Страница 228 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1005. Дробь сначала сократили на 2, затем на 3, потом на 7. На какое число можно было сократить эту дробь сразу?

Сокращение дроби означает деление ее числителя и знаменателя на одно и то же число. Если дробь сокращают последовательно на несколько чисел, это равносильно тому, что ее сокращают один раз на произведение этих чисел.

В данном случае дробь сначала сократили на 2, затем на 3, и потом на 7. Чтобы найти число, на которое можно было сократить дробь сразу, нужно перемножить все эти числа:

$ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42 $

Это означает, что и числитель, и знаменатель исходной дроби делились на 42.

Ответ: 42

1006. Запишите все правильные дроби со знаменателем 12. Сократите те из них, которые не являются несократимыми.

Запишите все правильные дроби со знаменателем 12

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае знаменатель равен 12, поэтому числитель может быть любым натуральным числом от 1 до 11.

Перечислим все такие дроби:

$\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{9}{12}, \frac{10}{12}, \frac{11}{12}$.

Сократите те из них, которые не являются несократимыми

Дробь не является несократимой (то есть, является сократимой), если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Найдем такие дроби из списка выше и сократим их, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

• $\frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$
• $\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$
• $\frac{4}{12} = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$
• $\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$
• $\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$
• $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$
• $\frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$

Дроби $\frac{1}{12}, \frac{5}{12}, \frac{7}{12}, \frac{11}{12}$ являются несократимыми.

Ответ: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}; \frac{3}{12} = \frac{1}{4}; \frac{4}{12} = \frac{1}{3}; \frac{6}{12} = \frac{1}{2}; \frac{8}{12} = \frac{2}{3}; \frac{9}{12} = \frac{3}{4}; \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

1007. Сумма двух чисел равна 374. Последней цифрой одного из этих чисел является нуль. Если его отбросить, то получим второе число. Найдите эти числа.

Пусть одно из чисел будет $x$, а другое $y$.

По условию задачи, сумма этих чисел равна 374. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 374$

Также нам дано, что последняя цифра одного из чисел — нуль. Допустим, это число $x$. Если у этого числа отбросить последнюю цифру (нуль), то получится второе число, $y$.
Отбрасывание нуля в конце числа эквивалентно делению этого числа на 10. Таким образом, мы можем составить второе уравнение:
$x = 10y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$x + y = 374$
$x = 10y$

Подставим значение $x$ из второго уравнения в первое:
$(10y) + y = 374$
$11y = 374$

Теперь решим уравнение относительно $y$:
$y = 374 / 11$
$y = 34$

Зная $y$, найдем $x$, используя второе уравнение:
$x = 10y = 10 \times 34 = 340$

Таким образом, искомые числа — это 340 и 34.
Проверим:
1. Сумма чисел: $340 + 34 = 374$.
2. Число 340 оканчивается на нуль.
3. Если у числа 340 отбросить нуль, получится 34.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: 340 и 34.

1008. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком или молока в чашке с кофе?

Эту задачу можно решить двумя способами: с помощью логических рассуждений и с помощью математических выкладок. Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

1. Логическое решение

Давайте проследим за состоянием жидкости в обеих чашках. Изначально в одной чашке только молоко, в другой — только кофе. Объемы жидкостей в чашках в начале и в конце одинаковы, так как мы сначала взяли одну ложку из первой чашки, а затем вернули одну ложку смеси во вторую.

Рассмотрим чашку, в которой изначально было молоко. После всех переливаний в ней оказалось некоторое количество кофе. Это количество кофе заняло место, которое раньше занимало молоко. Так как общий объем жидкости в чашке не изменился, то объем кофе в этой чашке в точности равен объему молока, которое из нее "убыло".

Куда могло деться это "убывшее" молоко? Единственное место, куда оно могло попасть — это в чашку с кофе.

Следовательно, количество кофе, которое оказалось в чашке с молоком, равно количеству молока, которое оказалось в чашке с кофе.

Ответ: Количество кофе в чашке с молоком равно количеству молока в чашке с кофе.

2. Математическое решение

Пусть объем чашки с молоком равен $V_м$, а объем чашки с кофе — $V_к$. Объем ложки равен $v$.

Шаг 1: Переливаем ложку молока в кофе.

• В чашке с молоком остается: $V_м - v$ молока.
• В чашке с кофе становится: $V_к$ кофе и $v$ молока. Общий объем смеси в этой чашке теперь $V_к + v$.

Шаг 2: Переливаем ложку смеси из чашки с кофе в чашку с молоком.

Сначала определим состав смеси в чашке с кофе. Концентрация кофе в смеси составляет $C_к = \frac{V_к}{V_к + v}$. Концентрация молока в смеси составляет $C_м = \frac{v}{V_к + v}$.

Когда мы зачерпываем ложку ($v$) этой смеси, в ней будет:

• Кофе: $v \cdot C_к = v \cdot \frac{V_к}{V_к + v}$
• Молока: $v \cdot C_м = v \cdot \frac{v}{V_к + v}$

Эту ложку смеси мы переливаем в чашку с молоком. Таким образом, количество кофе, попавшее в чашку с молоком, равно:

$K_{в\_молоке} = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Теперь посчитаем, сколько молока осталось в чашке с кофе. Изначально мы добавили туда $v$ молока, а затем с ложкой смеси забрали $v \cdot \frac{v}{V_к + v}$ молока. Значит, в чашке с кофе осталось:

$M_{в\_кофе} = v - v \cdot \frac{v}{V_к + v} = v \left(1 - \frac{v}{V_к + v}\right) = v \left(\frac{V_к + v - v}{V_к + v}\right) = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Сравнение результатов:

Количество кофе в чашке с молоком: $K_{в\_молоке} = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Количество молока в чашке с кофе: $M_{в\_кофе} = \frac{v \cdot V_к}{V_к + v}$

Как мы видим, эти величины равны.

Ответ: Количество кофе в чашке с молоком равно количеству молока в чашке с кофе.