Страница 235 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1050. В Лазурном городе одна поездка на любом городском транспорте стоит 28 р. Можно оплачивать отдельно каждую поездку, а можно купить единый месячный проездной билет стоимостью 2560 р. Пётр подсчитал, что он пользуется городским транспортом 3 раза в день. В какие месяцы ему выгодно покупать проездной билет?

Для того чтобы определить, в какие месяцы покупка проездного билета будет выгодной, нужно выяснить, при каком количестве поездок в месяц их общая стоимость превысит цену проездного.

1. Сначала найдем минимальное количество поездок $N$, при котором покупка проездного становится выгодной. Стоимость одной поездки — $28$ р., стоимость проездного — $2560$ р. Составим неравенство:

$N \times 28 > 2560$

Решим его, чтобы найти $N$:

$N > \frac{2560}{28}$

$N > \frac{640}{7} \approx 91.43$

Поскольку количество поездок может быть только целым числом, проездной становится выгодным, если совершить $92$ поездки или больше.

2. Теперь определим, в какие месяцы Пётр совершает не менее $92$ поездок. Известно, что он пользуется транспортом $3$ раза в день. Пусть $D$ — количество дней в месяце. Общее число поездок за месяц составляет $3 \times D$.

Найдем необходимое количество дней $D$ в месяце, чтобы число поездок было не менее $92$:

$3 \times D \geq 92$

$D \geq \frac{92}{3}$

$D \geq 30.66...$

Так как количество дней в месяце — это целое число, то для того чтобы покупка проездного была выгодной, в месяце должен быть как минимум $31$ день.

3. Перечислим месяцы, в которых 31 день:

• Январь
• Март
• Май
• Июль
• Август
• Октябрь
• Декабрь

В эти месяцы Пётр совершит $3 \times 31 = 93$ поездки, и их стоимость составит $93 \times 28 = 2604$ р., что больше стоимости проездного ($2560$ р.). В месяцы с 30 днями он совершит $3 \times 30 = 90$ поездок, стоимость которых составит $90 \times 28 = 2520$ р., что меньше стоимости проездного.

Ответ: январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь.

1051. Серёжа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмёт последний камешек, если игру начинает Серёжа?

Это классическая задача на теорию игр, которая решается с помощью анализа выигрышных и проигрышных позиций. Выигрывает тот игрок, который своим ходом оставляет противнику проигрышную позицию.

В данной игре ключевым является число 4, так как оно равно сумме минимального и максимального количества камешков, которые можно взять за ход ($1+3=4$). Стратегия победы заключается в том, чтобы после своего хода оставлять количество камешков, кратное 4.

Рассмотрим, как это работает. Пусть игрок №2 (Саша) придерживается этой стратегии.

• Если игрок №1 (Серёжа) берет 1 камешек, Саша берет 3. Вместе они берут $1+3=4$ камешка.
• Если Серёжа берет 3 камешка, Саша берет 1. Вместе они берут $3+1=4$ камешка.

Таким образом, Саша всегда может сделать так, чтобы за пару ходов (свой и Серёжи) общее количество камешков в кучке уменьшилось ровно на 4.

Изначально в кучке 100 камешков. Число 100 кратно 4 ($100 = 4 \times 25$). Это означает, что начальная позиция является проигрышной для того, кто начинает игру (Серёжи), при условии, что второй игрок (Саша) будет играть оптимально.

Ход игры будет выглядеть следующим образом:

1. Серёжа начинает и берет 1 или 3 камешка. В кучке остается 99 или 97 камешков.
2. Саша своим ходом дополняет количество взятых камешков до 4. Если Серёжа взял 1, Саша берет 3. Если Серёжа взял 3, Саша берет 1. В любом случае после хода Саши в кучке останется 96 камешков ($100-4=96$).
3. Этот цикл повторяется. После каждого хода Саши количество камешков будет кратно 4: $96, 92, 88, \dots, 8, 4$.
4. В конце концов, наступает момент, когда в кучке остается 4 камешка, и ход переходит к Серёже.
5. Серёжа вынужден взять 1 или 3 камешка, оставляя 3 или 1 камешек соответственно.
6. Саша забирает оставшиеся 3 или 1 камешек и таким образом забирает последний камешек в кучке.

Следовательно, победит Саша.

Ответ: Саша.

1. Укажите неверное равенство.

А) $ \frac{3}{8} = \frac{9}{24} $

Б) $ \frac{72}{90} = \frac{8}{9} $

В) $ \frac{42}{49} = \frac{6}{7} $

Г) $ \frac{4}{5} = \frac{16}{20} $

Чтобы найти неверное равенство, необходимо проверить истинность каждого из предложенных вариантов.

А) Проверим равенство $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$.

