Страница 227 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

994. Какие из дробей $\frac{3}{7}$, $\frac{11}{28}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{13}{42}$, $\frac{23}{70}$ больше дроби $\frac{5}{14}$?

Чтобы определить, какие из дробей больше дроби $\frac{5}{14}$, мы сравним каждую из предложенных дробей с дробью $\frac{5}{14}$ поочередно. Для этого мы будем приводить каждую пару дробей к наименьшему общему знаменателю.

$\frac{3}{7}$
Сравним дробь $\frac{3}{7}$ с дробью $\frac{5}{14}$. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — 14. Приведем дробь $\frac{3}{7}$ к знаменателю 14, для чего умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2 ($14 \div 7 = 2$):
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}$
Теперь сравним полученную дробь с $\frac{5}{14}$. Так как $6 > 5$, то $\frac{6}{14} > \frac{5}{14}$.
Ответ: Дробь $\frac{3}{7}$ больше дроби $\frac{5}{14}$.

$\frac{11}{28}$
Сравним дробь $\frac{11}{28}$ с дробью $\frac{5}{14}$. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — 28. Приведем дробь $\frac{5}{14}$ к знаменателю 28, для чего умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2 ($28 \div 14 = 2$):
$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 2}{14 \times 2} = \frac{10}{28}$
Теперь сравним дроби $\frac{11}{28}$ и $\frac{10}{28}$. Так как $11 > 10$, то $\frac{11}{28} > \frac{10}{28}$.
Ответ: Дробь $\frac{11}{28}$ больше дроби $\frac{5}{14}$.

$\frac{1}{2}$
Сравним дробь $\frac{1}{2}$ с дробью $\frac{5}{14}$. Наименьший общий знаменатель — 14. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 14, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 7 ($14 \div 2 = 7$):
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$
Сравним дроби $\frac{7}{14}$ и $\frac{5}{14}$. Так как $7 > 5$, то $\frac{7}{14} > \frac{5}{14}$.
Ответ: Дробь $\frac{1}{2}$ больше дроби $\frac{5}{14}$.

$\frac{13}{42}$
Сравним дробь $\frac{13}{42}$ с дробью $\frac{5}{14}$. Наименьший общий знаменатель — 42. Приведем дробь $\frac{5}{14}$ к знаменателю 42, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3 ($42 \div 14 = 3$):
$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 3}{14 \times 3} = \frac{15}{42}$
Сравним дроби $\frac{13}{42}$ и $\frac{15}{42}$. Так как $13 < 15$, то $\frac{13}{42} < \frac{15}{42}$.
Ответ: Дробь $\frac{13}{42}$ не больше дроби $\frac{5}{14}$.

$\frac{23}{70}$
Сравним дробь $\frac{23}{70}$ с дробью $\frac{5}{14}$. Наименьший общий знаменатель — 70. Приведем дробь $\frac{5}{14}$ к знаменателю 70, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 5 ($70 \div 14 = 5$):
$\frac{5}{14} = \frac{5 \times 5}{14 \times 5} = \frac{25}{70}$
Сравним дроби $\frac{23}{70}$ и $\frac{25}{70}$. Так как $23 < 25$, то $\frac{23}{70} < \frac{25}{70}$.
Ответ: Дробь $\frac{23}{70}$ не больше дроби $\frac{5}{14}$.

995. Какие из дробей $ \frac{43}{112} $, $ \frac{9}{28} $, $ \frac{3}{14} $, $ \frac{3}{8} $, $ \frac{1}{4} $ меньше дроби $ \frac{19}{56} $?

Для того чтобы определить, какие из дробей меньше дроби $\frac{19}{56}$, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для всех дробей (112, 28, 14, 8, 4, 56) является 112.

Сначала приведем дробь $\frac{19}{56}$ к знаменателю 112:

$\frac{19}{56} = \frac{19 \cdot 2}{56 \cdot 2} = \frac{38}{112}$

Теперь сравним каждую из предложенных дробей с дробью $\frac{38}{112}$.

$\frac{43}{112}$

Эта дробь уже имеет знаменатель 112. Сравниваем числители: $43 > 38$.

Следовательно, $\frac{43}{112} > \frac{19}{56}$.

Ответ: дробь $\frac{43}{112}$ больше дроби $\frac{19}{56}$.

$\frac{9}{28}$

Приведем дробь к знаменателю 112: $\frac{9}{28} = \frac{9 \cdot 4}{28 \cdot 4} = \frac{36}{112}$.

