Страница 233 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1030. На компьютере обрабатывали три задачи в течение 30 мин. На первую и вторую задачи было затрачено $24\frac{14}{15}$ мин, а на вторую и третью — $18\frac{19}{45}$ мин. Сколько минут было затрачено на обработку каждой задачи?

Обозначим время, затраченное на выполнение первой, второй и третьей задачи как $t_1$, $t_2$ и $t_3$ соответственно. Согласно условию задачи, мы можем составить следующую систему утверждений:

Общее время на три задачи: $t_1 + t_2 + t_3 = 30$ мин.

Время на первую и вторую задачи: $t_1 + t_2 = 24\frac{14}{15}$ мин.

Время на вторую и третью задачи: $t_2 + t_3 = 18\frac{19}{45}$ мин.

1. Найдем время, затраченное на третью задачу

Чтобы найти время выполнения третьей задачи ($t_3$), нужно из общего времени вычесть время, затраченное на первую и вторую задачи:

$t_3 = (t_1 + t_2 + t_3) - (t_1 + t_2) = 30 - 24\frac{14}{15}$

Для удобства вычислений представим целое число $30$ в виде смешанного числа со знаменателем $15$:

$30 = 29 + 1 = 29\frac{15}{15}$

$t_3 = 29\frac{15}{15} - 24\frac{14}{15} = (29 - 24) + (\frac{15}{15} - \frac{14}{15}) = 5\frac{1}{15}$ мин.

2. Найдем время, затраченное на первую задачу

Чтобы найти время выполнения первой задачи ($t_1$), нужно из общего времени вычесть время, затраченное на вторую и третью задачи:

$t_1 = (t_1 + t_2 + t_3) - (t_2 + t_3) = 30 - 18\frac{19}{45}$

Представим целое число $30$ в виде смешанного числа со знаменателем $45$:

$30 = 29 + 1 = 29\frac{45}{45}$

$t_1 = 29\frac{45}{45} - 18\frac{19}{45} = (29 - 18) + (\frac{45}{45} - \frac{19}{45}) = 11\frac{26}{45}$ мин.

3. Найдем время, затраченное на вторую задачу

Теперь, зная время выполнения первой задачи, мы можем найти время на вторую ($t_2$), вычтя $t_1$ из суммы времени для первой и второй задач:

$t_2 = (t_1 + t_2) - t_1 = 24\frac{14}{15} - 11\frac{26}{45}$

Приведем дробную часть числа $24\frac{14}{15}$ к знаменателю $45$:

$\frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{42}{45}$

Теперь выполним вычитание:

$t_2 = 24\frac{42}{45} - 11\frac{26}{45} = (24 - 11) + (\frac{42}{45} - \frac{26}{45}) = 13\frac{16}{45}$ мин.

Ответ: на обработку первой задачи было затрачено $11\frac{26}{45}$ минут, на вторую — $13\frac{16}{45}$ минут, а на третью — $5\frac{1}{15}$ минут.

1031. Филипок потратил $ \frac{1}{2} $ своих денег на приобретение книги «Занимательная математика», $ \frac{1}{4} $ на книгу «Занимательная физика», $ \frac{1}{12} $ на карандаши, а оставшиеся деньги — на конфеты. Какую часть своих денег Филипок потратил на конфеты?

Чтобы определить, какую часть денег Филипок потратил на конфеты, сначала нужно вычислить, какая часть денег ушла на все остальные покупки вместе. Всю сумму денег Филипка примем за единицу (1).

1. Найдем общую часть денег, потраченную на книги и карандаши.
Для этого сложим доли расходов: на книгу «Занимательная математика» ($\frac{1}{2}$), на книгу «Занимательная физика» ($\frac{1}{4}$) и на карандаши ($\frac{1}{12}$).
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2, 4 и 12 равен 12.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6+3+1}{12} = \frac{10}{12}$
Таким образом, на книги и карандаши была потрачена $\frac{10}{12}$ часть всех денег.

