с. 234)
Для того чтобы натуральное число имело ровно три различных делителя, оно должно быть квадратом простого числа. Разберемся, почему это так.
Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя: 1 и само себя ($n$). Если у числа есть ровно три делителя, то они должны быть вида $1, p, n$, где $p$ — это третий делитель.
Поскольку $p$ является делителем $n$, то $n$ должно быть кратно $p$. Это означает, что $n = p \cdot k$ для некоторого целого числа $k$. Делителями $n$ являются $1, p, k, n$. Так как у числа всего три делителя, то $k$ не может быть новым делителем и должно совпадать с одним из уже имеющихся. Очевидно, что $k \ne 1$ (иначе $n=p$ и делителей было бы два), значит, $k=p$. Отсюда следует, что $n = p \cdot p = p^2$.
Теперь рассмотрим делители числа $n=p^2$: это $1, p, p^2$. Чтобы их было ровно три, необходимо, чтобы число $p$ было простым. Если бы $p$ было составным (например, $p = a \cdot b$, где $a,b \ne 1,p$), то $a$ и $b$ также были бы делителями $n$, и общее число делителей стало бы больше трех.
Таким образом, искомые числа — это квадраты простых чисел.
Укажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя.
Для решения этой задачи возьмем первые пять простых чисел и возведем их в квадрат:
1. Квадрат числа 2: $2^2 = 4$. Делители числа 4: 1, 2, 4. (3 делителя)
2. Квадрат числа 3: $3^2 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. (3 делителя)
3. Квадрат числа 5: $5^2 = 25$. Делители числа 25: 1, 5, 25. (3 делителя)
4. Квадрат числа 7: $7^2 = 49$. Делители числа 49: 1, 7, 49. (3 делителя)
5. Квадрат числа 11: $11^2 = 121$. Делители числа 121: 1, 11, 121. (3 делителя)
Ответ: 4, 9, 25, 49, 121.
Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?
Да, можно. Как было установлено выше, числа, имеющие ровно три делителя, являются квадратами простых чисел. В математике доказано (теорема Евклида), что множество простых чисел бесконечно. Поскольку каждому простому числу $p$ соответствует единственное число $p^2$, которое имеет ровно три делителя, то из бесконечности множества простых чисел следует бесконечность множества их квадратов.
Ответ: Да, таких чисел бесконечно много.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 5 класс, для упражнения номер 1048 расположенного на странице 234 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №1048 (с. 234), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.