Сравниваем числители: $36 < 38$.

Следовательно, $\frac{9}{28} < \frac{19}{56}$.

Ответ: дробь $\frac{9}{28}$ меньше дроби $\frac{19}{56}$.

$\frac{3}{14}$

Приведем дробь к знаменателю 112: $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 8}{14 \cdot 8} = \frac{24}{112}$.

Сравниваем числители: $24 < 38$.

Следовательно, $\frac{3}{14} < \frac{19}{56}$.

Ответ: дробь $\frac{3}{14}$ меньше дроби $\frac{19}{56}$.

$\frac{3}{8}$

Приведем дробь к знаменателю 112: $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 14}{8 \cdot 14} = \frac{42}{112}$.

Сравниваем числители: $42 > 38$.

Следовательно, $\frac{3}{8} > \frac{19}{56}$.

Ответ: дробь $\frac{3}{8}$ больше дроби $\frac{19}{56}$.

$\frac{1}{4}$

Приведем дробь к знаменателю 112: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 28}{4 \cdot 28} = \frac{28}{112}$.

Сравниваем числители: $28 < 38$.

Следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{19}{56}$.

Ответ: дробь $\frac{1}{4}$ меньше дроби $\frac{19}{56}$.

Таким образом, дробями, которые меньше дроби $\frac{19}{56}$, являются $\frac{9}{28}$, $\frac{3}{14}$ и $\frac{1}{4}$.

996. Найдите все натуральные значения $x$, при которых верно неравенство:

1) $8/19 < x/19 < 1$

2) $1/3 < x/18 < 5/6$

1)

Рассмотрим неравенство $ \frac{8}{19} < \frac{x}{19} < 1 $. Необходимо найти все натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству.

Сначала представим правую часть неравенства, число 1, в виде дроби со знаменателем 19:

$ 1 = \frac{19}{19} $

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$ \frac{8}{19} < \frac{x}{19} < \frac{19}{19} $

Поскольку все дроби в неравенстве имеют одинаковый положительный знаменатель, мы можем сравнить их числители. Это дает нам новое неравенство для $x$:

$ 8 < x < 19 $

Согласно этому неравенству, $x$ должен быть больше 8, но меньше 19. Так как $x$ — натуральное число, то подходящие значения это все целые числа в этом интервале.

Перечислим эти значения: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Ответ: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

2)

Рассмотрим неравенство $ \frac{1}{3} < \frac{x}{18} < \frac{5}{6} $. Необходимо найти все натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому неравенству.

Для решения этого неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 3, 18 и 6 является 18.

Приведем левую и правую части неравенства к знаменателю 18:

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18} $

$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} $

Теперь подставим эти значения обратно в исходное неравенство:

$ \frac{6}{18} < \frac{x}{18} < \frac{15}{18} $

Так как знаменатели у всех дробей одинаковы и положительны, мы можем перейти к неравенству для числителей:

$ 6 < x < 15 $

Согласно этому неравенству, $x$ должен быть больше 6, но меньше 15. Так как $x$ — натуральное число, то подходящие значения это все целые числа в данном интервале.

Перечислим эти значения: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ответ: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

997. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $\frac{12}{23} < \frac{x}{23} < 1$;

2) $\frac{4}{9} < \frac{x}{36} < \frac{11}{12}$.

1) Дано неравенство: $\frac{12}{23} < \frac{x}{23} < 1$.

По условию, необходимо найти все натуральные значения $x$.

Сначала рассмотрим левую часть неравенства: $\frac{12}{23} < \frac{x}{23}$.

Так как знаменатели дробей одинаковы и положительны, то для выполнения неравенства числитель левой дроби должен быть меньше числителя правой дроби. Отсюда следует, что $12 < x$.

Теперь рассмотрим правую часть неравенства: $\frac{x}{23} < 1$.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 23: $1 = \frac{23}{23}$.

Неравенство примет вид: $\frac{x}{23} < \frac{23}{23}$.

Сравнивая числители, получаем $x < 23$.

Объединим оба полученных условия в двойное неравенство: $12 < x < 23$.

Натуральными числами, которые удовлетворяют этому неравенству, являются все целые числа, большие 12 и меньшие 23. Это числа: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

Ответ: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22.

2) Дано неравенство: $\frac{4}{9} < \frac{x}{36} < \frac{11}{12}$.