2. Найдем часть денег, потраченную на конфеты.
Эта часть равна разности между всей суммой денег (1) и частью, потраченной на другие покупки.
$1 - \frac{10}{12}$
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 12: $1 = \frac{12}{12}$.
$\frac{12}{12} - \frac{10}{12} = \frac{12-10}{12} = \frac{2}{12}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$\frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

1032. Золотов, Серебров, Платинов и Бриллиантов нашли клад. Золотову досталась $\frac{1}{6}$ клада, Сереброву $-\frac{2}{9}$, Платинову $-\frac{5}{18}$, а остальное — Бриллиантову. Какую часть клада получил Бриллиантов?

Для того чтобы определить, какая часть клада досталась Бриллиантову, необходимо сначала найти общую долю, которую получили Золотов, Серебров и Платинов вместе. Весь клад принимается за единицу (1).

1. Сначала сложим доли клада, которые получили Золотов, Серебров и Платинов:

$ \frac{1}{6} + \frac{2}{9} + \frac{5}{18} $

Чтобы сложить эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 6, 9 и 18 является 18. Приведем каждую дробь к знаменателю 18:

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18} $

$ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{3}{18} + \frac{4}{18} + \frac{5}{18} = \frac{3 + 4 + 5}{18} = \frac{12}{18} $

Таким образом, Золотов, Серебров и Платинов вместе получили $ \frac{12}{18} $ часть клада.

2. Теперь найдем долю Бриллиантова. Для этого вычтем из целого (1) общую долю первых трех участников:

$ 1 - \frac{12}{18} $

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 18 ($1 = \frac{18}{18}$):

$ \frac{18}{18} - \frac{12}{18} = \frac{18 - 12}{18} = \frac{6}{18} $

3. Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$ \frac{6 \div 6}{18 \div 6} = \frac{1}{3} $

Следовательно, Бриллиантов получил $ \frac{1}{3} $ часть клада.

Ответ: $ \frac{1}{3} $

1033. Первый тракторист может вспахать поле за 6 ч, а второй — за 4 ч.

Какую часть поля они вспашут, работая вместе, за 1 ч?

За 2 ч?

Какую часть поля они вспашут, работая вместе, за 1 ч?

Для решения задачи примем всю работу по вспашке поля за 1. Сначала найдем, какую часть поля каждый тракторист вспахивает за 1 час (их производительность).

1. Производительность первого тракториста.
Он вспахивает всё поле за 6 часов, следовательно, за 1 час он выполняет $1/6$ часть работы.

2. Производительность второго тракториста.
Он вспахивает всё поле за 4 часа, следовательно, за 1 час он выполняет $1/4$ часть работы.

3. Совместная производительность.
Чтобы найти, какую часть поля они вспашут, работая вместе, за 1 час, нужно сложить их производительности:
$1/6 + 1/4$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 равен 12.
$1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12$

Таким образом, за 1 час совместной работы трактористы вспашут $5/12$ части поля.

Ответ: $5/12$ части поля.

За 2 ч?

Чтобы определить, какую часть поля трактористы вспашут вместе за 2 часа, нужно их совместную производительность за 1 час ($5/12$) умножить на время работы (2 часа).

$5/12 * 2 = 10/12$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:
$10/12 = 5/6$

Следовательно, за 2 часа совместной работы трактористы вспашут $5/6$ части поля.

Ответ: $5/6$ части поля.

1034. Первый маляр может покрасить забор за 15 ч, второй — за 12 ч, а третий — за 10 ч. Какую часть забора они покрасят вместе за 1 ч?

За 2 ч? За 4 ч?

Для решения этой задачи необходимо определить производительность каждого маляра и их общую производительность при совместной работе. Всю работу по покраске забора примем за 1 (единицу).

1. Производительность первого маляра. Он красит весь забор за 15 часов, значит, за 1 час он покрасит $1 \div 15 = \frac{1}{15}$ часть забора.

2. Производительность второго маляра. Он красит весь забор за 12 часов, значит, за 1 час он покрасит $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ часть забора.

3. Производительность третьего маляра. Он красит весь забор за 10 часов, значит, за 1 час он покрасит $1 \div 10 = \frac{1}{10}$ часть забора.