Для проверки можно умножить числитель и знаменатель левой дроби на одно и то же число, чтобы получить правую дробь. В данном случае, умножим на 3:

$\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$

Равенство верно.

Б) Проверим равенство $\frac{72}{90} = \frac{8}{9}$.

Воспользуемся методом перекрестного умножения. Если равенство верно, то произведение крайних членов пропорции должно быть равно произведению средних, то есть $72 \cdot 9 = 90 \cdot 8$.

Выполним вычисления:

$72 \cdot 9 = 648$

$90 \cdot 8 = 720$

Так как $648 \neq 720$, данное равенство является неверным.

В) Проверим равенство $\frac{42}{49} = \frac{6}{7}$.

Сократим левую дробь. Наибольший общий делитель для чисел 42 и 49 равен 7. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{42 \div 7}{49 \div 7} = \frac{6}{7}$

Равенство верно.

Г) Проверим равенство $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$.

Сократим правую дробь. Наибольший общий делитель для чисел 16 и 20 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{4}{5}$

Равенство верно.

Таким образом, единственное неверное равенство представлено в пункте Б.

Ответ: Б

2. В классе 16 учащихся посещают математический кружок, а остальные 12 учащихся — химический кружок. Какая часть учащихся класса посещает математический кружок?

А) $\frac{4}{7}$

Б) $\frac{4}{3}$

В) $\frac{3}{4}$

Г) $\frac{3}{7}$

Чтобы определить, какая часть учащихся класса посещает математический кружок, необходимо сначала найти общее количество учащихся в классе, а затем найти отношение числа учащихся в математическом кружке к общему числу учащихся.

1. Находим общее количество учащихся в классе.

Для этого складываем количество учащихся, посещающих математический кружок, и количество учащихся, посещающих химический кружок:

$16 + 12 = 28$

Итак, всего в классе 28 учащихся.

2. Находим, какую часть составляют учащиеся математического кружка.

Количество учащихся, посещающих математический кружок, равно 16. Чтобы найти, какую часть они составляют от всего класса, нужно разделить их количество на общее число учащихся в классе:

$\frac{16}{28}$

3. Сокращаем полученную дробь.

Наибольший общий делитель для чисел 16 и 28 — это 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{16 \div 4}{28 \div 4} = \frac{4}{7}$

Следовательно, $\frac{4}{7}$ часть учащихся класса посещает математический кружок. Этот вариант соответствует ответу А).

Ответ: А) $\frac{4}{7}$

3. Какая часть часа прошла с 13 ч 50 мин до 14 ч 30 мин?

А) $ \frac{1}{3} $

Б) $ \frac{1}{2} $

В) $ \frac{2}{3} $

Г) $ \frac{3}{4} $

Чтобы найти, какая часть часа прошла, нужно сначала определить общее количество прошедших минут.
Временной интервал задан с 13 ч 50 мин до 14 ч 30 мин.
Вычислим длительность этого интервала:
1. От 13:50 до 14:00 проходит $60 - 50 = 10$ минут.
2. От 14:00 до 14:30 проходит еще 30 минут.
Общее количество прошедшего времени составляет $10 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 40 \text{ минут}$.
Теперь выразим это время в частях часа. В одном часе 60 минут. Чтобы найти, какую часть часа составляют 40 минут, составим дробь, где в числителе будет количество прошедших минут, а в знаменателе — общее количество минут в часе:
$\frac{40}{60}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 20:
$\frac{40 \div 20}{60 \div 20} = \frac{2}{3}$
Таким образом, с 13 ч 50 мин до 14 ч 30 мин прошла $\frac{2}{3}$ часа. Этот вариант соответствует букве В.

Ответ: В) $\frac{2}{3}$

4. Найдите значение $a$, при котором верно равенство $\frac{42}{60} = \frac{7}{a}$.

А) 6

Б) 12

В) 10

Г) 8

Чтобы найти значение a в равенстве $\frac{42}{60} = \frac{7}{a}$, мы имеем дело с пропорцией. Для её решения можно использовать основное свойство пропорции (перекрёстное умножение), согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Запишем это свойство в виде уравнения:
$42 \cdot a = 60 \cdot 7$

Сначала вычислим произведение в правой части:
$60 \cdot 7 = 420$

Теперь наше уравнение выглядит так:
$42a = 420$

Чтобы найти a, разделим обе части уравнения на 42:
$a = \frac{420}{42}$
$a = 10$

Также можно было решить задачу, сократив дробь $\frac{42}{60}$. Разделив числитель и знаменатель на 6, получим:
$\frac{42 \div 6}{60 \div 6} = \frac{7}{10}$

Тогда равенство принимает вид $\frac{7}{10} = \frac{7}{a}$, из чего очевидно, что $a = 10$.

Среди предложенных вариантов (А) 6, Б) 12, В) 10, Г) 8) верным является вариант В).