Для решения этого неравенства необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9, 36 и 12. НОК(9, 36, 12) = 36.

Приведем дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{11}{12}$ к знаменателю 36:

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}$

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{33}{36}$

Теперь подставим полученные дроби в исходное неравенство:

$\frac{16}{36} < \frac{x}{36} < \frac{33}{36}$

Так как знаменатели всех дробей в неравенстве одинаковы и положительны, мы можем перейти к сравнению их числителей:

$16 < x < 33$

Натуральными числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются все целые числа, большие 16 и меньшие 33. Это числа: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.

Ответ: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.

998. Какие из дробей $ \frac{1}{2} $, $ \frac{3}{8} $, $ \frac{5}{6} $, $ \frac{9}{16} $, $ \frac{7}{24} $, $ \frac{11}{24} $ можно поставить вместо $x$, чтобы было верно неравенство $ \frac{11}{48} < x < \frac{29}{48} $?

Чтобы определить, какие из предложенных дробей можно поставить вместо x, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю с дробями из неравенства, то есть к знаменателю 48. Затем нужно сравнить числители. Неравенство $\frac{11}{48} < x < \frac{29}{48}$ будет верным, если числитель дроби x, приведенной к знаменателю 48, будет больше 11, но меньше 29. Проверим каждую дробь.

$\frac{1}{2}$

Приведем дробь к знаменателю 48. Для этого умножим числитель и знаменатель на 24 ($48 \div 2 = 24$):

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 24}{2 \times 24} = \frac{24}{48}$

Проверяем неравенство: $\frac{11}{48} < \frac{24}{48} < \frac{29}{48}$. Так как $11 < 24 < 29$, неравенство верно.

Ответ: дробь $\frac{1}{2}$ подходит.

$\frac{3}{8}$

Приведем дробь к знаменателю 48. Для этого умножим числитель и знаменатель на 6 ($48 \div 8 = 6$):

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 6}{8 \times 6} = \frac{18}{48}$

Проверяем неравенство: $\frac{11}{48} < \frac{18}{48} < \frac{29}{48}$. Так как $11 < 18 < 29$, неравенство верно.

Ответ: дробь $\frac{3}{8}$ подходит.

$\frac{5}{6}$

Приведем дробь к знаменателю 48. Для этого умножим числитель и знаменатель на 8 ($48 \div 6 = 8$):

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 8}{6 \times 8} = \frac{40}{48}$

Проверяем неравенство: $\frac{11}{48} < \frac{40}{48} < \frac{29}{48}$. Так как $40 > 29$, неравенство неверно.

Ответ: дробь $\frac{5}{6}$ не подходит.

$\frac{9}{16}$

Приведем дробь к знаменателю 48. Для этого умножим числитель и знаменатель на 3 ($48 \div 16 = 3$):

$\frac{9}{16} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} = \frac{27}{48}$

Проверяем неравенство: $\frac{11}{48} < \frac{27}{48} < \frac{29}{48}$. Так как $11 < 27 < 29$, неравенство верно.

Ответ: дробь $\frac{9}{16}$ подходит.

$\frac{7}{24}$

Приведем дробь к знаменателю 48. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2 ($48 \div 24 = 2$):

$\frac{7}{24} = \frac{7 \times 2}{24 \times 2} = \frac{14}{48}$

Проверяем неравенство: $\frac{11}{48} < \frac{14}{48} < \frac{29}{48}$. Так как $11 < 14 < 29$, неравенство верно.

Ответ: дробь $\frac{7}{24}$ подходит.

$\frac{11}{24}$

Приведем дробь к знаменателю 48. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2 ($48 \div 24 = 2$):

$\frac{11}{24} = \frac{11 \times 2}{24 \times 2} = \frac{22}{48}$

Проверяем неравенство: $\frac{11}{48} < \frac{22}{48} < \frac{29}{48}$. Так как $11 < 22 < 29$, неравенство верно.

Ответ: дробь $\frac{11}{24}$ подходит.

999. Какие из дробей $\frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{9}{14}, \frac{5}{8}, \frac{15}{28}, \frac{11}{14}$ можно поставить вместо $x$, чтобы было верно неравенство $\frac{19}{56} < x < \frac{37}{56}$?

Чтобы определить, какие из предложенных дробей можно подставить вместо $x$ так, чтобы неравенство $\frac{19}{56} < x < \frac{37}{56}$ было верным, необходимо привести каждую дробь к общему знаменателю, равному 56. После этого можно будет сравнить их числители.