Теперь найдем их совместную производительность, сложив производительность каждого маляра:

$\frac{1}{15} + \frac{1}{12} + \frac{1}{10}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 15, 12 и 10 равно 60.

$\frac{1 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{4}{60} + \frac{5}{60} + \frac{6}{60} = \frac{4+5+6}{60} = \frac{15}{60}$

Сократим полученную дробь на 15:

$\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$

Таким образом, совместная производительность трех маляров составляет $\frac{1}{4}$ часть забора в час.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Какую часть забора они покрасят вместе за 1 ч?

За 1 час маляры, работая вместе, покрасят часть забора, равную их совместной производительности.

Ответ: $\frac{1}{4}$ часть забора.

За 2 ч?

Чтобы узнать, какую часть забора они покрасят за 2 часа, нужно их совместную производительность умножить на время:

$\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$ часть забора.

За 4 ч?

Чтобы узнать, какую часть забора они покрасят за 4 часа, нужно их совместную производительность умножить на время:

$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{4}{4} = 1$

Это означает, что за 4 часа они покрасят весь забор целиком.

Ответ: 1 (весь забор).

1035. Миша может съесть арбуз за 12 мин, а Коля — за 16 мин. Какая часть арбуза останется через 1 мин, если мальчики одновременно начнут есть его вместе?

Для того чтобы решить задачу, нужно определить, какую часть арбуза съедают мальчики вместе за одну минуту, а затем вычесть эту часть из целого арбуза (который мы принимаем за 1).

1. Сначала найдем, какую часть арбуза съедает каждый мальчик за 1 минуту. Это будет их "скорость" поедания.

• Миша съедает арбуз за 12 минут, значит, его скорость поедания составляет $1/12$ арбуза в минуту.
• Коля съедает арбуз за 16 минут, значит, его скорость поедания составляет $1/16$ арбуза в минуту.

2. Теперь найдем их общую скорость поедания, сложив их индивидуальные скорости. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 16 равен 48.

$1/12 + 1/16 = (1 * 4)/(12 * 4) + (1 * 3)/(16 * 3) = 4/48 + 3/48 = 7/48$

Это означает, что вместе за 1 минуту мальчики съедят $7/48$ часть арбуза.

3. Наконец, чтобы найти, какая часть арбуза останется через 1 минуту, нужно из целого арбуза (1) вычесть ту часть, которую они съели.

$1 - 7/48 = 48/48 - 7/48 = 41/48$

Следовательно, через 1 минуту останется $41/48$ часть арбуза.

Ответ: $41/48$

1036. Бассейн можно наполнить водой за 6 ч через одну трубу и слить воду за 10 ч через другую. Бассейн был пуст, когда Иван Забывайкин открыл краны одновременно на двух трубах. Какая часть бассейна останется не заполненной водой через 1 ч после того, как открыли краны?

Для решения этой задачи необходимо определить скорость наполнения и скорость слива бассейна, а затем найти их разность, чтобы узнать, какая часть бассейна заполняется за час при одновременной работе обеих труб.

1. Определим производительность первой трубы (наполнение).

Бассейн наполняется за 6 часов, значит, за 1 час первая труба наполняет $\frac{1}{6}$ часть бассейна.

2. Определим производительность второй трубы (слив).

Вода из полного бассейна сливается за 10 часов, значит, за 1 час вторая труба сливает $\frac{1}{10}$ часть бассейна.

3. Найдем общую скорость изменения уровня воды в бассейне.

Когда обе трубы открыты, одна наполняет, а другая опустошает бассейн. Чтобы найти, какая часть бассейна заполнится за 1 час, нужно из скорости наполнения вычесть скорость слива:

$\frac{1}{6} - \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 10 – это 30.

$\frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{30} - \frac{1 \cdot 3}{30} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Это означает, что за 1 час совместной работы двух труб бассейн заполнится на $\frac{1}{15}$ своей части.

4. Найдем, какая часть бассейна останется не заполненной.