Ответ: 10

5. Сколько можно составить неравных между собой правильных дробей, числителями и знаменателями которых являются числа $2$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$?

А) $12$

Б) $13$

В) $14$

Г) $15$

Для решения этой задачи нужно составить все возможные правильные дроби из набора чисел {2, 4, 5, 6, 8, 9}, а затем посчитать количество уникальных (неравных между собой) дробей.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель строго меньше знаменателя. Будем перебирать все возможные пары чисел из данного набора, где одно число будет числителем, а другое — знаменателем, с соблюдением этого условия.

Выпишем все такие дроби:

• Со знаменателем 4: $ \frac{2}{4} $
• Со знаменателем 5: $ \frac{2}{5} $, $ \frac{4}{5} $
• Со знаменателем 6: $ \frac{2}{6} $, $ \frac{4}{6} $, $ \frac{5}{6} $
• Со знаменателем 8: $ \frac{2}{8} $, $ \frac{4}{8} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{6}{8} $
• Со знаменателем 9: $ \frac{2}{9} $, $ \frac{4}{9} $, $ \frac{5}{9} $, $ \frac{6}{9} $, $ \frac{8}{9} $

Всего получилось $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ дробей.

Теперь необходимо проверить, есть ли среди них равные. Для этого приведем каждую дробь к несократимому виду:

• $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
• $ \frac{2}{5} $ (несократимая)
• $ \frac{4}{5} $ (несократимая)
• $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
• $ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
• $ \frac{5}{6} $ (несократимая)
• $ \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
• $ \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
• $ \frac{5}{8} $ (несократимая)
• $ \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $
• $ \frac{2}{9} $ (несократимая)
• $ \frac{4}{9} $ (несократимая)
• $ \frac{5}{9} $ (несократимая)
• $ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $
• $ \frac{8}{9} $ (несократимая)

Теперь найдем повторяющиеся значения:

• Дробь со значением $ \frac{1}{2} $ встречается дважды: $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{4}{8} $.
• Дробь со значением $ \frac{2}{3} $ встречается дважды: $ \frac{4}{6} $ и $ \frac{6}{9} $.

Мы нашли две пары равных дробей. Это означает, что из 15 составленных дробей 2 являются дубликатами. Чтобы найти количество уникальных дробей, нужно вычесть количество дубликатов из общего числа дробей: $15 - 2 = 13$.

Таким образом, можно составить 13 неравных между собой правильных дробей.

Ответ: Б) 13

6. Укажите неверное неравенство.

А) $\frac{2}{3} > \frac{5}{6}$

Б) $\frac{7}{12} > \frac{5}{9}$

В) $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$

Г) $\frac{9}{16} > \frac{13}{24}$

Чтобы найти неверное неравенство, необходимо проверить истинность каждого из предложенных неравенств. Для этого сравним дроби в каждом пункте, приведя их к общему знаменателю.

А) Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$.
Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 6 равен 6.
Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$.
Теперь сравним дроби $\frac{4}{6}$ и $\frac{5}{6}$. Поскольку числитель первой дроби меньше числителя второй ($4 < 5$), то $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$.
Следовательно, неравенство $\frac{2}{3} > \frac{5}{6}$ является неверным.
Ответ: Неверно.

Б) Сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{9}$.
Наименьший общий знаменатель для чисел 12 и 9 равен 36.
Приведем дроби к знаменателю 36:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{20}{36}$
Сравним дроби $\frac{21}{36}$ и $\frac{20}{36}$. Поскольку $21 > 20$, то $\frac{21}{36} > \frac{20}{36}$.
Следовательно, неравенство $\frac{7}{12} > \frac{5}{9}$ является верным.
Ответ: Верно.

В) Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$.
Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 7 равен 56.
Приведем дроби к знаменателю 56:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{32}{56}$
Сравним дроби $\frac{35}{56}$ и $\frac{32}{56}$. Поскольку $35 > 32$, то $\frac{35}{56} > \frac{32}{56}$.
Следовательно, неравенство $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$ является верным.
Ответ: Верно.

Г) Сравним дроби $\frac{9}{16}$ и $\frac{13}{24}$.
Наименьший общий знаменатель для чисел 16 и 24 равен 48.
Приведем дроби к знаменателю 48:
$\frac{9}{16} = \frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{27}{48}$
$\frac{13}{24} = \frac{13 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{26}{48}$
Сравним дроби $\frac{27}{48}$ и $\frac{26}{48}$. Поскольку $27 > 26$, то $\frac{27}{48} > \frac{26}{48}$.
Следовательно, неравенство $\frac{9}{16} > \frac{13}{24}$ является верным.
Ответ: Верно.

По результатам проверки было установлено, что единственное неверное неравенство представлено в пункте А.

Ответ: А