$\frac{3}{7}$

Для приведения дроби к знаменателю 56, найдем дополнительный множитель: $56 \div 7 = 8$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 8:
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 8}{7 \times 8} = \frac{24}{56}$.
Подставим полученную дробь в неравенство: $\frac{19}{56} < \frac{24}{56} < \frac{37}{56}$.
Сравним числители: $19 < 24 < 37$. Неравенство верно.
Ответ: дробь $\frac{3}{7}$ подходит.

$\frac{6}{7}$

Дополнительный множитель для этой дроби также равен 8.
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 8}{7 \times 8} = \frac{48}{56}$.
Подставим в неравенство: $\frac{19}{56} < \frac{48}{56} < \frac{37}{56}$.
Сравним числители: $19 < 48 < 37$. Неравенство неверно, так как $48$ не меньше $37$.
Ответ: дробь $\frac{6}{7}$ не подходит.

$\frac{9}{14}$

Дополнительный множитель: $56 \div 14 = 4$.
$\frac{9}{14} = \frac{9 \times 4}{14 \times 4} = \frac{36}{56}$.
Подставим в неравенство: $\frac{19}{56} < \frac{36}{56} < \frac{37}{56}$.
Сравним числители: $19 < 36 < 37$. Неравенство верно.
Ответ: дробь $\frac{9}{14}$ подходит.

$\frac{5}{8}$

Дополнительный множитель: $56 \div 8 = 7$.
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{35}{56}$.
Подставим в неравенство: $\frac{19}{56} < \frac{35}{56} < \frac{37}{56}$.
Сравним числители: $19 < 35 < 37$. Неравенство верно.
Ответ: дробь $\frac{5}{8}$ подходит.

$\frac{15}{28}$

Дополнительный множитель: $56 \div 28 = 2$.
$\frac{15}{28} = \frac{15 \times 2}{28 \times 2} = \frac{30}{56}$.
Подставим в неравенство: $\frac{19}{56} < \frac{30}{56} < \frac{37}{56}$.
Сравним числители: $19 < 30 < 37$. Неравенство верно.
Ответ: дробь $\frac{15}{28}$ подходит.

$\frac{11}{14}$

Дополнительный множитель: $56 \div 14 = 4$.
$\frac{11}{14} = \frac{11 \times 4}{14 \times 4} = \frac{44}{56}$.
Подставим в неравенство: $\frac{19}{56} < \frac{44}{56} < \frac{37}{56}$.
Сравним числители: $19 < 44 < 37$. Неравенство неверно, так как $44$ не меньше $37$.
Ответ: дробь $\frac{11}{14}$ не подходит.

1000. Найдите все дроби со знаменателем 48, которые больше $ \frac{1}{4} $, но меньше $ \frac{1}{3} $.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{48}$, где $x$ — натуральное число. Согласно условию задачи, эта дробь должна быть больше $\frac{1}{4}$ и меньше $\frac{1}{3}$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{1}{4} < \frac{x}{48} < \frac{1}{3}$

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 48.

1. Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 48. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель, равный $48 \div 4 = 12$:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{12}{48}$

2. Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 48. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель, равный $48 \div 3 = 16$:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{16}{48}$

Теперь подставим полученные дроби в исходное неравенство:

$\frac{12}{48} < \frac{x}{48} < \frac{16}{48}$

Так как знаменатели всех дробей в неравенстве одинаковы, мы можем сравнить их числители:

$12 < x < 16$

Натуральные числа $x$, которые удовлетворяют этому неравенству, — это 13, 14 и 15.

Следовательно, искомые дроби со знаменателем 48:

$\frac{13}{48}, \frac{14}{48}, \frac{15}{48}$

Ответ: $\frac{13}{48}, \frac{14}{48}, \frac{15}{48}$.

1001. Укажите два числа, каждое из которых:

1) больше $\frac{3}{7}$, но меньше $\frac{4}{7}$; 3) больше $\frac{1}{7}$, но меньше $\frac{1}{6}$;

2) больше $\frac{1}{5}$, но меньше $\frac{1}{4}$; 4) больше $\frac{98}{99}$, но меньше 1.