Весь объем бассейна принимаем за 1. Если за 1 час заполнилась $\frac{1}{15}$ часть, то незаполненной осталась:

$1 - \frac{1}{15} = \frac{15}{15} - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$

Ответ: $\frac{14}{15}$

1037. Пётр Ленивцев может покрасить стену за 24 ч, а Иван Трудолюб— за 8 ч. Какая часть стены останется непокрашенной после 1 ч совместной работы Ленивцева и Трудолюба?

Для решения задачи сперва определим, какую часть стены каждый работник красит за один час. Это их производительность.

1. Пётр Ленивцев красит всю стену за 24 часа. Следовательно, за 1 час он покрасит $ \frac{1}{24} $ часть стены.

2. Иван Трудолюб красит всю стену за 8 часов. Следовательно, за 1 час он покрасит $ \frac{1}{8} $ часть стены.

Теперь найдём их совместную производительность, то есть какую часть стены они покрасят вместе за 1 час. для этого сложим их производительности:

$ \frac{1}{24} + \frac{1}{8} $

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю, который равен 24:

$ \frac{1}{24} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{1}{24} + \frac{3}{24} = \frac{1+3}{24} = \frac{4}{24} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{4}{24} = \frac{1}{6} $

Таким образом, за 1 час совместной работы Ленивцев и Трудолюб покрасят $ \frac{1}{6} $ часть стены.

Чтобы найти, какая часть стены останется непокрашенной, нужно из всей стены (которую принимаем за единицу) вычесть покрашенную часть:

$ 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $

Ответ: $ \frac{5}{6} $

1038. Елена и Мария могут вместе набрать на компьютере текст рукописи за 6 ч. Какую часть рукописи наберёт Елена за 1 ч, если Мария может набрать текст всей рукописи за 9 ч?

Для решения этой задачи необходимо определить производительность работы каждого человека. Производительность — это объём работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за 1 час). Примем всю рукопись за 1.

1. Найдём совместную производительность Елены и Марии.
Вместе они набирают всю рукопись за 6 часов. Следовательно, их совместная производительность (часть рукописи, которую они набирают за 1 час) составляет: $P_{совм} = \frac{1}{6}$ часть рукописи в час.

2. Найдём производительность Марии.
Мария одна может набрать всю рукопись за 9 часов. Значит, её производительность равна: $P_{Марии} = \frac{1}{9}$ часть рукописи в час.

3. Найдём производительность Елены.
Чтобы найти производительность Елены, нужно из совместной производительности вычесть производительность Марии. Производительность Елены — это и есть та часть рукописи, которую она наберёт за 1 час. $P_{Елены} = P_{совм} - P_{Марии}$
$P_{Елены} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9}$
Приведём дроби к общему знаменателю 18:
$P_{Елены} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} = \frac{1}{18}$ часть рукописи в час.

Таким образом, за 1 час Елена наберёт $\frac{1}{18}$ часть рукописи.
Ответ: $\frac{1}{18}$.

1039. Через две трубы бассейн можно наполнить водой за 3 ч. Какую часть бассейна можно наполнить за 1 ч через одну из этих труб, если через другую трубу его можно наполнить за 5 ч?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1 (единицу).

Производительность — это часть работы (в данном случае, часть бассейна), выполняемая за единицу времени (1 час).

1. Найдем совместную производительность двух труб.

По условию, две трубы вместе наполняют бассейн за 3 часа. Значит, за 1 час они вместе наполнят $ \frac{1}{3} $ часть бассейна. Это их совместная производительность.

2. Найдем производительность известной трубы.

Одна из труб (назовем ее второй трубой) может наполнить весь бассейн за 5 часов. Следовательно, ее производительность составляет $ \frac{1}{5} $ часть бассейна в час.

3. Найдем производительность другой (первой) трубы.

Чтобы найти производительность первой трубы, нужно из совместной производительности двух труб вычесть производительность второй трубы. Это и будет та часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 час.

$ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} $

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 15:

$ \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15} $

Таким образом, за 1 час через первую трубу можно наполнить $ \frac{2}{15} $ часть бассейна.

Ответ: $ \frac{2}{15} $