1) больше $\frac{3}{7}$, но меньше $\frac{4}{7}$

Чтобы найти числа, расположенные между дробями $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$, можно привести эти дроби к новому, большему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число, например, на 3.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{9}{21}$

$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти два числа, которые больше $\frac{9}{21}$, но меньше $\frac{12}{21}$. Между числителями 9 и 12 находятся целые числа 10 и 11. Следовательно, мы можем взять дроби с этими числителями и тем же знаменателем.

Ответ: $\frac{10}{21}$ и $\frac{11}{21}$.

2) больше $\frac{1}{5}$, но меньше $\frac{1}{4}$

Сначала приведем дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{4}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 равен 20.

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

Мы ищем числа в интервале от $\frac{4}{20}$ до $\frac{5}{20}$. Между числителями 4 и 5 нет целых чисел, поэтому нам нужно снова увеличить знаменатель. Умножим числитель и знаменатель полученных дробей, например, на 3.

$\frac{4}{20} = \frac{4 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{12}{60}$

$\frac{5}{20} = \frac{5 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{15}{60}$

Теперь нужно найти два числа, которые больше $\frac{12}{60}$, но меньше $\frac{15}{60}$. Между числителями 12 и 15 находятся числа 13 и 14. Таким образом, подходящими дробями будут $\frac{13}{60}$ и $\frac{14}{60}$. Дробь $\frac{14}{60}$ можно сократить на 2, получив $\frac{7}{30}$.

Ответ: $\frac{13}{60}$ и $\frac{7}{30}$.

3) больше $\frac{1}{7}$, но меньше $\frac{1}{6}$

Приведем дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{6}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 6 равен 42.

$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{6}{42}$

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$

Мы ищем числа в интервале от $\frac{6}{42}$ до $\frac{7}{42}$. Между числителями 6 и 7 нет целых чисел, поэтому увеличим знаменатель. Умножим числитель и знаменатель, например, на 3.

$\frac{6}{42} = \frac{6 \cdot 3}{42 \cdot 3} = \frac{18}{126}$

$\frac{7}{42} = \frac{7 \cdot 3}{42 \cdot 3} = \frac{21}{126}$

Теперь нужно найти два числа, которые больше $\frac{18}{126}$, но меньше $\frac{21}{126}$. Между числителями 18 и 21 находятся числа 19 и 20. Значит, мы можем выбрать дроби $\frac{19}{126}$ и $\frac{20}{126}$. Дробь $\frac{20}{126}$ можно сократить на 2, получив $\frac{10}{63}$.

Ответ: $\frac{19}{126}$ и $\frac{10}{63}$.

4) больше $\frac{98}{99}$, но меньше 1

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 99: $1 = \frac{99}{99}$.

Нам нужно найти два числа, которые находятся в интервале от $\frac{98}{99}$ до $\frac{99}{99}$. Между числителями 98 и 99 нет целых чисел, поэтому увеличим знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 3.

$\frac{98}{99} = \frac{98 \cdot 3}{99 \cdot 3} = \frac{294}{297}$

$1 = \frac{99}{99} = \frac{99 \cdot 3}{99 \cdot 3} = \frac{297}{297}$

Теперь нам нужно найти два числа, которые больше $\frac{294}{297}$, но меньше $\frac{297}{297}$. Между числителями 294 и 297 находятся числа 295 и 296. Таким образом, мы можем выбрать дроби $\frac{295}{297}$ и $\frac{296}{297}$.

Ответ: $\frac{295}{297}$ и $\frac{296}{297}$.

1002. Укажите три числа, каждое из которых:

1) больше $\frac{1}{3}$, но меньше $\frac{1}{2}$;

2) больше $\frac{3}{5}$, но меньше $\frac{4}{5}$.

1) больше $\frac{1}{3}$, но меньше $\frac{1}{2}$

Чтобы найти числа, расположенные между двумя дробями, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6.

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Мы ищем числа в интервале ($\frac{2}{6}$; $\frac{3}{6}$). Поскольку между числителями 2 и 3 нет целых чисел, необходимо увеличить знаменатель. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число, например, на 4. Это позволит нам найти несколько чисел в заданном промежутке.

$\frac{2}{6} = \frac{2 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{8}{24}$

$\frac{3}{6} = \frac{3 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{12}{24}$

Теперь нам нужно найти три числа, которые больше $\frac{8}{24}$ и меньше $\frac{12}{24}$. Мы можем выбрать дроби с тем же знаменателем 24, числители которых больше 8 и меньше 12. Такими числителями являются 9, 10 и 11.

Таким образом, мы получаем три искомых числа: $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$ и $\frac{11}{24}$.

Ответ: $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$, $\frac{11}{24}$.

2) больше $\frac{3}{5}$, но меньше $\frac{4}{5}$

Дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ уже имеют общий знаменатель. Мы ищем числа в интервале ($\frac{3}{5}$; $\frac{4}{5}$).

Между числителями 3 и 4 нет целых чисел, поэтому, как и в предыдущем случае, увеличим знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби, например, на 4.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти три числа в интервале от $\frac{12}{20}$ до $\frac{16}{20}$. Мы можем выбрать дроби со знаменателем 20, числители которых находятся между 12 и 16. Подходящие числители: 13, 14 и 15.

Таким образом, три искомых числа: $\frac{13}{20}$, $\frac{14}{20}$ и $\frac{15}{20}$.

Ответ: $\frac{13}{20}$, $\frac{14}{20}$, $\frac{15}{20}$.

1003. Сравните дроби $ \frac{171}{181} $ и $ \frac{171171}{181181} $.

Чтобы сравнить дроби $ \frac{171}{181} $ и $ \frac{171171}{181181} $, преобразуем вторую дробь, заметив закономерность в записи ее числителя и знаменателя.

Числитель второй дроби можно представить в следующем виде:

$ 171171 = 171000 + 171 = 171 \times 1000 + 171 \times 1 = 171 \times (1000 + 1) = 171 \times 1001 $.

Аналогично представим знаменатель второй дроби:

$ 181181 = 181000 + 181 = 181 \times 1000 + 181 \times 1 = 181 \times (1000 + 1) = 181 \times 1001 $.

Теперь подставим полученные произведения обратно в дробь:

$ \frac{171171}{181181} = \frac{171 \times 1001}{181 \times 1001} $.

Мы видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель $ 1001 $. Сократим дробь на этот множитель:

$ \frac{171 \times 1001}{181 \times 1001} = \frac{171}{181} $.

Таким образом, после преобразования и сокращения мы получили, что вторая дробь равна первой.

Ответ: Дроби равны.

1004. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) $ \frac{x}{17} < \frac{8}{51} $; 3) $ \frac{x}{5} < \frac{3}{15} $;

2) $ \frac{x}{65} < \frac{1}{13} $; 4) $ \frac{1}{16} < \frac{x}{8} $.

1) Для решения неравенства $\frac{x}{17} < \frac{8}{51}$ приведем дроби к общему знаменателю 51. Для этого умножим числитель и знаменатель левой дроби на 3: $\frac{x \cdot 3}{17 \cdot 3} < \frac{8}{51}$, что дает $\frac{3x}{51} < \frac{8}{51}$. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители: $3x < 8$. Отсюда $x < \frac{8}{3}$, или $x < 2\frac{2}{3}$. Так как $x$ — натуральное число, его возможные значения: 1, 2. Ответ: 1, 2.

2) В неравенстве $\frac{x}{65} < \frac{1}{13}$ приведем дроби к общему знаменателю 65. Умножим числитель и знаменатель правой дроби на 5: $\frac{x}{65} < \frac{1 \cdot 5}{13 \cdot 5}$, что равносильно $\frac{x}{65} < \frac{5}{65}$. Сравнивая числители, получаем $x < 5$. Натуральные значения $x$, удовлетворяющие этому условию: 1, 2, 3, 4. Ответ: 1, 2, 3, 4.

3) Рассмотрим неравенство $\frac{x}{5} < \frac{3}{15}$. Сначала упростим дробь в правой части: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Неравенство принимает вид $\frac{x}{5} < \frac{1}{5}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, то $x < 1$. Среди натуральных чисел (1, 2, 3, ...) нет чисел, меньших 1. Следовательно, решений в натуральных числах нет. Ответ: нет натуральных значений.

4) В неравенстве $\frac{1}{16} < \frac{x}{8}$ приведем дроби к общему знаменателю 16. Умножим числитель и знаменатель правой дроби на 2: $\frac{1}{16} < \frac{x \cdot 2}{8 \cdot 2}$, что дает $\frac{1}{16} < \frac{2x}{16}$. Сравнивая числители, получаем $1 < 2x$, или $x > \frac{1}{2}$. Нам нужно найти все натуральные значения $x$, которые больше $\frac{1}{2}$. Этому условию удовлетворяет любое натуральное число, так как наименьшее натуральное число 1 больше $\frac{1}{2}$. Ответ: любое натуральное число.